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Cilindro Círculo Geratriz
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Cilindro de bases circulares
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, r uma Chama-se cilindro de base circular a união de todos os segmentos PQ paralelos a r, com P ∈ S e Q ∈ β. Elementos a) A distância h entre os planos α e β é a altura do cilindro. b) A região circular S é chamada base do cilindro.
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c) O segmento de reta PQ da figura é chamado geratriz do cilindro
Cilindro circular reto Quando a reta r é perpendicular ao plano α, o cilindro é denominado cilindro circular reto. No cilindro circular reto, a altura e a geratriz têm mesma medida. Como o cilindro circular reto pode ser gerado por uma rotação completa de uma região retangular em torno de um de seus lados, ele também é denominado cilindro de revolução. Na figura: a) 𝐵𝐶 é o eixo do cilindro. 𝑏) 𝐴𝐷 é a geratriz da superfície lateral do cilindro. c) AB = CD é raio da base do cilindro.
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Secção meridiana do cilindro circular reto
É o retângulo que se obtém ao seccionar o cilindro por um plano que contém o seu eixo Sendo R a medida do raio da base e h a medida da altura de um cilindro circular reto, a área da secção meridiana Asm é dada por : Asm = 2 . R . h
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Cálculo de áreas e volumes
Cilindro equilátero É todo cilindro circular reto cuja secção meridiana é um quadrado. Assim, no cilindro equilátero, temos: h = 2R Cálculo de áreas e volumes Área da base (Ab) É a área de um círculo de raio R. Assim, 𝐴 𝑏 =𝜋. 𝑅 2
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Área total (At) Área lateral (Al)
A superfície lateral é a de um retângulo de dimensões 2πR (comprimento da circunferência da base) e h Assim, Al = 2 . π . R . h Área total (At) É a soma das áreas das bases com a área lateral. Assim, At = 2 . Ab + Al Volume do cilindro (V) O cilindro é equivalente a um prisma de mesma altura e mesma área da base. Assim, V = Ab . h ou V = π . R2 . h
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Exercícios Resolvidos
(ENEM)–Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será a) 0 triplo b) o dobro c) igual d) a metade e) a terça parte
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Assim: 𝑉 1 𝑉 2 = 1000 𝑐𝑚 3 𝜋 500 𝑐𝑚 3 𝜋 = 2 ⟹ 𝑉 1 =2 𝑉 2
Resolução: Sendo R1 e R2 os raios e V1 e V2 os volumes dos cilindros considerados, temos: I) 2 π R1= 20 cm ⇒ 𝑅 1 = 10 𝜋 𝑐𝑚 2 π R2= 10 cm ⇒ R2 = 5 𝜋 𝑐𝑚 II) V1= π 𝜋 𝑐𝑚 3 = 𝜋 𝑐𝑚 3 V2= π 5 𝜋 𝑐𝑚 3 = 500 𝜋 𝑐𝑚 3 Assim: 𝑉 1 𝑉 2 = 𝑐𝑚 3 𝜋 𝑐𝑚 3 𝜋 = 2 ⟹ 𝑉 1 =2 𝑉 2 Portanto, o primeiro tem o dobro do custo do segundo.
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(ENEM)–Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com um prática dessas regiões: Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medida com fita métrica. II. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira. Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é pratica- mente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de a) 30%. b) 22% c) 15% d) 12% e) 5%
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Assim: 𝑽− 𝑽 ′ 𝑽 = 1 - 𝑽 ′ 𝑽 =𝟏− 𝝅 𝟒 =𝟏 −𝟎,𝟕𝟖=𝟎,𝟐𝟐=𝟐𝟐%
Resolução Sendo R o raio do tronco, V o volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito, V’ o volume do tronco, calculado de acordo com essa prática regimental, tem-se: 1o.) V = π R2h 𝟐º) 𝑽 ′ = 𝟐𝝅𝑹 𝟒 . 𝟐𝝅𝑹 𝟒 .𝒉= 𝝅 𝟐 𝑹 𝟐 𝒉 Assim: 𝑽− 𝑽 ′ 𝑽 = 𝑽 ′ 𝑽 =𝟏− 𝝅 𝟒 =𝟏 −𝟎,𝟕𝟖=𝟎,𝟐𝟐=𝟐𝟐%
