CAMPOS ELÉTRICOS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA GRADUAÇÃO EM engenharia mecânica CAMPUS.

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1 CAMPOS ELÉTRICOS INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA GRADUAÇÃO EM engenharia mecânica CAMPUS LAGES PATRESE VIEIRA AGOSTO DE 2017

2 Forças de ação à distância têm atreladas a si um campo, que pode ser interpretado como uma região na qual essa força atua. Por exemplo, a força gravitacional está relacionada a um campo gravitacional, zona na qual a influência dessa força é percebida. A Terra, assim como qualquer outro corpo com massa, produz um campo gravitacional ao seu redor, motivo pelo qual somos atrídos para sua superfície ou a Lua orbita nosso planeta.

3 Da mesma maneira, a força elétrica também é uma força de ação à distância, portanto existe um campo elétrico. Assim como uma corpo com massa produz ao redor de si um campo gravitacional, uma carga elétrica sempre terá a sua volta um campo elétrico Embora seja necessário no mínimo duas cargas elétricas para que haja uma interação por meio da força elétrica, o campo elétrico é criado apenas por uma única carga, uma vez que ela é uma propriedade intrínseca da carga.

4 Um campo elétrico é uma grandeza vetorial, pois trata de uma distribuição de vetores ao redor da carga elétrica. Por convenção, o sentido desses vetores depende do sinal da carga geradora do campo.    Cargas negativas geram campos elétricos direcionados para a carga, chamados de convergentes. Já as cargas positivas têm suas linhas de campo apontadas para longe da carga, sendo portanto campos divergentes.

5 Outra forma de representar graficamente os campos elétrico se dá através das linhas de campo, que possuem orientação determinada pela mesma regra que os vetores do campo elétrico. Essa formação contribui no entendimento da atração ou repulsão das cargas elétricas:

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7 Para campos formados por distribuições de cargas não pontuais, há formatos diferentes para a distribuição das linhas, porém as mesmas sempre respeitam a orientação devido ao sinal da carga. Um placa com distribuição uniforme de cargas elétricas gera vetores inicialmente paralelos entre si que possuem o mesmo valor, dessa forma há um campo elétrico uniforme.

8 Quando temos duas cargas de igual valor e sinais opostos interagindo entre si há a configuração conhecida como dipolo elétrico:

9 É possível determinar a intensidade de um campo elétrico 𝐸 ao testar sua influência sobre uma carga elétrica colocada em seu interior, denominada carga de prova q0. Ao medir a ação da força elétrica 𝐹 sobre a carga de prova, o campo é obtido por: 𝐸 = 𝐹 𝑞 0 A unidade de medida utilizada para o campo elétrico será, em princípio, o Newton por Coulomb [N/C].

10 ● CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA CARGA PONTUAL
Conforme definido inicialmente para o campo elétrico: 𝐸 = 𝐹 𝑞 0 Substituindo a força elétrica sobre a carga de prova q0 pela Lei de Coumlob: 𝐹 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑞 𝑞 0 𝑟 2 𝑟 Obtém-se que: 𝐸 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝑞 𝑟 2 𝑟

11 Da mesma maneira como é possível calcular a força elétrica resultante sobre determinada carga pontual pela soma de cada força sobre a mesma, o mesmo princípio é válido para um campo elétrico, uma vez que ele também é um vetor: 𝐸 = 𝐹 𝑞 0 = 𝐹 𝑞 𝐹 𝑞 𝐹 𝑞 0 +⋯+ 𝐹 0𝑛 𝑞 0 𝐸 = 𝐸 𝐸 𝐸 3 +⋯+ 𝐸 𝑛

12 EXEMPLO 1

13 ● CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO
O campo elétrico será calculado sobre o eixo que une as duas cargas que constituem o dipolo:

14 E = E(+) – E(-) 𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑞 𝑟 − 1 4𝜋 𝜀 0 𝑞 𝑟 − 2 𝐸= 𝑞 4𝜋 𝜀 0 𝑧− 1 2 𝑑 2 − 𝑞 4𝜋 𝜀 0 𝑧+ 1 2 𝑑 2

15 𝐸= 𝑞 4𝜋 𝜀 0 𝑧 − 𝑑 2𝑧 2 − 𝑑 2𝑧 2 𝐸= 𝑞 4𝜋 𝜀 0 𝑧 𝑑 𝑧 1− 𝑑 2𝑧 𝐸= 𝑞 2𝜋 𝜀 0 𝑧 3 𝑑 1− 𝑑 2𝑧

16 De modo geral, o cálculo do campo ocorre em pontos nos quais z >> d, uma vez que a dimensão do dipolo é muito pequena. Consequentemente, o termo (d/2z) << 1, assim é possível desconsiderá-lo. Desse modo, o campo elétrico é simplificado para: 𝐸= 1 2𝜋 𝜀 0 𝑞𝑑 𝑧 3 O produto qd é definido como uma nova grandeza física, denominada momento dipolar elétrico 𝑝 , medido em Coulomb vezes metro [Cm]. Logo, para o campo elétrico: 𝐸= 1 2𝜋 𝜀 0 𝑝 𝑧 3

17 EXEMPLO 2

18 ● CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGAS
Considera o cálculo do campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas ao longo de linha. Nesse caso, é util utilizar a grandeza densidade linear de carga λ, sendo: 𝜆= 𝑞 𝑙 Onde q e l são, respectivamente, a carga elétrica e o comprimento da linha. A unidade de medida da densidade linear de carga é o Coulomb por metro [C/m].

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20 Será calculado o campo elétrico produzido por um anel delgado de raio R e densidade linear de carga λ em um ponto P sobre o eixo que pessa perpendicularmente sobre o centro do anel.

21 Como agora há um número elevado de cargas elétricas, diferentemente dos casos da carga pontual e do dipolo elétrico, serão consideradas noções do cálculo diferencial e integral para a determinação do campo. Uma vez que se torne possível conhecer o campo produzido por um elemento infinitesimal de carga dq sobre o ponto P, é possível integrá-lo e assim determinar o campo elétrico resultante campo resultante. Para um elemento de arco ds do anel, a densidade linear de carga λ é fornecida por: 𝜆= 𝑑𝑞 𝑑𝑠 𝑑𝑞=𝜆𝑑𝑠

22 Para o campo produzido pelo elemento de carga dq:
𝑑𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑑𝑞 𝑟 2 = 1 4𝜋 𝜀 0 𝜆𝑑𝑠 𝑟 2 De acordo com o Teorema de Pitágoras: 𝑑𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝜆𝑑𝑠 𝑧 2 + 𝑅 2 2

23 Conforme a figura, o vetor 𝑑 𝐸 possui um componente perpendidular e outro paralelo ao eixo central. Os componentes perpendicular produzidos pelos n elementos de carga dq se anulam, uma vez que possuem o mesmo módulo e orientações diferentes. O interesse consiste no cálculo do componente paralelo. Para o ângulo θ entre 𝑑 𝐸 e seu componente paralelo, temos que: 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑧 𝑟 = 𝑧 𝑧 2 + 𝑅 2 1/2

24 Portanto, para dEcosθ: 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃= 1 4𝜋 𝜀 0 𝜆𝑑𝑠 𝑧 2 + 𝑅 ∙ 𝑧 𝑧 2 + 𝑅 2 1/2 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑧𝜆 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑅 2 3/2 𝑑𝑠 Como o campo elétrico resultante E é contituído somente pelos componentes paralelos: 𝑑𝐸=𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐸 = 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃

25 𝐸= 𝑧𝜆 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑅 2 3/2 𝑑𝑠 𝐸= 𝑧𝜆 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑅 2 3/ 𝜋𝑅 𝑑𝑠 𝐸= 𝑧𝜆(2𝜋𝑅) 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑅 2 3/2 Sendo 𝜆(2𝜋𝑅) igual a carga elétrica total q do anel, obtém-se para o campo elétrico que: 𝐸= 𝑞𝑧 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑅 2 3/2

26 Para casos nos quais z>> R, ou seja, que o ponto P esteja muito distante do anel, se tem que z² + R² = z², assim o campo pode ser descrito como: 𝐸= 1 4𝜋 𝜀 0 𝑞 𝑧 2 Logo o anel se comporta como uma carga pontual para logas distâncias.

27 ● CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DISCO CARREGADO
A configuração será semelhante ao caso do anel, calculando-se o campo em um ponto P sobre um eixo que atravessa o centro do disco de modo ortogonal a sua superfície.

28 Para auxiliar no cálculo, será considerado que o disco é constituído por n anéis infinitesimais com largura radial dr. O disco possui uma densidade superficial de carga σ uniforme, fornecida para um elemento infinitesimal de área dA por: 𝜎= 𝑑𝑞 𝑑𝐴 𝑑𝑞=𝜎𝑑𝐴=𝜎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 Por analogia ao problema do anel de cargas: 𝐸= 𝑧𝜆(2𝜋𝑅) 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑅 2 3/ → 𝑑𝐸= 𝑧𝜎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 4𝜋 𝜀 0 𝑧 2 + 𝑟 2 3/2 Anel Anel Infinitesimal

29 Reescrevendo a expressão:
𝑑𝐸= 𝜎𝑧 4 𝜀 0 2𝑟 𝑑𝑟 𝑧 2 + 𝑟 2 3/2 Integrando a expressão: 𝑑𝐸 = 𝜎𝑧 4 𝜀 0 2𝑟 𝑑𝑟 𝑧 2 + 𝑟 2 3/2 𝐸= 𝜎𝑧 4 𝜀 𝑅 𝑧 2 + 𝑟 2 −3/2 2𝑟 𝑑𝑟

30 A integral é resolvida utizando a forma 𝑋 𝑚 𝑑𝑋 , sendo X = z² + r², m = -3/2 e (2r)dr = dX, cuja solução é fornecida por: 𝑋 𝑚 𝑑𝑋 = 𝑋 𝑚+1 𝑚+1 Por conseguinte: 𝐸= 𝜎𝑧 4 𝜀 𝑧 2 + 𝑟 2 −1/2 −1/2 0 𝑅 𝐸= 𝜎 2 𝜀 0 1− 𝑧 𝑧 2 + 𝑅 2

31 Para o caso de um disco ou placa infinitos, se tem que R → ∞, portanto o segundo termo entre parênteses tende a zero. Consequentemente: 𝐸= 𝜎 2 𝜀 0

32 ● UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO
Se uma carga pontual q entra em um campo elétrico, será submetida a uma força definida por: 𝐹 =𝑞 𝐸 “A força eletrostática 𝐹 que age sobre uma partícula carregada submetida a um campo elétrico 𝐸 tem o mesmo sentido que 𝐸 se a carga q da partícula for positiva e o sentido oposto se a carga q for negativa”.

33 ● UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO
Como exemplo, será considerada uma molécula de água no interior de um campo elétrico uniforme, pois a mesma se comporta como um dipolo elétrico:

34 Ao serem submetidos ao campo elétrico, os dois polos estarão sujeitos a forças elétrostáticas. No exemplo, como o campo possui a mesma orientação em ambos os polos (pois ele é uniforme), as forças terão sentidos opostos (devido aos sinais opostos dos polos) e se cancelarão. Porém, como as forças são aplicadas em regiões afastadas do centro de massa dos dipolos, isso ocasiona um torque, fazendo com que o dipolo gire.

35 Considerando que o CM esteja a uma distância x de um dos polos e a uma distância (d – x) do outro, onde d é a distância entre os polos), o torque resultante τ possui módulo: 𝜏=𝐹𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃+𝐹(𝑑−𝑥)𝑠𝑒𝑛𝜃=𝐹𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 Usando F = qE e d = p/d (pois por definição p = qd): 𝜏=𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 Equação que pode ser escrita na forma vetorial por: 𝜏 = 𝑝 × 𝐸

36 Em um forno de micro-ondas, um campo elétrico alternado é acionado sobre os alimentos. As moléculas de água presentes tenderão a alinhar seu momento dipolar elétrico com a orientação do campo, porém como o mesmo se alterna continuamente o movimento das moléculas persiste. Essa energia é convertida para energia térmica, ocasionando o aquecimento do alimento.

37 EXEMPLO 3

38 Referências Halliday, Resnick e Walker
Referências Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, volume 3, Eletromagnetismo. 9ª edição, editora LTC, Rio de Janeiro, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou do banco de dados do google.