NOÇÕES DE PROBABILIDADE. Exemplos: 1.Resultado no lançamento de um dado; 2.Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 3.Condições climáticas.

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1 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

2 Exemplos: 1.Resultado no lançamento de um dado; 2.Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 3.Condições climáticas do próximo domingo; 4.Taxa de inflação do próximo mês; 5.Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso. Experimento Aleatório Experimento Aleatório : procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes

3 Espaço Amostral (  ) Espaço Amostral (  ) : conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 4. Tempo de duração de uma lâmpada.  = {t: t  0} 1. Lançamento de um dado.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sangüíneo).  = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar.  = {Fumante, Não fumante} Exemplos:

4 Notação: A, B, C...  (conjunto vazio): evento impossível  : evento certo Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6}   B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}   C: sair face 1 C = {1}   Eventos Eventos : subconjuntos do espaço amostral  Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5 A  B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A  B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B.

6 O complementar de A é representado por A c. A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A  B =  A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A  B =  e A  B = 

7 sair uma face par ou face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6} sair uma face par e face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} =  sair uma face par e maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par ou maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} Exemplo : Lançamento de um dado não sair face par A C = {1, 3, 5}

8 Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: 1.Freqüências de ocorrências 2.Suposições teóricas.

9 Exemplo: Lançamento de um dado  Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) =... = P(face 6) = 1/6. Probabilidade Atribuição da probabilidade: 1. Através das freqüências de ocorrências. O experimento aleatório é repetido n vezes Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre.  Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade. 2. Através de suposições teóricas.

10 A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: caso discreto modelo probabilístico No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: O espaço amostral  = {w 1,w 2,... }

11 Ainda no caso discreto, Se A é um evento, então Se e (pontos equiprováveis), então

12 Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe. Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos. Sexo Alfabetizado Total SimNão Masc.39.5778.67248.249 Fem.46.3047.29756.601 Total85.88115.969101.850 Fonte: IBGE- Censo 1991

13  : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; S : jovem sorteado é alfabetizado; N : jovem sorteado não é alfabetizado. Temos ir para a tabelair para a tabela 0,157 101.850 15.969  P(N)  0,843 101.850 85.881  P(S)  0,526 101.850 56.601  P(F)  0,474 101.850 48.249  P(M) 

14  Sexo Alfabetizado Total SimNão Masc.39.5778.67248.249 Fem.46.3047.29756.601 Total85.88115.969101.850

15 M  S : jovem é alfabetizado e do sexo masculino Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino? M  S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino? S) S S

16 Sejam A e B eventos de . Então, Para qualquer evento A de , P(A) = 1 - P(A c ). Regra da adição de probabilidades P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Conseqüências: Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A  B) = P(A) + P(B).

17 Probabilidade condicional: Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades Analogamente, se P(A) >0,

18 0,82. 101.850 48.249 101.850 39.577  39.577 / 48.249 = 0,82. Diretamente da tabela temos P(S | M) = Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino? P(M) M)P(S M)|P(S definição definição, Pela    Sexo Alfabetizada Total SimNão Masc.39.5778.67248.249 Fem.46.3047.29756.601 Total85.88115.969101.850

19 A: 2ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A) = ??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades. Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição.

20 B V V B V B 1Total V VB BV BB ProbabilidadesResultados Temos

21 1Total V VV V VB BV BB ProbabilidadeResultados Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1 a bola sorteada é reposta na urna antes da 2 a extração. Nesta situação, temos B V V B V B

22 ou seja, o resultado na 2 a extração independe do que ocorre na 1 a extração. P(A) = P(branca na 2ª) = Neste caso, P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = P(A | C c ) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

23 Independência de eventos Independência de eventos : Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, Temos a seguinte forma equivalente:

24 Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9  Qual foi a suposição feita?