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1 Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado

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Apresentação em tema: "1 Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado"— Transcrição da apresentação:

1 1 Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br

2 Sumário Determinantes 2

3 3 Conceitos Preliminares Considere o sistema ax = b, a  0. A solução para este sistema é x = b/a Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema Em um sistema 2x2 teríamos: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 x 1 = b 1 a 22 – b 2 a 12 a 11 a 22 – a 12 a 21 x 2 = b 2 a 11 – b 1 a 21 a 11 a 22 – a 12 a 21 Denominadores iguais

4 4 Determinante Quando nos referimos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A = [a ij ], escreveremos  det Aou|A|oudet[a ij ] Então:  det[a] = a  det = = a 11 a 22 – a 12 a 21  det[A 3x3 ] = =.... a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33

5 5 Determinante 3x3

6 6

7 7 a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 – (a13.a22.a31 + a23.a32.a11 + a33.a12.a21)

8 8 Determinante Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele. Exemplo: 1, 2, 3 Permutação no. de inversões inversões (1 2 3)0 - (1 3 2)1(3 e 2) (2 1 3)1(2 e 1) (2 3 1)2(2 e 1) e (3 e 1) (3 1 2)2(3 e 1) e (3 e 2) (3 2 1)3(3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)

9 9 Determinante Exemplo: 1, 2, 3, 4 Permutação no. de inversões inversões (3 2 1 4)3(3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1) (4 3 2 1)6(4 e 3), (4 e 2), (4 e 1) (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)

10 10 Determinante Considere o determinante de: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 Observe que: 1) temos, no resultado, cada parcela da forma a 1i a 2j a 3k, onde i, j, k são todas as permutações de 1, 2, 3: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) 2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de inversões. det

11 11 Determinante Definição: det[a ij ] = Σ  (-1) J a 1j 1 a 2j 2...a nj n, onde J = J(j 1,..., j n ) é o número de inversões da permutação (j 1,j 2...,j n ) e  indica que a soma é estendida a toda as n! permutações de (1 2... n) OBS:  Se J é par, (-1) J = 1; se J é ímpar (-1) J = -1  Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz

12 12 Determinante

13 Determinante 13

14 Determinante 14

15 Determinante 15

16 16 Determinante

17 17 Determinante

18 18 Determinante

19 19 Determinante a 11 …. a 1n … b i1 +c i1 …. b in + c in… a n1 ….a mn det = det + det a 11... a 1n … b i1 ….b in… a n1 ….a mn a 11... a 1n … c i1 ….c in… a n1 ….a mn

20 20 Determinante

21 21 Determinante Desenvolvimento de Laplace Vimos que: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 det = a 11 (a 22 a 33 – a 23 a 32 ) – a 12 (a 21 a 33 - a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 –a 22 a 31 ) = a 11.det - a 12.det + a 13.det Observe o padrão do determinante… a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32

22 22 Determinante Desenvolvimento de Laplace = a 11.det - a 12.det + a 13.det a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

23 23 Determinante Desenvolvimento de Laplace Assim, det A = a 11  11 + a 12  12 + a 13  13 Onde   ij = (-1) i+j |A ij | = cofator  e A ij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i- ésima linha e j-ésima coluna Para matrizes de ordem n:  det A nxn = Σ j=1 n a ij  ij

24 24 Determinante Desenvolvimento de Laplace |A| = = -2.  12 + 1.  22 + (-1)  32 1-23 2 1-1 -2-12

25 25 Determinante Desenvolvimento de Laplace O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1

26 26 Determinante Desenvolvimento de Laplace

27 27 Determinante Desenvolvimento de Laplace -1 23 -4 -5 23 -4 4 20 0 = 0 2 0 0 -1 2 -3 0 -5 2 -3 0 2 5 3 1 -8 5 3 1 e L3 + L2

28 Hoje vimos... Determinantes 28

29 29 Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br

30 Sumário Matriz Adjunta Matriz Inversa 30

31 31 Matriz Adjunta Dados todos os possíveis cofatores de A (  ij ), podemos montar uma matriz cujos elementos são esses cofatores (A) =  ij  Lembrando que  ij = (-1) i+j |A ij | A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A  adj A = ( A )’ Teorema: A.A’ = A.(adj A) = (det A).I n Matriz identidade de ordem n Adjunta de A

32 Matriz Adjunta 32

33 33 Matriz Inversa Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A.B = B.A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n  Escrevemos A -1 para indicar a inversa de A

34 34 Matriz Inversa Exemplo: Se A =, encontre a inversa de A  Ou seja, queremos encontrar  tal que A.A -1 = A -1.A = I 3 62 114 abcdabcd A -1 =

35 35 Matriz Inversa 62 114 abcdabcd = 10011001 Temos assim: 6a + 2c = 1 6b + 2d = 0 11a + 4c = 0 11b + 4d = 1 Resolvendo o sistema encontramos: a = 2 b = -1 c = -11/2 d = 3

36 36 Matriz Inversa Observações:  Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, então AB é inversível e (AB) -1 = B -1.A -1  (AB)(B -1 A -1 ) = A(BB -1 )A -1 = AIA -1 = AA -1 = I  E para (B -1 A -1 )(AB) = I?  (B -1 A -1 )(AB) = B -1 (A -1 A)B = B -1 IB = B -1 B = I  Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, então A é inversível e B = A -1  Nem toda matriz tem inversa, mas quando tem? 02010201

37 37 Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det A  0  A -1 = (1/det A).(adj A) Exemplo: 62 114 62 124

38 38 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (A : I)  (I : A -1 ) 21 00 10-11 01 11 -10 03 A =

39 39 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo 21 001000 10-110100 01 110010 -10 030001

40 40 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) 10-110100 21 001000 01 110010 -10 030001 L 2 = -2.L 1 + L 2 L 3 = L 3 L 4 = L 1 + L 4

41 41 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) 10-1 10 100 01 2-21-200 01 1 10 010 00-1 40 101 L 1 = L 1 L 3 = -1.L 2 + L 3 L 4 = L 4

42 42 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) 10-1 1 0 100 01 2-2 1-200 00-1 3-1 210 00-1 4 0 101 L 3 = -1.L 3 L 1 = L 3 + L 1 L 4 = L 3 + L 4 L 2 = -2.L 3 + L 2

43 43 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) 10 0-2 1-1-10 01 0 4-1 2-20 00 1-3 1-2-10 00 0 1 1-1-11 L 4 = L 4 L 1 = 2.L 4 + L 1 L 3 = 3.L 4 + L 3 L 2 = -4.L 4 + L 2

44 44 Procedimento para Inversão de Matrizes Exemplo (cont.) 10 0 0 3-3-3 2 01 0 0-5 6 2-4 00 1 0 4-5-4 3 00 0 1 1-1-1 1

45 45 Exercícios Sugeridos 4 6 8a 9a 12

46 Exercício 8a. Calcule o det A, onde A = 46 3 -1 5 0 02 0 1 2 0-1 3 11 2 0

47 47 A Seguir... O Espaço… Vetorial


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