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Introdução aos Sistemas de Controle
Ensino Superior Introdução aos Sistemas de Controle Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos Amintas Paiva Afonso
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Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
Amintas Paiva Afonso
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Modelos Matemáticos A construção de um modelo matemático de um sistema começa com 1) A identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a princípio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa estamos especificando o nível de resolução do modelo. 2) Elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema.
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Modelos Matemáticos Como as hipóteses de um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro.
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Modelos Matemáticos Expresse as hipóteses em termos de equações diferenciais Formulação Matemática Hipóteses Se necessário altere as hipóteses ou aumente a resolução do modelo Resolva as EDs Compare as predições do modelo com os fatos conhecidos Exponha as predições do modelo (por exemplo, graficamente) Obtenha as Soluções
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Modelos Matemáticos k é uma constante de proporcionalidade.
Dinâmica Populacional (crescimento populacional – Thomas Malthus) É a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. k é uma constante de proporcionalidade.
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Modelos Matemáticos Decaimento Radioativo
O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e neutrons. Muitas dessas combinações são instáveis. Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. Na modelagem do decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de decaimento do núcleo de uma substância dA/dt, é proporcional à quantidade (número de núcleos) A(t) de substâncias remanescentes no instante t.
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Modelos Matemáticos Crescimento de um Capital
O mesmo modelo pode descrever o crescimento de um capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente. Este mesmo modelo descreve a determinação da meia-vida de uma droga, assim como, na descrição de uma reação química de primeira ordem. Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários fenômenos diferentes.
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Modelos Matemáticos T(t): Temperatura de um corpo no instante t,
Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento A taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (temperatura ambiente). T(t): Temperatura de um corpo no instante t, Tm: Temperatura do meio que o rodeia e ... dT/dt: Taxa de variação da temperatura do corpo.
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Modelos Matemáticos Disseminação de uma Doença x(t): número de pessoas que contraíram uma doença contagiosa; y(t): número de pessoas que ainda não foram expostas; dx/dt: a taxa segundo a qual a doença se espalha é proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de pessoas. Se o número de interações for proporcional a x(t) e y(t) – isto é, proporcional ao produto xy - então
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Modelos Matemáticos Disseminação de uma Doença – Exemplo:
Suponha que uma pequena comunidade tenha uma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-se argumentar que x(t) e y(t) estão relacionados por x + y = n + 1. Usando essa única equação para eliminar y em dx/dt = kxy, obtemos o modelo Uma condição óbvia que acompanha essa equação é x(0) = 1.
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Modelos Matemáticos Misturas
A mistura de duas soluções salinas com concentrações diferentes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Ex: Um tanque de mistura contém 300 galões de salmoura (água com sal dissolvido). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 galões por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão. Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora à mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Veja a figura.
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Modelos Matemáticos Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa líquida:
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Modelos Matemáticos Drenando um Tanque
Em hidrodinâmica, a lei de Torricelli, estabelece que a velocidade v do fluxo de água em um buraco com bordas na base de um tanque cheio até a altura h é igual à velocidade com que um corpo (no caso, uma gota d’água) adquiriria em queda livre de uma altura h – isto é, Essa expressão origina-se de igualar a energia cinética (½ mv2) com a energia potencial (mgh) e resolver para v. Suponha que um tanque cheio com água seja drenado por um buraco sob a influência de um buraco.
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Modelos Matemáticos h Aw Ah Queremos encontrar a altura h de água remanescente no tanque no instante t. O sinal de subtração indica que v está decrescendo.
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Modelos Matemáticos h Aw Ah Estamos ignorando a possibilidade de atrito no buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Substituindo em Obtemos a ED desejada para h
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Modelos Matemáticos Circuito em Série
E(t) R C Considere o circuito em série de malha simples Indutor Indutância L: henrys (h) Queda de voltagem: L di/dt i(t): corrente no circuito depois que a chave é fechada L i Resistor Resistência R: ohms () Queda de voltagem: iR q(t): carga em um capacitor no instante t L, R e C: em geral são constantes R i E(t): voltagem aplicada em uma malha fechada que, de acordo com a 2ª lei de Kirchhoff, deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha. Capacitor Capacitância C: farads (f) Queda de voltagem: i/c . q C i
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Modelos Matemáticos Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem indutor resistor capacitor e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem
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Modelos Matemáticos Corpos em Queda
Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, iniciamos com a 2ª lei de Newton. 1ª lei de Newton: o corpo permanecerá em repouso ou continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças F = Fk – isto é, a força líquida resultante – que age sobre o corpo for zero, a aceleração a do corpo será zero.
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Modelos Matemáticos Corpos em Queda
Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, iniciamos com a 2ª lei de Newton. 2ª lei de Newton: quando a força líquida que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será proporcional à sua aceleração a ou, mais precisamente, F = ma, onde m é a massa do corpo.
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