MATEMÁTICA DISCRETA – RAV2 PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.

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1 MATEMÁTICA DISCRETA – RAV2 PROFESSORA HELGA BODSTEIN, D.Sc.

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3 Conteúdo Funções Álgebra Relacional e seus conceitos básicos Relação em um Banco de Dados Operações em Álgebra Relacional

4 RAV2 Função Definição formal: Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. A relação f de A para B é chamada uma função se para todo a ∈ A, existe um único b ∈ B tal que (a,b) ∈ f, e se lê: “f é função de A em B”. f: A→B

5 RAV2 Função Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) são válidos.

6 RAV2 Exemplo: Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12}. Representar a relação R = {(x, y)  A X B | y = 3x} em diagrama de flechas e determinar o domínio e a imagem de R. A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} B = {-6, -3, 0, 3, 6, 12} R = {(x, y)  A X B | y = 3x} x3xy -23. (-2)-6 3. (-1)-3 03. (0)0 13. (1)3 23. (2)6 33. (3)9

7 RAV2 D = {-2, -1, 0, 1, 2}; Im = {-6, -3, 0, 3, 6}

8 RAV2 Função - Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Injetora: Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem.

9 RAV2 Função - Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Sobrejetora: Função SOBREJETORA é quando um ou mais de um elemento do conjunto domínio é transformado em um único elemento do conjunto imagem, e não sobra elemento do conjunto imagem.

10 RAV2 Função - Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Função Bijetora: Uma função f de A em B é chamada bijetora, se e somente se, ela for injetora e sobrejetora simultaneamente. Todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.

11 RAV2 Função Funções Compostas A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, determine a função composta g(f(x)) ou gof. g(x) = x – 1 f(x) = 2x + 3 Então: g(f(x)) = (2x + 3) -1 = 2x + 2

12 Função - FUNÇÃO INVERSA Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Dada f(x)=2x, calcule f -1 y = 2x x = 2y 2y = x y=x/2 RAV2

13 Função - Função afim Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. O número a é chamado coeficiente de x e b é chamado de constante.

14 RAV2 Função - Função afim O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

15 RAV2 Função - Função afim Casos Particulares: Função linear.

16 RAV2 Função - Função afim Casos Particulares: Função constante.

17 RAV2 Função - Função afim Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x - 1 y = 3x – 1 Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8) x3x-1y -23. (-2) -1-7 3. (-1) -1-4 03. (0) -1 13. (1) -12 23. (2) -15 33. (3) -18

18 RAV2 Pares: (-2,-7); (-1,-4); 0,-1); (1,2); (2,5); (3,8) 0,0 x y 1 2 1

19 RAV2 Função - Variação de sinal da Função de 1° Grau 1º Caso: a>0 – Função Crescente 2º Caso: a<0 – Função Decrescente

20 RAV2 Função Quadrática ou do 2 o grau Definição: Toda função do tipo y = ax 2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é chamada de função quadrática ou função do 2 o grau. Exemplos: y = 3x 2 – x – 2 f (x) = 4x 2 – 2 f (x) = 5x 2 /3 – x/2 y = x 2

21 RAV2 Função Quadrática ou do 2 o grau Gráfico - O gráfico de uma função polinomial do 2° grau y = ax 2 +bx+c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. Exemplo: y = x 2 + x. xx 2 + xy -3 (-3) 2 +(-3) 6 -2 (-2) 2 +(-2) 2 (-1) 2 +(-1) 0 -1/2 (-1/2) 2 +(-1/2) -1/4 0 (0) 2 +(0) 0 1 (1) 2 +(1) 2 3/2 (3/2) 2 +(3/2) 15/4

22 RAV2 Função Quadrática ou do 2 o grau Zeros ou Raízes da Função ax 2 + bx + c = 0. Utilizamos a fórmula de Bháskara: Onde  = b 2 – 4ac.

23 RAV2 Função Quadrática ou do 2 o grau- Zeros ou Raízes da Função

24 RAV2 O vértice da parábola O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria. O vértice V(x v, y v ) da parábola de equação y = ax 2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é o ponto: onde Δ = b 2 – 4ac.

25 RAV2 Esboçar o gráfico da função: y = 2x 2 – x – 1 1- Determinar as raízes (y=0) - 2x 2 – x – 1 = 0  = b 2 – 4ac   = (-1) 2 – 4. 2.(-1) = 9. x 1 = 1; x 2 = -1/2 X V = = -(-1)/2.2 = 1/4 Y V = = -(9)/4.2 = -9/8 1/4,-9/8

26 RAV2 Função Modular É aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|. Adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo: O gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.

27 RAV2 Função Modular Exemplo: f(x) = |x 2 – 4|

28 RAV2 Função Exponencial Chama-se função exponencial qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = a x, onde a > 0 e a ≠ 1. - Representação gráfica da Função Exponencial

29 RAV2 Função Logarítmica A função f: R * definida por f(x) = log a x, com 1 ≠ a > 0 é chamada função logarítmica de base a. Exemplos: f(x) = log 2 x é função logarítmica de base 2. f(x) = log 1/2 x é função logarítmica de base 1/2. f(x) = log 10 x é função logarítmica de base 10.

30 RAV2 Função Logarítmica Quando a > 1: Exemplo: y = log 2 x → a > 1 Xlog 2 x = yY 1/4 2 y = 1/4  2 y = 2 -2  y = -2 -2 1/2 2 y = 1/2  2 y = 2 -1  y = -1 1 2 y = 1  2 y = 2 0  y = 0 0 2 2 y = 2  2 y = 2 1  y = 1 1 42 y = 4  2 y = 2 2  y = 22

31 RAV2 Função Logarítmica Quando 0 < a < 1 Exemplo: y = log 1/2 x → 0 < a < 1 XLog 1/2 x = yY 1/4 (1/2) y = 1/4  2 -y = 2 -2  y = 2 2 1/2 (1/2) y = 1/2  2 -y = 2 -1  y = 1 1 1 (1/2) y = 1  2 -y = 2 0  y = 0 0 2 (1/2) y = 2  2 -y = 2 1  y = -1 4(1/2) y = 4  2 -y = 2 2  y = -2-2

32 RAV2 Função Logarítmica Observações: Nos dois exemplos, podemos observar que o gráfico não intercepta o eixo vertical. O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x = 1. y assume todos os valores reais.

33 RAV2 Álgebra Relacional Introdução A Álgebra Relacional é uma linguagem de consulta formal, porém procedimental, ou seja, o usuário dá as instruções ao sistema para que o mesmo realize uma sequência de operações na base de dados para calcular o resultado desejado.

34 RAV2 Álgebra Relacional Terminologia Na terminologia formal de modelo relacional, temos: A tabela é chamada de relação RELAÇÃO

35 RAV2 Álgebra Relacional Terminologia Na terminologia formal de modelo relacional, temos: Uma linha é chamada de tupla TUPLAS →

36 RAV2 Álgebra Relacional Terminologia Na terminologia formal de modelo relacional, temos: O cabeçalho da coluna é chamado de atributo ATRIBUTO →

37 RAV2 Álgebra Relacional

38 RAV2 Álgebra Relacional Operação de Seleção É utilizada para selecionar um subconjunto de tuplas numa relação que satisfaça uma condição de seleção predefinida. Indicada por  (letra grega sigma) ou s Relação 2 ←  (critério da seleção) (Relação1)  (critério da seleção) (Relação1)

39 RAV2 Álgebra Relacional Operação de Projeção A operação de Projeção seleciona colunas específicas numa relação, isto é, efetua um corte vertical na relação. Geralmente indicada por  (letra grega pi maiúsculo) ou p.  colunas desejadas (Relação 1) Relação 2 ←  colunas desejadas (Relação 1)

40 RAV2 Álgebra Relacional Produto Cartesiano Produz uma relação com todas as colunas das relações envolvidas e a combinação de todas as linhas de uma relação com todas as linhas da outra relação. Número de colunas – soma do número de colunas das tabelas de origem. Número de tuplas – produto do número de tuplas das tabelas de origem.

41 RAV2 Álgebra Relacional Junção Natural É uma operação binária denotada por (R1 R2), onde R1 e R2 são relações com uma coluna em comum. O resultado da junção natural é uma relação com todas as linhas de R1 e de R2 que possuem a coluna em comum. A coluna comum às relações R1 e R2 aparece uma única vez no resultado.

42 RAV2 Álgebra Relacional União de Relações Geração de uma nova relação através da reunião das tuplas de duas relações. Símbolo:  Para a União, as relações têm que ser compatíveis de união (mesmo número de colunas, mesmo domínio).

43 RAV2 Álgebra Relacional Diferença de Relações Geração de uma nova relação contendo as tuplas que estão em uma relação mas não estão na outra. Para a diferença, as relações também têm que ser compatíveis de união, ou seja, mesmo número de colunas, mesmo domínio.

44 RAV2 Álgebra Relacional Interseção de Relações Geração de uma nova relação contendo apenas as tuplas que pertençam às duas relações simultaneamente. Para a Interseção, as relações também têm que ser compatíveis de união.

45 RAV2 Álgebra Relacional Junção de Relações Implementa a composição dos operadores de produto cartesiano e de seleção. Podemos usar a junção para substituir as etapas de seleção de um produto cartesiano

46 RAV2 Álgebra Relacional Exemplos. Seja o esquema relacional: FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco)

47 RAV2 1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”. FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco)

48 RAV2 1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”. PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) PROJETO ALOCAÇÂO Codigo = Proj-Codigo

49 RAV2 1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”. PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)  PROJETO.Nome=Copa 2014 PROJETO ALOCAÇÂO Codigo = Proj-Codigo

50 RAV2 1.Buscar os dados dos dependentes dos funcionários alocados no Projeto “Copa 2014”. DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) DEPENDENTE  PROJETO.Nome=Copa 2014 PROJETO ALOCAÇÂO Func-Matricula = Codigo = Proj-Codigo ALOCAÇÂO.Func-Matricula

51 RAV2 2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”. FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco)

52 RAV2 2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”. FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco) FUNCIONÁRIO DEPENDENTE Matrícula = Func-Matricula

53 RAV2 2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”. FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco)  DEPENDENTE.Sexo=masculino^DEPENDENTE.Parentesco=filho^FUNCIONÁRIO.Nome=Maria João Oliveira Silva FUNCIONÁRIO DEPENDENTE Matrícula = Func-Matricula

54 RAV2 2.Buscar os nomes dos filhos de sexo masculino dos funcionários de nome “ Maria João Oliveira Silva”. FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco)  DEPENDENTE.Nome  DEPENDENTE.Sexo=masculino^DEPENDENTE.Parentesco=filho^FUNCIONÁRIO.Nome=Maria João Oliveira Silva FUNCIONÁRIO DEPENDENTE Matrícula = Func-Matricula

55 RAV2 3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008. FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) DEPENDENTE (Func-Matricula, Numero, Nome, Sexo, Parentesco)

56 RAV2 3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008. PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término)  PROJETO.Valor =01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data- término<=31/12/2008 PROJETO ALOCAÇÂO Codigo = Proj-Codigo

57 RAV2 3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008. PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento) FUNCIONÁRIO Matrícula =ALOCAÇÂO.Func-Matrícula  PROJETO.Valor =01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-érmino<=31/12/2008 PROJETO ALOCAÇÂO Codigo = Proj-Codigo

58 RAV2 3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008. PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)  FUNCIONÁRIO.Sexo=feminino FUNCIONÁRIO Matrícula =ALOCAÇÂO.Func-Matrícula  PROJETO.Valor =01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-érmino<=31/12/2008 PROJETO ALOCAÇÂO Codigo = Proj-Codigo

59 RAV2 3.Buscar o nome e o CPF dos funcionários de sexo feminino alocados em projetos com valor inferior a 100.000,00, realizados em 2008. PROJETO (Código, Nome, Descrição, Valor) ALOCAÇÃO (Func-Matricula, Proj-Codigo, Data-início, Data-Término) FUNCIONÁRIO (Matrícula, Nome, Sexo, CPF, Rua, Número, Complemento)  FUNCIONÁRIO.Nome, FUNCIONÁRIO.CPF  FUNCIONÁRIO.Sexo=feminino FUNCIONÁRIO Matrícula =ALOCAÇÂO.Func-Matrícula  PROJETO.Valor =01/01/2008^ALOCAÇÂO.Data-érmino<=31/12/2008 PROJETO ALOCAÇÂO Codigo = Proj-Codigo