CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR

Apresentação em tema: "CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR"— Transcrição da apresentação:

1 CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR Prof. Bruno Farias

2 Introdução Neste módulo vamos discutir de que forma o movimento complicado de um sistema de objetos, como um carro ou uma bailarina, pode ser simplificado se determinarmos um ponto especial do sistema: o centro de massa.

3 O Centro de Massa (CM) O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. Veremos: Localizar o CM em sistema com poucas partículas; Sistemas com o grande número de partículas; Como o CM se move quando forças externas atuam sobre o mesmo.

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5 Centro de Massa Sistema de Partículas
Consideremos duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância d. Escolhemos a origem de um eixo x que coincidindo com a massa m1 definimos a posição do CM desse sistema de duas partículas como:

6 Centro de Massa Se m2 = 0, só tem uma partícula, e o CM deve estar na posição desta partícula; xCM = 0. Se m1 = 0, de novo teremos só uma partícula e xCM = d. Se m1 = m2, o CM deve está a meia distância entre as duas partículas; xCM = ½ d. Se m1 e m2  0, então o CM estará entre 0 e d, ou seja, o CM estará em algum lugar entre as duas partículas Situação mais geral. onde M = m1 + m2. Se x1 = 0, então x2 = d.

7 Centro de Massa Sistemas de n-partículas
Se considerarmos n partículas localizadas ao longo do eixo x. Nesse caso a massa total é M = m1 + m m= e a posição do centro de massa é

8 Centro de Massa Sistemas de n-partículas
Consideremos n partículas cujas massas são m1, m2, m3, ...mn. Suponha que as coordenadas de m1 sejam (x1, y1, z1), as de m2 sejam (x2,y2, z2) e assim por diante, com mn em (xn, yn, zn), . Definimos o CM como: O vetor posição pode ser escrito como:

9 Exemplo

10 Exercício

11 Centro de Massa Corpos Maciços
Em um bastão de beisebol, contém tantas partículas que nos permite tratá-lo melhor como uma distribuição contínua de massa. As partículas são representadas por elementos de massa dm, e portanto a soma se transforma em integral: onde M agora é a massa do objeto. Por simplificação vamos considerar apenas objetos uniformes., ou seja, a massa específica ρ é a mesma para todas as partes do objeto. Com

12 onde dV é o volume ocupado por um elemento de massa dm e V é o volume total do objeto.
Substituindo dm = (M/V)dV nas integrais anteriores, concluímos que também podemos calcular as componentes do centro de massa de um objeto comum, através de:

13 Quando o corpo homogêneo possui um centro geométrico (cubo, circulo), o CM coincide com o centro geométrico. Assim não é necessário calcular as integrais anteriores. O centro de massa não existe somente na parte maciça do corpo, o CM da rosca está situado exatamente no centro do buraco.

14 Exemplo

15 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
O centro de massa de um conjunto de n partículas se move como uma única partícula cuja massa é igual à massa total do sistema. A equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de um sistema de partículas é a segunda lei de Newton: onde M é a massa total do sistema de partículas.

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17 Fres é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema. Forças de uma parte do sistema que agem sobre outra parte (forças internas) não devem ser incluídas na equação anterior. A equação anterior é equivalente a três equações envolvendo as componentes de Fres e aCM em relação aos três eixos de coordenadas, a saber:

18 Exemplo

19 Momento Linear O momento linear de uma partícula é uma grandeza de vetorial definida como o produto de sua massa pela sua velocidade: A unidade de momento no SI é o quilograma-metro por segundo (kg x m/s).

20 Originalmente Newton expressou a sua segunda lei em termos do momento linear:

21 O Momento Linear de um Sistema de Partículas
O momento linear total P de um sistema de partículas é a soma vetorial dos momentos das partículas individuais: Que também pode ser expresso na forma: Onde M é a massa total do sistema e vCM a velocidade do centro de massa do sistema.

22 Derivando a equação anterior temos:
Então, vemos que é possível escrever a segunda lei de Newton para um sistema de partícula na forma:

23 Exemplo

24 Conservação do Momento Linear
Quando a soma das forças externas que atuam sobre um sistema de partículas permanece zero, a taxa de variação do momento linear total permanece zero, e o momento linear total do sistema permanece constante. Isto é, se Fres = 0 Este resultado, conhecido como lei de conservação do momento linear, também pode ser escrito na forma:

25 Exemplo

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27 Exercício

28 O QUE É UMA COLISÃO? Colisão em Física, significa uma interação entre duas partículas (ou dois corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. Antes Depois Durante

29 Colisão e Impulso O momento p de qualquer corpo que se comporta como uma partícula não pode variar, a menos que uma força externa atue sobre o corpo. A variação de momento linear p durante uma colisão está relacionada à força através da segunda lei de Newton F = dp/dt. Assim, no intervalo de tempo dt, a variação do momento da bola é dada por

30 (Definição de impulso)
A variação total do momento linear provocada durante uma colisão é determinada integrando ambos os membros da equação anterior de um instante ti imediatamente antes da colisão até um instante tf imediatamente após a colisão: O lado direito da equação acima, que é uma medida tanto da intensidade quanto da duração da força da colisão, é chamado de impulso da colisão e representado pelo símbolo J: (Definição de impulso)

31 (teorema do momento linear e impulso)
Assim a variação do momento de um objeto é igual ao impulso exercido sobre o objeto. (teorema do momento linear e impulso) Se temos um gráfico de F em função do tempo t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t, como na Figura abaixo.

32 Em muitas situações não sabemos como a força varia com o tempo, mas conhecemos o módulo médio Fmed da força e a duração Δt da colisão. Nesse caso podemos escrever:

33 Exemplo

34 Exemplo

35 Exercício

36 Exercício

37 Colisões Unidimensionais Elásticas e Inelásticas
Vamos estudar colisões unidimensionais em sistemas de duas partículas onde a ação de uma força externa pode ser desprezada. Assim nesses sistemas o momento linear é conservado. Classificamos o tipo de colisão do sistema de acordo com o que acontece com sua energia cinética total depois da colisão. Se numa colisão, parte da energia cinética inicial é transferida para outras formas de energia, como a energia térmica, e a energia sonora, a colisão é chamada de colisão inelástica: Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica:

38 antes depois + COLISÕES UNIDIMENSIONAIS PERFEITAMENTE INELÁSTICAS
Neste tipo de colisão, a partícula incidente SE AGARRA na partícula alvo.  representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica duma dimensão. O centro de massa está na massa formada pelas duas partículas juntas. Por isso elas se movem com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.

39 VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA
Em um sistema fechado e isolado a velocidade do centro VCM do centro de massa do sistema não pode variar em uma colisão porque, com o sistema isolado não existe uma força externa para causar essa variação.

40 Exemplo

41 COLISÕES ELÁSTICAS NUMA DIMENSÃO
antes: depois: Energia cinética: As equações básicas para uma colisão elástica são:  conservação de momento linear  conservação de energia cinética