Por que utilizar vetores?

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1 Por que utilizar vetores?
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Por que utilizar vetores? Existem grandezas físicas perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade. comprimento massa tempo temperatura pressão Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido. deslocamento velocidade força aceleração torque Inúmeras leis da física são expressas em termos de operações vetoriais.

2 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano O que são vetores? Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS Dois pontos no espaço definem: A) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos A e B, bem como todos os pontos entre A e B; A B B) Um segmento de reta orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B, indicado por AB e representado por uma flecha de A para B; A B C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicado por BA e representado por uma flecha de B para A. A B

3 SEGMENTOS ORIENTADOS u.m.
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS Os segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem: Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada. u.m. A B Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção M N L K Mesma direção Mesmo sentido A B C D Direções diferentes Não podemos comparar sentidos X Y P Q Mesma direção Sentidos contrários

4 SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido. A B C D OBS: não são IGUAIS, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes. AB CD Podemos escrever: A B C D Propriedades: 1) Se AB CD então AC BD

5 2) Se AB CD e CD EF então AB EF
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades: 2) Se AB CD e CD EF então AB EF A B AB CD CD EF AB EF C D E F 3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que AB CD B A C AB CD D

6 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano VETORES: Definição Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si. = outro vetor B = 1 vetor A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto. A Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre. Nomenclatura: AB ou v ou (B-A)

7 VETORES Vetores iguais |AB|=|CD|;
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano VETORES Vetores iguais |AB|=|CD|; AB e CD tem mesma direção; AB e CD tem mesmo sentido. Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB CD Vetor nulo Os segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0 . Vetores opostos Dado um vetor v = AB , o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou – v . Vetores unitários ou versores É um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1. O versor de um vetor v é indicado por v , e apresenta mesma direção e sentido de v . v

8 OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES 1) Produto de um número real por um vetor Dado um vetor v e um número “a” qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características : A direção do vetor p é a mesma do vetor v ; O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real “a” ; se a > 0, p e v tem mesmo sentido se a < 0, p e v tem sentidos contrários O sentido do vetor p depende do sinal do número real “a”: Exemplos: p v p = 2 v r = -3 w w r u.m. d = - 4,5 e d e

9 s = v + p s 2) Soma de vetores
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) Soma de vetores Uma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último. s = v + p v s p

10 s s = v + p = p + v Propriedades a)
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades v + p = p + v (propriedade comutativa) a) v p s s = v + p = p + v

11 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa) a) p w v s

12 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa) b) v + p p w v p + w s

13 d = v – p = v + ( – p ) d d 2) “Subtração” de vetores
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) “Subtração” de vetores Não se define a “subtração” para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo d = v – p = v + ( – p ) – p v p d d

14 d = r – u = r + ( – u ) d 2) “Subtração” de vetores r u  u
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) “Subtração” de vetores d = r – u = r + ( – u ) r d u  u

15 DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO
Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma? É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos....

16 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
h v A v A = v + h   h Podemos escrever que: E também que: | v |=| A | sen  | h |=| A | cos  | v |=| A | cos  | h |=| A | sen 

17 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
by A = ax + ay ax = A cos  ay = A sen  B ay A B = bx + by   bx = B cos  by = B sen  bx ax S = A +B S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = ( ax + bx ) + ( ay + by )

18 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
S = A +B S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = ( ax + bx ) + ( ay + by ) DECOMPOSIÇÃO DE VETORES S Sy Quem é o vetor S ? módulo direção sentido by B  ay  A bx ax Sx Direção e Sentido: Módulo: S = Sx + Sy  = tg – 1 (Sy / Sx)  = tg – 1 (Sx / Sy) Sx = ax + bx Sy = ay + by S = ( Sx )2 + ( Sy )2 

19 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Definindo os versores das direções horizontal e vertical: i j B by j S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = A +B Vamos determinar: A  ay j  bx i ax i  S Sx Sy S = ( Sx )2 + ( Sy )2   = tg – 1 (Sy / Sx) S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j ) S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) j S = Sx i + Sy j

20  60° 30°  S = A +B A ay j j B i by j bx ( -i ) ax i
EXEMPLO 1: S = A +B Vamos determinar bx ( -i ) by j ax i ay j | A |= A = 12 cm | B |= B = 6 cm A i j Lembrando que: B 60° 30° ax = 12 cos(60°) = 6 cm ay = 12 sen(60°) = 10,4 cm bx = 6 cos(30°) = 5,2 cm by = 6 sen(30°) = 3 cm S = A + B = ax i + ay j + bx (-i ) + by j S = ( Sx )2 + ( Sy )2  S = (0,8)2 + (13,4)2 S = 13,42 cm S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j  S Sx Sy S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j S = (6 5,2) i + (10,4+3) j S = 0,8 i + 13,4 j  = tg –1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6°

21 Dx é a distância que o avião viajou ao leste
EXEMPLO 2: Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5° a nordeste. A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida? N S O L | D |= D = 209 Km Dy Dx D 22,5° D = Dx + Dy Dx é a distância que o avião viajou ao leste Dy é a distância que o avião viajou ao norte Dx = 209 sen(22,5°) = 80 Km Dy = 209 cos(22,5°) = 193 Km O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida. RESPOSTA:

22  D = Dx + Dy D Dy D é o vetor que indica a localização do carro Dx
EXEMPLO 3: Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro | Dx |= Dx = 32 Km | Dy|= Dy = 47 Km N S O L D D = Dx + Dy Dy D é o vetor que indica a localização do carro Quem é o vetor D ? módulo direção sentido  Dx D = ( Dx )2 + ( Dy )2  D = (32)2 + (47)2 D = 56,9 Km tg  = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593  = tg –1 (0,593)= 30,7°

23 z y x az k A k ay j j ax i i A = ax i + ay j + ay k Podemos dizer que:
Em três dimensões i j k x y z az k A ay j ax i Podemos dizer que: A = ax i + ay j + ay k