Testes de hipótese com uma amostra. Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 1. Declare afirmação verbal e matemáticamente. Identifique as hipóteses.

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1 Testes de hipótese com uma amostra

2 Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 1. Declare afirmação verbal e matemáticamente. Identifique as hipóteses nula e alternativa.  afirme H ₀ e H. 2. Especifique o nível de significância.  Identifique α 1. Declare afirmação verbal e matemáticamente. Identifique as hipóteses nula e alternativa.  afirme H ₀ e H. 2. Especifique o nível de significância.  Identifique α

3 Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 3. Determine a estatística do teste padronizado. 4. Encontre a área que corresponde a z.  Use a tabela de Padrão Normal. 3. Determine a estatística do teste padronizado. 4. Encontre a área que corresponde a z.  Use a tabela de Padrão Normal.

4 Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 5. Encontre o valor P: a. Para um teste unicaudal à esquerda, P=(área na cauda esquerda) b. Para um teste unicaudal à direita, P=(área na cauda direita) c. Para um teste bicaudal, P=(área na cauda da estatística do teste)

5 Testes de hipóteses para média (amostras grandes) 6. Tome uma decisão para rejeitar ou falhar em rejeitar a hipótese nula.  Rejeitar H ₀ se o valor P for menor ou igual a α. Caso contrário, falhe em rejeitar H ₀. 7. Interprete a decisão no x contexto da afirmação original.

6 Exercício proposto1  Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidência suficiente para apoiar a afirmação em α=0,01? Use o valor P.

7 Continuando...  Solução:  A afirmação é “a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos”.Então as hipóteses nula e alternativa são:  H ₀ : μ ≥ 30 minutos  H: μ < 30 minutos(afirmação)  O nível de confiança é α =0,01.

8 Continuando...  A estatística do teste padronizado é:  Na tabela 4, a área correspondente a z=-2,57 é 0,0051.  Como esse teste é um teste unicaudal à esquerda, o valor de P é igual a área esquerda de z=-2,57.

9 Continuando...  Então, P=0,0051. Pelo fato do valor P ser menos que α=0,01, você deve rejeitar a hipótese nula. -3 -2 -1 0 1 2 3 H ₀ : ≥ 30 minutos H: < 30 minutos (afirmação) Teste unicaudal à esquerda A área à esquerda de z=-2,57 é P=0,0051 Z=-2,57 z

10 Continuando...  Interpretação:  No nível de significância 1%, você tem evidência suficiente para concluir que a média do tempo de entrega é menor que 30 minutos.

11 Exercício proposto2  Você acha que a informação do investimento médio de franquia mostrada no gráfico é incorreta, então você seleciona aleatoriamente 30 franquias e determina o investimento necessário para cada. A média amostral de investimento é $135.000 com desvio padrão de $30.000. Há evidência suficiente para apoiar sua afirmação em α=0,05. Use o valor P.

12 Continuando... .. 50 40 30 20 10 Porcentagens de respostas Investimento de franquias Investimento médio é $143.260 43% 41% 16% Menos que $100.000 $100.000 ou mais Não sabe/não responde

13 Regiões de rejeição e valores críticos  Outro método para decidir se rejeita a hipótese nula é determinar se a estatística do teste padronizada está dentro de uma amplitude de valores chamada de região de rejeição da distribuição de amostragem.

14 Definição  Uma região de rejeição (ou região crítica) da distribuição amostral é a amplitude de valores para a qual a hipótese nula não é provável. Se uma estatística de teste está nessa região, a hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico Z ₀ separa a região de rejeição da região de não rejeição.

15 Resumo  Encontrando os valores críticos em uma distribuição normal 1. Especifique o nível de significância α. 2. Decida se o teste é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. 3. Encontre o(s) valor(es) crítico(s) z ₀. Se o teste de hipótese for: a. Caudal à esquerda, encontre o z – escore que corresponda à área de α.

16 Continuando... b. Caudal à direita, encontre o z – escore que corresponda à área 1- α. c. Bicaudal, encontre o z – escore que corresponda a ½α e 1- ½α. 4. Faça a distribuição normal. Desenhe uma linha vertical em cada valor crítico e sombreie a região de rejeição.

17 Regra de decisão baseada na região de rejeição  Para usar a região para conduzir um teste de hipótese, calcule a estatística do teste padronizado z. Se a estatística do teste padronizado: 1. Estiver na região de rejeição, então rejeite H ₀. 2. Não estiver na região de rejeição, então falhe em rejeitar H ₀.

18  Falhar em rejeitar a hipótese nula não significa que você aceitou a hipótese nula com verdadeira. Simplesmente significa que não evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula. Regra de decisão baseada na região de rejeição Teste unicaudal à direita 0 z ₀ z>z ₀ Rejeite H ₀ Falhe em rejeitar H ₀ z Teste unicaudal à esquerda z <- z ₀ -z ₀ 0 Rejeite H ₀ Falhe em rejeitar H ₀ z Teste bicaudal z z ₀ Rejeite H ₀ Falhe em rejeitar H ₀ z Rejeite H ₀

19 Exercício proposto 3  Funcionários de uma grande firma de contabilidade afirmam que a média dos salários dos contadores é menor que a de seu concorrente, que é $45.000. Uma amostra aleatória de 30 dos contadores da firma tem média de salário de $43.500 com desvio padrão de $5.200. Com α=0,05, teste a afirmação dos funcionários.

20 Continuando..  Solução:  A afirmação é “a média dos salários dos contadores é menor que $45.000. Então, a hipótese nula e alternativa são:  H ₀ : μ ≥ $45.000  H: μ < $45.000 (afirmação)

21 Continuando...  Em razão de o teste ser unicaudal à esquerda e o nível de significância ser α=0,05, o valor crítico é z 0 = -1,645 e a região de rejeição é z< -1,645.  A estatística do teste padronizado é:

22 Continuando...  Na tabela 4, a área correspondente a z=-2,57 é 0,0051.  Como esse teste é um teste unicaudal à esquerda, o valor de P é igual a área esquerda de z=-2,57.  O gráfico mostra a localização da região de rejeição e da estatística de teste padronizado z. Em virtude de z não estar na região de rejeição, você falhar em rejeitar a hipótese nula.

23 Continuando...  Interpretação:  Não há evidência suficiente no nível de significância de 5% para apoiar a afirmação dos funcionários de que a média do salário é menor que $45.000 -3 -2 -1 0 1 2 3 H ₀ : ≥ $45.000 H: < $ 45.000 (afirmação) Nivel de significância de 5% Z 0 =- 1,645 z 1- α=0,95 α=0,05 z ≈ - 1,58

24 Exercício proposto 4  O departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o custo médio para se criar um filho até a idade de 2 anos na zona rural é de $10.460. Você acredita que esse valor está incorreto, então você seleciona uma amostra aleatória de 900 crianças (com idade de 2 anos) e descobre que a média dos custos é $10.345 com desvio padrão de $1.540. Com = 0,05, há evidência suficiente para concluir que a média do custo é diferente de $10.460?

25 Testes de hipóteses para média (amostras pequenas)  Amostras pequenas n < 30.  Se a população tiver uma distribuição normal, ou aproximadamente normal, você ainda pode testar a média populacional.  Para isso, você pode usar a distribuição de amostragem t com n-1 graus de liberdade.

26 Encontrando valores críticos em uma distribuição t 1. Identifique o nível de confiança α. 2. Identifique os graus de liberdade g.l = n-1. 3. Encontre os valores críticos usando a tabela 5 na fileira n-1 graus de liberdade. Se o teste de hipótese for:

27 Encontrando valores críticos em uma distribuição t a. unicaudal à esquerda, use a coluna “unicaudal α” com sinal negativo. b. unicaudal à direita, use a coluna “unicaudal α” com sinal positivo. c. bicaudal, use a coluna “bicaudal” α com sinal positivo e negativo.

28 Usando teste t para uma média (amostras pequenas) 1. Expresse a afirmação matemática e verbalmente. Identifique a hipótese nula e alternativa.  Afirme H ₀ e H. 2. Especifique o nível de significância.  Identifique α.

29 Usando teste t para uma média (amostras pequenas) 3. Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição de amostragem.  g.l=n-1 4. Determine quaisquer valores críticos.  Use a tabela 5.

30 Usando teste t para uma média (amostras pequenas) 5. Determine quaisquer regiões de rejeição. 6. Encontre a estatística do teste padronizado.

31 Usando teste t para uma média (amostras pequenas) 7. Tome uma decisão de rejeitar ou falhar em rejeitar a hipótese nula.  Se t estiver na região de rejeição rejeite H ₀. Caso contrário, falhe em rejeitar H ₀. 8. Interprete a decisão no contexto da afirmação original.

32 Exercício proposto Um revendedor de carros usados diz que o preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de pelo menos $23.900. Você suspeita que essa afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $23.000 e desvio padrão de $1.113. Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor em α=0,05? Assuma que a população é normalmente distribuída.

33 Continuando...  Solução:  A afirmação é “a média de preço é de pelo menos $23.900”. Então, as hipóteses nula e alternativa são:  H ₀ : μ ≥ $23.900 (afirmação)  H: μ < $23.900

34 Continuando...  O teste é unicaudal à esquerda, o nível de significância é  α=0,05 e os g.l=14-1=13 graus de liberdade.  Na tabela 5, o valor crítico é t 0 =-1,771. A região de rejeição é t<-1,771.

35 Continuando...  A estatística de teste padronizada é:  O gráfico mostra a localização da região de rejeição e a estatística de teste padronizada t. Porque t está na região de rejeição, você deve decidir rejeitar a hipótese nula.

36 Continuando...  Interpretação:  Há evidência suficiente no nível de significância de 5% para rejeitar a afirmação de que a média de preço do Honda Pilot LX2005 é de pelo menos $23.900. -3 -2 -1 0 1 2 3 H ₀ : ≥ $23.900(afirmação) H: < $ 23.900 Nivel de significância de 5% t 0 =- -1,771 t 1- α=0,95 α=0,05 t≈ - 3,026

37 Exercício proposto  Uma indústria afirma que a média do nível do pH na água do río mais próximo é de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α =0,05? Assuma que a população é normalmente distribuída.

38 Bibliografia  COSTA NETO, P.L.O. Estatística. 7a Ed., São Paulo, Editora Blucher Ltda., 1987.  HOEL, P.G. Estatística Elementar. Rio de Janeiro, Editora Atlas, 1989.  DIXON & MASSEY. Introduction to Statistical Analysis. McGraw Hill, 1969.  PAERSON EDUCATION Estatística Aplicada São Paulo, 2010.