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PublicouLucas Carvalho Henriques Alterado mais de 7 anos atrás
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LOGARITMOS EQUAÇÕES
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Função logarítmica Uma função f: é função logarítmica quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = log a x para todo x. g(x) = h(x) = i(x) = Exemplos
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Valor de uma função logarítmica Dada a função, vamos calcular f(7). Logo: f(7) = 1 Nesse caso, temos x = 7, então:
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Valor de uma função logarítmica Resolução
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Equações logarítmicas Equações cuja incógnita está no logaritmando ou na base do logaritmo são chamadas equações logarítmicas. Exemplos
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a)Vamos resolver a equação log 6 (x + 5) = 2. 1 o ) Condição de existência: x + 5 > 0 x > –5 2 o ) Resolução da equação: log 6 (x + 5) = 2 6 2 = x + 5 x = 36 – 5 x = 31 definição de logaritmo Como 31 atende à condição de existência do logaritmo, então: x = 31 Resolução de equações logarítmicas
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b) Vamos determinar a solução do sistema. 1 o ) Condição de existência: 2 o ) Resolução do sistema: Substituindo (I) em (II): 4y + y = 5 5y = 5 y = 1 (I) (II) x > 0 e y > 0 Substituindo y por 1 em (I): x = 4 ∙ 1 x = 4 Como ambos os resultados são positivos, temos: S = {(4, 1)} Resolução de equações logarítmicas
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c) Agora vamos determinar a solução da equação log (x + 1) 9 = 2. 1 o ) Condições de existência: x + 1 > 0 x > –1 2 o ) Resolução da equação: log (x + 1) 9 = 2 (x + 1) 2 = 9 x 2 + 2x – 8 = 0 x = 2 ou x = –4 Como x = –4 não atende à condição de existência do logaritmo, então: x = 2 Portanto, o conjunto solução é S = {2} x + 1 1 x 0 Resolução de equações logarítmicas
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Exercícios 1. Resolver a equação log 2 x – 5 log x + 4 = 0. Resolução Condição de existência: x > 0. Substituindo log x por y, temos: Como y = log x, então: Como ambos os resultados são positivos, temos: S = {10, 10.000} log x = 1 x = 10 log x = 4 x = 10.000
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Inequações logarítmicas Inequações que têm a incógnita no logaritmando são denominadas inequações logarítmicas. Exemplos
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Quando a > 1: Sinal mantido Relações de desigualdade nas inequações
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Quando 0 < a < 1: Sinal invertido Relações de desigualdade nas inequações
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a) Vamos resolver a equação log (x + 13) > log 2. 1 o ) Condição de existência: 2 o ) Resolução da inequação: As condições (I) e (II) devem ser satisfeitas: (II) sinal mantido x + 13 > 0 x > –13 (I) a = 10 > 1 Logo: S = Resolução de inequações logarítmicas
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b) Vamos resolver a inequação simultânea 1 < log 3 (2x – 1) < 4. 1 o ) Condição de existência: 2x – 1 > 0 – (I) 2 o ) Resolução da inequação. Como: 4 Então: Resolução de inequações logarítmicas Como a base é 3 (maior que 1), temos: 3 2 (II) 2x – 1 < 81 x < 41 (III) Determinando a interseção de I, II e III, temos: Logo: S =
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Exercícios 1. Resolver a inequação.
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Condições de existência: x > 0 –x + 10 > 0 x < 10. Devemos escrever –2 como o logaritmo de um número na base : Assim: 0 < x < 10 (I) Resolução:
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Como a base é (está entre 0 e 1), a relação de desigualdade entre os logaritmos se inverte entre os logaritmandos: Resolvendo a equação –x 2 + 10x – 9 = 0: sinal invertido Resolução: continuação
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Para estudar o sinal da função quadrática f(x) = –x 2 + 10x – 9, cujos zeros são 1 e 9, vamos esboçar o gráfico: Portanto: (II) Resolução: continuação
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As desigualdades (I) e (II) devem ser satisfeitas: Logo: S = 0 < x < 10 e 1 ≤ x ≤ 9 Resolução: continuação
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2. Determinar para que valores de x é definida a função f(x) = log 6 (log 2 x). Exercícios
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As desigualdades (I) e (II) devem ser satisfeitas: x > 0 e x > 1 Logo: D(f) = Resolução Para que essa função seja definida, é necessário que log 2 x > 0. Condição de existência: x > 0 (I) Sabendo que a base é 2 (maior que 1) e que 0 = log 2 1, podemos resolver a inequação: log 2 x > 0 log 2 x > log 2 1 x > 1 (II)
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