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PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA
E.E. Dona Antônia Valadares Matemática Ensino MÉDIO - 1º Ano INTERVALOS REAIS PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA
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Pense!! Considere as seguintes afirmações:
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Pense!! Considere as seguintes afirmações: O tempo entre um período de aula e outro. O tempo entre uma badalada de sino e outra. O espaço entre as fendas de uma grade. O espaço de tempo entre duas épocas O espaço de tempo entre duas oscilações sonoras A distância entre dois pontos. O que se poderia dizer quanto as afirmações? Prof: Alexsandro de Sousa
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Resposta: Todas as afirmações nos dão a ideia subjetiva de intervalo.
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Resposta: Todas as afirmações nos dão a ideia subjetiva de intervalo. A partir delas vamos estudar Intervalos Numéricos, os quais serão estudados no Conjunto dos Números Reais () Prof: Alexsandro de Sousa
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MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Intervalos Reais Intervalos Reais são subconjuntos do conjunto dos números reais (). Exemplo:Considere a reta dos números Reais A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo real. Prof: Alexsandro de Sousa
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(a,b) ou ]a,b[ =intervalo aberto
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Antes vamos definir alguns símbolos: = { igual} < {menor} > {maior} ≥ {maior ou igual} ≤ {menor ou igual} [a,b] = intervalo fechado (a,b) ou ]a,b[ =intervalo aberto Prof: Alexsandro de Sousa
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Representações dos Intervalos Reais
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Representações dos Intervalos Reais Considere a reta dos números Reais: a) Por descrição: { x -1 x 2} (Notação de conjunto) b) Por notação: [ -1, 2] (Notação de intervalo) c) Na reta real: ( no final da reta usa-se ponto fechado ou aberto, de acordo com o tipo de intervalo). Observação: as notações podem ser [a, b] para intervalo fechado e ]a, b[ para intervalo aberto. Usa-se colchetes ou parênteses respectivamente para fechado ou aberto. Prof: Alexsandro de Sousa
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Tipos de Intervalos Reais
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Tipos de Intervalos Reais a) Intervalo fechado: Por descrição: { x -2 x 1} Por notação: [ -2, 1] Na reta real: Prof: Alexsandro de Sousa
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b) Intervalo aberto: Por descrição: { x -2 < x < 1}
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados b) Intervalo aberto: o Por descrição: { x -2 < x < 1} Por notação: ]-2, 1[ Na reta real: o Prof: Alexsandro de Sousa
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c) Intervalo Semi Aberto à esquerda:
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados c) Intervalo Semi Aberto à esquerda: Por descrição: { x -2 < x 1} Por notação: ]-2, 1] Na reta real: Prof: Alexsandro de Sousa
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d) Intervalo Semi Aberto à direita:
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados d) Intervalo Semi Aberto à direita: Por descrição: { x -2 x < 1} Por notação: [-2, 1[ Na reta real: Prof: Alexsandro de Sousa
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e) Intervalo que tende ao infinito:
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados e) Intervalo que tende ao infinito: + Por descrição: { x x -2} Por notação: [-2, + [ Na reta real: Observação: o intervalo pode tender ao infinito para a direita ou para a esquerda. Prof: Alexsandro de Sousa
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Resumo sobre intervalos reais
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Resumo sobre intervalos reais TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO Intervalo fechado [a,b] = {x € IR | a ≤ x ≤ b} Inclui os limites a e b Intervalo aberto ]a,b[ = { x € IR | a < x < b} Exclui os limites a e b Intervalo semiaberto à direita [a,b[ = { x € IR | a ≤ x < b} Inclui a e exclui b Intervalo semiaberto à esquerda ]a,b] = {x € IR | a < x ≤ b} Exclui a e inclui b Intervalo semi-fechado [a, +∞[ = {x € IR | x ≥ a} Valores maiores ou iguais a ] -∞ , b] = { x € IR | x ≤ b} Valores menores ou iguais b Intervalo semi-aberto ]-∞ , b[ = { x € IR | x < b} Valores menores do que b ]a, +∞[ = { x € IR | x > a } Valores maiores do que a Prof: Alexsandro de Sousa
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Operações com intervalos
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Operações com intervalos Prof: Alexsandro de Sousa
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Uniãordenados A B A B = {x –3 x 8} ou [–3, 8]
Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção A B A B = {x 0 < x < 2} ou ]0, 2[
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Intersecção A B A B = {x 0 < x < 2} ou ]0, 2[ Prof: Alexsandro de Sousa
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Diferença A – B A – B = {x –3 x 0} ou [–3, 0]
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Diferença A – B A – B = {x –3 x 0} ou [–3, 0] Prof: Alexsandro de Sousa
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Diferença B – A B – A = {x 2 x 8} ou [2, 8] MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Diferença B – A B – A = {x 2 x 8} ou [2, 8] Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção de Intervalos
Exemplo 1 Consideremos os intervalos Vamos determinar e começando por fazer a sua representação gráfica A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre e Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção de Intervalos
E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção? Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem, já que Então, e Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção de Intervalos
Sejam Exemplo 2 Façamos a sua representação gráfica afim de determinar e Não existem elementos comuns aos dois intervalos. A intersecção é assim um conjunto vazio Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção de Intervalos
Exemplo 3 Dados os intervalos e encontremos a sua intersecção. A representação gráfica é Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o Logo, Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção de Intervalos
Exemplo 4 Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos. A representação gráfica é Agora não existem elementos que pertençam simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a mas não pertence a . Assim, Prof: Alexsandro de Sousa
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Intersecção de Intervalos
Exemplo 5 Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos. A representação gráfica é Neste caso temos , Logo, Assim, Prof: Alexsandro de Sousa
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Reunião de Intervalos Exemplo 1 Consideremos os intervalos
Comecemos por fazer a representação gráfica de e e Assim, Prof: Alexsandro de Sousa
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Reunião de Intervalos Exemplo 2 e Consideremos os intervalos
Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de , e . e Neste caso verificamos que, unindo os elementos de A com os de C obtemos todos os elementos de Portanto R Prof: Alexsandro de Sousa
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Reunião de Intervalos Exemplo 3 e Consideremos os intervalos
A representação gráfica destes dois intervalos é. e A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio. Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo. Prof: Alexsandro de Sousa
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Reunião de Intervalos Exemplo 4 e Consideremos os intervalos
No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de com e Atendendo a que temos que a reunião é Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto Prof: Alexsandro de Sousa
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