Matemática Computacional

Apresentação em tema: "Matemática Computacional"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática Computacional
Edgard Jamhour

2 Definição A matemática computacional é uma área da matemática e da computação que trata do desenvolvimento de modelos matemáticos, para o tratamento de problemas complexos, e desenvolvimento de métodos numéricos de obtenção de soluções. Matemática computacional geralmente utiliza técnicas para solução numérica (aproximada) de problemas.

3 Solução Analíticas vs Numéricas
Soluções analíticas são soluções exatas obtidas através de manipulações algébricas e provas matemáticas; Exemplo: Em quais pontos as equações se interceptam: y=a*x + b x2+y2=r2 y = 0.5*x + 5 x2+y2=25

4 Problemas sem solução analítica
A) Diversas integrais como: B) Equações diferenciais como: C) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

5 Exemplo: Integração Numérica
retângulo trapézio simpson

6 Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

7 Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 3: Falha no lançamento do foguete francês Ariane 501 (04/06/1996 – Guiana Francesa) Erro na conversão de um número de ponto flutuante de 64bits para inteiro de 16 bits Erro de trajetória 36,7 segundos após o lançamento Prejuízo de U$ 7,5 bilhões

8 Modelagem e Resolução No caso geral, a utilização da matemática computacional para resolução e problemas envolve as seguintes etapas; 1) Definir o problema que será resolvido 2) Construir um modelo matemático para o problema 3) Resolver o problema usando um método numérico/computacional 4) Verificar a solução confrontando os resultados previstos com aqueles medições feitas em experimentos.

9 Fontes de erros Problema: como determinar a altura de um edifício usando uma bola de metal e um cronômetro? h = 𝑔 𝑡 2 2 h= altura (m) t = tempo medido (m) g = gravidade (9.8 m/s2) Se a bola levar 2 segundos para cair do topo do prédio, podemos afirmar que a altura do prédio é 19.6 metros? Quais são as fontes de erro que podem afetar essa resposta? erros no modelo matemático erros de resolução erros de truncamento

10 Fontes de erros Problema: como determinar a altura de um edifício usando uma bola de metal e um cronômetro? h = 𝑔 𝑡 2 2 h= altura (m) t = tempo medido (m) g = gravidade (9.8 m/s2) Se a bola levar 2 segundos para cair do topo do prédio, podemos afirmar que a altura do prédio é 19.6 metros? Quais são as fontes de erro que podem afetar essa resposta? erros no modelo matemático erros de resolução (precisão dos dados de entrada) erros de truncamento

11 Representação Numérica
Qual a distância que uma roda de raio R = 10 metros percorre em uma volta? C = 2  R Como representar o número ? a) π =3,14 b) π =3,1416 c) π =3, O valor exato não pode ser obtido através de métodos numéricos. A representação de um número depende da BASE escolhida e do número de dígitos usados na sua representação.

12 Representação de Número Inteiro
Onde:  é a base fixa d é um dígito da base Exemplos:

13 Representação de Número Real
Representação de um número real x 𝑥=± 𝑥𝑖,𝑥𝑓 xi: parte inteira 𝑖 𝑛 𝑖 𝑛−1 𝑖 𝑛−2 ⋯ 𝑖 1 𝑖 0 xf: parte fracionária 𝑓 1 𝑓 2 ⋯ 𝑓 𝑚−1 𝑓 𝑚 𝑥 𝑓 = 𝑓 1 𝛽 −1 𝑓 2 𝛽 −2 ⋯ 𝑓 𝑚−1 𝛽 − 𝑚−1 𝑓 𝑚−1 𝛽 − 𝑚−2 n+1 algarismos na parte inteira e m na parte fracionária Exemplos:

14 Conversão Decimal para Binária
Método das divisões sucessivas (parte inteira do número) Divide-se o número (inteiro) por 2; Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior; Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1. Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número) Multiplica-se o número (fracionário) por 2; Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2; O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero

15 Exemplos

16 Erro de arredondamento
Nem todo número real na base decimal possui uma representação finita na base binária. Exemplo: representação do número 0,1 em binário: = = = = Operações com números reais são uma das principais fontes de erro introduzidos por algoritmos numéricos.

17 Resolva os seguintes exercícios usando o Wolfram Alpha
a) (100110)2 = para base 10 b) ( )2 = para base 10 c) (40,28) 10= para base 2 d) (110,01) 2= para base 10 e) (3,8)10 = para base 2

18 t: número de dígitos significativos
Ponto Flutuante Formato de representação digital de números reais usada nos computadores. A representação vista anteriormente: [ PARTE INTEIRA , PARTE FRACIONÁRIA ]  é muito cara em termos de armazenamento e processamento Um número em ponto flutuante tem o seguinte formato: Expoente I ≤ e ≤ S Base (número inteiro) = 2 sistemas binários Mantissa = 0,d1d2 ...dt (número menor que 1) t: número de dígitos significativos

19 Exemplos Notação de ponto flutuante em base 10:
0.35 = 0.35*100 = *101 = 0.123*10-1 = *104 = 0.3*10-3 Mesmo exemplo, com t=3 e -2 ≤ e ≤ 2: 0.35 = 0.350*100 = *101 = 0.539*10*** 4>2 ****= erro de overflow = 0.300*10*** -4 <-2 **** = erro de underflow

20 Representação no MATLAB
MATLAB representa números em ponto flutuante com precisão simples ou dupla (default), de acordo como o padrão IEEE 754. SIMPLES (32 bits): bit 31: sinal (0 positivo, 1 negativo) 30 até 23: expoente 22 até 0: mantissa DUPLA (64 bits): bit 63: sinal (0 positivo, 1 negativo) 62 até 52: expoente 51 até 0: mantissa

21 Erros Absoluto, Relativo e Percentual
Erro absoluto: 𝐸 𝑎 =𝑥− 𝑥 x = valor exato 𝑥 = valor aproximado obtido por procedimento numérico Exemplo: Se 𝑥 = 10 e 𝐸 𝑎 <0.01 então < x < 10.01 Erro relativo: 𝐸 𝑟 = 𝐸 𝑎 𝑥 = 𝑥− 𝑥 𝑥 Erro percentual: 𝐸 𝑝 = 𝐸 𝑟 Exercício: Você testou dois métodos numéricos A e B. O método A obteve o valor x= , sabendo que o valor real é O método B obteve o valor , sando que o valor real é Qual desses métodos é melhor?

22 Erro por Arredondamento e Truncamento
Suponha que se computador opere com números em ponto flutuante com 3 dígitos significativos, e expoente -4<e<4. Erros cometidos por arredondamento são menores que os de truncamento, mas requerem um tempo menor de execução. Por isso, o truncamento é mais usado em computadores.

23 Propagação de Erros Suponha que um computador que opere com 4 dígitos significativos realize as seguintes operações, equivalentes: