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Espaços Vetoriais 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades:

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1 Espaços Vetoriais 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades:
Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo ao conjunto , tal que: 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades: A1) Associativa: A2) Comutativa: A3) Elemento Neutro: A4) Elemento Oposto:

2 2) Existe uma Multiplicação por Escalar, com as seguintes propriedades:
Notação:

3 Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES.
Observações: Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES. Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES. Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.

4 Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto de vetores do plano. A reta real. O espaço vetorial , sendo as operações definidas da seguinte forma: Adição: Multiplicação por Escalar:

5 O conjunto das n-uplas reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
O conjunto das matrizes com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes.

6 O conjunto dos polinômios de grau  n

7 Contra-Exemplos Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M4), pois

8 Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois
Considere o conjunto dos pares ordenados do plano cartesiano e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois

9 Exercícios Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:

10 Sejam e dois espaços vetoriais reais
Sejam e dois espaços vetoriais reais. Mostre que é um espaço vetorial em relação às operações: e

11 PROPRIEDADES: Seja O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre único. Para cada vetor , existe um único vetor tal que , em outras palavras, o vetor oposto de u é único. .

12 . Se e , então sendo que

13 SUBESPAÇO VETORIAL Teorema: Um subconjunto não vazio
Definição: Um subconjunto não vazio é dito subespaço vetorial real de (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real considerando as operações restritas a ele. Teorema: Um subconjunto não vazio é um subespaço vetorial real se, e somente se: i) ii) iii)

14 Exemplo e Contra-Exemplo de Subespaços Vetoriais
. W é subespaço vetorial W não é subespaço vetorial Exercício: Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial real.


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