Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal.

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1 Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Métodos Numéricos para Engenharia Química Métodos Numéricos para Engenharia Química Prof. Nilton Silva Aula 03

2 Aproximações de Funções Há basicamente dois tipos de problemas de aproximações: i)encontrar uma função “mais simples”, como um polinômio, para aproximar uma função dada de forma explícita; ii) encontrar e ajustar a “melhor” função a dados (ou pontos) discretos. Há basicamente dois tipos de problemas de aproximações: i)encontrar uma função “mais simples”, como um polinômio, para aproximar uma função dada de forma explícita; ii) encontrar e ajustar a “melhor” função a dados (ou pontos) discretos.

3 Aproximações de Funções Há basicamente dois tipos de problemas de aproximações:

4 Aproximações de Funções Frações continuadas Como alternativa à aproximação por série de Taylor, podemos utilizar a expansão da função f(x) em frações continuadas (ou contínuas). x]. De forma geral, a expansão pode ser sumarizada pela expressão: Exemplo: Frações continuadas Como alternativa à aproximação por série de Taylor, podemos utilizar a expansão da função f(x) em frações continuadas (ou contínuas). x]. De forma geral, a expansão pode ser sumarizada pela expressão: Exemplo:

5 Aproximações de Funções Frações continuadas Esse tipo de expansão pode ser representada na forma RECURSIVA (mais apropriada para implementação computacional): Frações continuadas Esse tipo de expansão pode ser representada na forma RECURSIVA (mais apropriada para implementação computacional):

6 Aproximações de Funções Frações continuadas Exemplo: Frações continuadas Exemplo:

7 Aproximações de Funções Frações continuadas Exemplo: Frações continuadas Exemplo:

8 Exercícios - Frações continuadas Obter o valor das funções a partir das frações continuadas, considerando n = 10, para:

9 Aproximações de Funções Razão de Polinômios A desvantagem de usar polinômios para a aproximação é sua tendência à oscilação. Este comportamento pode ser reduzido com o uso de funções racionais, que são razões de polinômios: Razão de Polinômios A desvantagem de usar polinômios para a aproximação é sua tendência à oscilação. Este comportamento pode ser reduzido com o uso de funções racionais, que são razões de polinômios:

10 Aproximações de Funções Razão de Polinômios Exemplo: Razão de Polinômios Exemplo:

11 Aproximações de Funções Razão de Polinômios Técnica da aproximação de Padé: Utiliza a condição f (k) (0) = r (k) (0), k = 0, 1, 2,..., N, ou seja, f(x) – r(x) deve ter um zero de multiplicidade N+1 em x = 0, onde N = m+n. Fazendo, temos: Razão de Polinômios Técnica da aproximação de Padé: Utiliza a condição f (k) (0) = r (k) (0), k = 0, 1, 2,..., N, ou seja, f(x) – r(x) deve ter um zero de multiplicidade N+1 em x = 0, onde N = m+n. Fazendo, temos:

12 Aproximações de Funções Razão de Polinômios Técnica da aproximação de Padé: E para existir um zero de multiplicidade N+1 em x = 0, os coeficientes de x k do numerador devem se anular: Razão de Polinômios Técnica da aproximação de Padé: E para existir um zero de multiplicidade N+1 em x = 0, os coeficientes de x k do numerador devem se anular:

13 Aproximações de Funções Razão de Polinômios - Técnica da aproximação de Padé: Exemplos: Razão de Polinômios - Técnica da aproximação de Padé: Exemplos:

14 Aproximações de Funções Razão de Polinômios - Técnica da aproximação de Padé