Análise de Riscos e Avaliação do Investimento Aula 5 Professor: Engº. Ms. Abraão Freires Saraiva Júnior 25/03/2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO.

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1 Análise de Riscos e Avaliação do Investimento Aula 5 Professor: Engº. Ms. Abraão Freires Saraiva Júnior 25/03/2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas Curso de Engenharia de Produção

2 AGENDA Revisão Básica: Valor Futuro, Valor Presente, Taxa de Juros e Prazo / Diagrama de Fluxo de Caixa Juros Simples

3 Dentro do campo da Matemática Financeira, serão enfatizados os seguintes tópicos de conhecimento: (i)dinheiro, tempo, juros e custo de oportunidade do capital; (ii)diagrama de fluxo de caixa; (iii)valor futuro, valor presente, taxa de juros e prazo; (iv)juros simples; (v)juros compostos; (vi)impacto da inflação na taxa de juros; (vii)equivalência de capitais; (viii) taxas de juros nominais e efetivas; (ix)proporcionalidade e equivalência de taxas de juros; (x)séries uniformes; (xi)sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Valor Futuro, Valor Presente, Taxa de Juros e Prazo / Diagrama de Fluxo de Caixa Valor Presente n 0 Valor Futuro Juros Valor Presente Período de capitalização + Diagrama de Fluxo de Caixa Operação de Empréstimo $ Taxa de Juros = Juros Valor Presente (inicial) % Revisão Básica Juros = Valor Futuro (final) - Valor Presente (inicial) $

5 Valor Futuro, Valor Presente, Taxa de Juros e Prazo E se a operação for uma série uniforme? A vista: $1.000,00 OU 4 x $300,00 4 x $300,00 Série = mais que dois capitais analisados +1.000,00 1 -300,00 2 -300,00 3 -300,00 4 -300,00

6 Valor Futuro, Valor Presente, Taxa de Juros e Prazo  Valor presente (VP)  Valor futuro (VF)  Taxa de juros (i)  Tempo (n)  Pagamento / Anuidade (P ou A) Como transformar uma série de pagamentos em um Valor Presente e vice-versa? E se a operação for uma série uniforme?

7 Valor Futuro, Valor Presente, Taxa de Juros e Prazo Tópico de conhecimento “séries uniformes” Como transformar uma série de pagamentos em um Valor Presente e vice-versa? E se a operação for uma série uniforme?

8 Sinônimos Valor Futuro, Valor Presente, Taxa de Juros e Prazo  Classifique as definições em Valor presente (VP) ou Valor Futuro (VF): a)Montante b)Capital inicial c)Valor por dentro d)Valor por fora e)Valor nominal f)Valor líquido g)Valor atual h)Principal i)Valor de face VF VP VP VF VF VP VP VP VF

9 Juros Simples Imagine um Capital Inicial (C – também chamado de Valor Presente – VP) a ser investido. Após n Períodos de Capitalização, o Capital Inicial transforma-se em um Montante (M – também chamado de Valor Futuro – VF). Pergunta-se: O que seria a diferença entre o Montante e o Capital Inicial? M – C =Juros (J)

10 Juros Simples Considerando o período de capitalização (n) igual a 1, temos que os Juros (J) da operação seriam dados em função de uma Taxa de Juros (i) a ser incidida sobre o Capital Inicial (C). Desta forma, os Juros poderiam ser expressos da seguinte forma: J =C × i × 1 Caso o período de capitalização (n) fosse igual a 2 e o regime de capitalização fosse simples, ou seja, com juros somente sobre o Capital Inicial (C), os Juros (J) da operação seriam: J =C × i + C × i = Generalizando para n períodos de capitalização, os Juros (J) simples da operação seriam: J =C × i × n C × i × 2

11 Juros Simples O Montante (M) é igual ao Capital Inicial (C) mais os Juros (J) da operação. M =C + J Isolando i, finalmente teríamos: Considerando o regime de capitalização simples para n períodos, o Montante (M) poderia ser expresso da seguinte forma: M = C + C × i × n M = C × (1 + i × n) VF = VP. (1 + i.n)

12 Juros Simples No regime de capitalização simples, os juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE. VF = VP. (1 + i.n)

13 Juros Simples Abreviaturas das Taxas de Juros: iAbreviaturaSignificado 10 % a.d.ao dia a.d.u.ao dia útil a.m.ao mês a.b.ao bimestre a.t.ao trimestre a.q.ao quadrimestre a.s.ao semestre a.a.ao ano Ano civil ou exato = 365 dias Ano comercial = 360 dias

14 Juros Simples Importante Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma mesma base !! Sugestão : altere e evite alterar Sugestão : altere n e evite alterar i

15 Juros Simples Características dos Juros Simples:  Valor uniforme dos juros períodicos  Valor futuro cresce linearmente  Capitalização Linear Valor Futuro Tempo VP

16 Juros Simples  Considere uma operação de Empréstimo.  Valor atual (Valor Presente) na data zero igual a $100,00.  Taxa de Juros igual a 10% ao período.  Regime de capitalização simples Outra forma de deduzir a fórmula dos Juros Simples:

17 Juros Simples Outra forma de deduzir a fórmula dos Juros Simples: nJurosVFFórmula 0-100,00 VF=VP 110,00110,00 VF=VP + i.VP 10% x $100 210,00120,00 VF=VP + i.VP + i.VP 10% x $100 ni.VPVF VF=VP (1+ i.n) Juros simples sempre incidem sobre valor presente

18 Juros Simples Exemplo 1: Júlia realizou uma aplicação de R$500,00 que foi capitalizada por oito meses a uma taxa simples igual a 5% a.m. Qual será o valor do resgate de Júlia? VF -500 8 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8) VF = R$ 700,00

19 Juros SimplesFórmulas Derivadas

20 Juros Simples Exemplo 2: Firmino precisará de R$1.200,00 em 10 meses. Quanto ele deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% a.m. 1.200,00 -VP 10 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+in) 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = R$ 800,00

21 Juros Simples Exemplo 3: Alípio aplicou R$8.000,00 por seis meses e recebeu R$2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? 10.400,00 -8000 6 meses 0 i = ? VF = VP (1+in) 10400 = 8000 (1+i x 6) i = 5% a.m. i = [(VF / VP) – 1] / n i = [(10400 / 8000) – 1] / 6

22 Juros Simples Exemplo 4: Rommel realizou uma aplicação de R$9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. que resultou em um valor futuro igual a R$11.700,00. Qual foi o prazo em meses dessa operação? 11.700,00 -9000 n=? 0 i = 6% a.m. VF = VP (1+in) 11700 = 9000 (1+0,06 x n) n = 5 meses n = [(VF / VP) – 1] / i n = [(11700 / 9000) – 1] / 0,06

23 Juros Simples Exemplo 5: Vinícius aplicou $500,00 que capitalizou, no regime simples, por 24 meses a 8% a.a. Calcule o valor futuro da aplicação. -$500,00 0 24 VF Taxa anual !!! n em anos X 24 meses = 2 anos 2 anos VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,08 x 2) VF = R$ 580,00

24 Juros Simples Exemplo 6: Danilo precisa descontar no regime simples (também chamado de “racionalmente” ou “por dentro”) uma duplicata com valor nominal de R$4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto? Valor Futuro Valor Presente Juros VP 02 -$4.400,00 VP = VF/ (1+i.n) VP = 4400/(1+0,05.2) VP = R$4000,00 D = 4400-4000 D = R$400,0

25 Juros Simples 1234 0 -4.000,00 1.000,00 2.000,00 X? Cálculo de parcelas intermediárias de operações com regime de capitalização a Juros Simples

26 Juros Simples Exemplo 7: Elinardo comprou um carro novo, com preço à vista igual a $30.000,00. Pagou uma entrada de $8.000,00, mais uma parcela de $14.000,00 em 30 dias e mais uma outra parcela de X em 60 dias. Calcule X considerando uma taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 -$8.000,00-$14.000,00-X Use a data focal 60 dias 03060 dias

27 Juros Simples Exemplo 7: Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 -$8.000,00-$14.000,00-X $22.000,00$23.320,00 $14.420,00 X = 23.320 - 14.420 = $8.900,00 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+in) VF = 22000 (1+0,03.2) VF = $23.320,00 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+in) VF = 14000 (1+0,03.1) VF = $14.420,00 012 meses

28 Juros Simples Exemplo 8: Robson viu que uma loja estava anunciando um forno microondas à vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%a.m., calcule o valor de X. Use a data focal zero.

29 Juros Simples Exemplo 8: i = 4% a.m. (JS) -X $500,00 012 Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.2) VP = 0,9259.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 $264,91

30 Juros Simples Exemplo 9: Um refrigerador é vendido à vista por $1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? $1.800,00 03 -$800,00 -$1.150,00 $1.000,00 03 -$1.150,00 VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i = [(1150/1000) – 1] / 3) i = 5% a.m.

31 Referências Bibliográficas SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson, 2010 BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira: aplicações com HP 12C e Excel. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 2010

32 25/03/2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas Curso de Engenharia de Produção Até a próxima aula! Professor: Engº. Ms. Abraão Freires Saraiva Júnior abraaofsjr@gmail.com