Álgebra Linear Prof(a):Janaína F. Lacerda A matemática não precisa ser uma tortura.

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1 Álgebra Linear Prof(a):Janaína F. Lacerda A matemática não precisa ser uma tortura.

2 Determinantes Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Notação: det A ou |A|. Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem. Seja a matriz A = (a 11 ). O determinante de A será o próprio elemento a 11. A = ( 3 ), logo | A | = 3

3 Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem. Seja a matriz de 2ª ordem: A = a 11 a 12 a 21 a 22 O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 · a 22 – a 12 · a 21 a 11 · a 22 - (a 12 · a 21 )

4 Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem. Ex: 1) + - 72 3 5 = 7.5 - 2.3 = 29

5 Ex: 2)

6 Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem. Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus. Ex: 1) 16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28

7 Ex: 2) 20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

8 Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A ij tal que A ij = (-1) i+j. MC ij.

9 Veja: a)Dada, os cofatores relativos aos elementos a 11 e a 12 da matriz M são:

10 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [a ij ] mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

11 Assim, fixando, temos: em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m,.

12 Exemplo Calcule o determinante da matriz abaixo:

13 Exemplo A solução da equaçãoSolução:Vamos achar o determinante de ambas matrizes:

14 2x² + 6x = 0 Aplicando a fórmula de Bháskara, chegamos ao conjunto solução: {0, 3}

15 Propriedades determinantes

16 Casos em que um determinante é igual a ZERO: Quando todos os elementos de uma fila são nulos Ex: 1) 2)

17 Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais 3) 4) Casos em que um determinante é igual a ZERO:

18 Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas. 5) 6) Casos em que um determinante é igual a ZERO:

19 Outras propriedades: det(A)=det(A t ) Ex: 1) 2)

20 1) 2) Ex: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal Outras propriedades:

21 1) Ex: Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal 2) Outras propriedades:

22 Ex: 1) 2) Se uma fila for multiplicada por um n o, então o determinante também fica multiplicado por esse n o Outras propriedades:

23 det(k.A)=k n. det(A), onde n é a ordem de A 1) 2) Ex: Outras propriedades:

24 det(A.B)=detA.detB Ex: Outras propriedades:

25 det(A -1 )=1/detA Ex:

26 FIM "O valor das coisas não está no tempo em que elas duram, mas na intensidade com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecíveis, coisas inexplicáveis e pessoas incomparáveis". (Fernando Pessoa)