PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE

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1 PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE
P1 – Em um grupóide (G, ) se existir elemento neutro, este é único. Demonstração: Suponhamos que n1 e n2 são dois elementos de G tais que, x  G, (1) n1  x = x  n1 = x e, (2) n2  x = x  n2 = x Seja então n1  n2. Se n1 é o elemento neutro, devemos ter n1  n2 = n2, de acordo com (1). Se n2 é o elemento neutro, devemos ter n1  n2 = n1, de acordo com (2). Como o resultado de uma operação é único, n1  n2 = n1 = n2. Portanto o elemento neutro é único.

2 P2 - Seja (G, ) um grupóide com elemento neutro n e  uma
operação associativa. Se x1  G é o inverso de x à direita e x2  G é o inverso de x à esquerda ATENÇÃO: Um grupóide associativo é um semi-grupo. então x é inversível e x1 = x2. Demonstração: Pela definição de elemento neutro x1 = x1  n. De acordo com o enunciado, x2 é o inverso à direita  n = x  x2 Pode-se então escrever: x1 = x1  n = x1  (x  x2). Como  é associativa, x1 = x1  n = x1  (x  x2) = (x1  x )  x2. Mas x1  x = n, pois x1 é o inverso de x à esquerda. Portanto: x1 = x1  n = x1  (x  x2) = (x1  x )  x2 = n  x2 = x2 (pela definição de elemento neutro. ) X é inversível pois o inverso à esquerda é igual ao inverso à direita.

3 P3 - Sejam (G, ) um grupóide,  uma operação associativa e a, b  G.
Se a é inversível, com inverso a’, então a  x = b e y  a = b, têm solução única. as equações lineares Demonstração Mostremos inicialmente que a’  b é solução de a  x = b. a  x = a  (a’  b) (Sendo x = a’  b, os resultados devem ser iguais.) a  (a’  b) = (a  a’)  b = ( é associativa, conforme enunciado.) = n  b = (definição de inverso) = b (definição de elemento neutro). Do mesmo modo b  a’ é solução de y  a pois: y  a = (b  a’)  a = b  (a’  a) = b  n = b. Com relação à unicidade da solução teremos: se x1 e x2 são soluções de a  x = b, teríamos a  x1 = a  x2  a’  (a  x1) = a’  (a  x2)  (a’  a)  x1 = (a’  a)  x2  n  x1 = n  x2  x1 = x2. Aplicando o elemento inverso à direita prova-se também que y  a = b tem, também, solução única. Nota: a demonstração não implica em que a solução de a  x = b seja a mesma de y  a = b sejam iguais.

4 EXEMPLO: Sendo A e B as matrizes abaixo, resolver as equações:
(1) A.X = B e (2) X.A = B. A = 1 5 2 6 4 9 7 B = 2 -1 A-1 = A inversa da matriz A é: 2.6 + (-1) (-1).7 (-5) (-5) 1 3 1 = (1) AX = B  X = A-1.B = Os resultados são diferentes. (-5) (-1) + 4.3 (-5) (-1) + 7.3 = (2) XA = B  X = B.A-1 =

5 P4 – LEI DO CANCELAMENTO OU DO CORTE
Seja (G, ) um grupóide. Se x, y, z  G, (1) x  z = y  z  x = y, então z é cancelável à direita para Å, e (2) z  x = z  y  x = y, então z é cancelável à esquerda para Å, (3) z é cancelável para a operação Å, se z é cancelável à direita e à esquerda. (4) os termos simplificável e regular também podem substituir a denominação cancelável. (5) o grupóide G admite a lei do cancelamento se o cancelamento for válido para todos os elementos de G. Exemplo 1 – Em (N, +) é válida a lei do cancelamento.     = a + 5  a = 3 Exemplo 2 – Em (R, :) a lei do cancelamento não tem validade. 0 : 6 = 0 : 10 e 6  10.

6 EXERCÍCIOS 1 - Considere a terna (Q, , *) onde as operações são definidas, respectivamente por: x  y = x + y - 2 e x * y = x + y- xy/2 . Verifique se (Q, , *) é um anel comutativo com elemento unidade. Solução: devemos verificar as propriedades associativa, neutro, inverso e comutativa para a operação ; (2) associativa, neutro e comutativa para*; (3) Distributividade de * em relação a . Operação : - Associativa: (i) (a  b)  c = (a + b – 2)  c = (a + b – 2) + c – 2 = a + b + c - 4 (ii) a  (b  c) = a  ( b + c – 2) = a + (b + c – 2) – 2 = a + b + c - 4 As igualdade em (i) e (ii) comprovam a associatividade. - Comutativa: Provemos a comutatividade antecipadamente para evitar a verificação do neutro e do inverso à esquerda e à direita. a  b = a + b – 2 = b + a – 2 (comutatividade da adição) = = b  a (definição de ). Portanto, a  b = b  a.

7 - neutro (n) (i) Por definição da operação : a  n = a + n – 2. (ii) Por definição de elemento neutro: a  n = a. Comparando os resultados de (i) e (ii): a + n – 2 = a  n = 2. Portanto, a operação  admite elemento neutro que é: n = 2. - Inverso (inverso de a = a’) (i) Por definição da operação : a  a’ = a + a’ – 2. (ii) Por definição de inverso: a  a’ = n. Como o neutro é igual a 2, devemos ter: a  a’ = 2. Deste modo: a + a’ – 2 = 2  a’ = 4 – a. Portanto, o inverso de a, para a operação  é 4 – a. Operação *: (a + b ) + c - ab 2 (a + b ).c = - Associativa ab 2 (a * b) * c = (a + b – ) * c = (i) (ii) a * (b * c) = a * (b + c ) = a + (b + c ) - a.(b + c ) bc 2 = (4a + 4b + 4c – 2ab – 2ac – 2bc + abc)/4 bc 2 bc 2 = = (4a + 4b + 4c – 2ab – 2ac – 2bc + abc)/4 A igualdade de (i) e (ii) mostra a validade da propriedade associativa.

8 - Neutro ou identidade (n’)
(i) a * n = a + n – an/2 (pela definição da operação) (ii) a * n = a (pela definição de neutro) Assim, a + n – an/2 = a  n – an/2 = 0  n(1 – a/2) = 0  n = 0. - Distributividade de * em relação a  Devemos verificar se a * (b  c) = (a * b)  (a * c). (i) a * (b  c) = a * (b + c – 2) = a + (b + c – 2) – = a.(b + c – 2) 2 = (2a + 2b + 2c – 4 - ab + ac – 2a)/2 = (4a + 2b + 2c – 4 – ab – ac)/2 = = (4a + 2b + 2c – ab – ac - 4)/2. A igualdade de (i) e (ii) comprova a distributividade. (ii) (a * b)  (a * c) = ( a + b )  (a + c ) = ac 2 bc = (a + b ) + (a + c ) – 2 = bc 2 ac = (2a + 2b – bc)/2 + (2a + 2c – ac)/2 – 2 = = (4a + 2b + 2c – ab – ac - 4)/2.

9 2 - Mostre que o grupóide (RxR, *), a operação * sendo definida por
(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) é um grupo abeliano. Solução Devemos provar que * é associativa, tem neutro, inverso e é comutativa. - Associativa x * (y * z) = (x * y) * z (a, b) * [(c, d) * (e, f)] = (a, b) * (c + e, d + f) = (definição de *) = (a + c + e, b + d + f) = (definição da operação) = ((a + c) + e, (b + d) + f) = (associatividade da adição em R) = [(a + c), (b + d)]* (e, f) = (definição da operação) = [(a, b) * (c, d)] * (e, f). O que comprova a associatividade. - Comutativa x * y = y * x (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) = (definição da operação) = (c + a, d + b) = (comutatividade da adição em R) = (c, d) * (a, b) O que comprova a comutatividade. - Neutro x * n = x (a, b) * (n, n’) = (a + n, b + n’) (definição da operação)  (1) a + n = a  n = 0. Portanto, (0, 0) é o elemento neutro. (a + n, b + n’) = (a, b)  (2) b + n’ = a  n’ = 0

10 - Inverso (a-1 é o inverso de a)
Por definição: a * a-1 = n , ou (a, b) * (a-1, b-1) = (0, 0)  (a + a-1, b + b-1) = (0, 0) (definição da operação)  a + a-1 = 0  a-1 = -a, e  b + b-1 = 0  b-1 = -b. Portanto, (a, b) tem inverso (- a, - b). Como foi visto, * é associativa, tem neutro, tem inverso e é comutativa. Isto prova que: (RXR, *) é um grupo abeliano.