CONE CIRCULAR.

Apresentação em tema: "CONE CIRCULAR."— Transcrição da apresentação:

1 CONE CIRCULAR

2 Definição Seja um plano 𝛼, um ponto V ∈𝛼 e um círculo 𝛾 contido em 𝛼. Chama-se cone circular a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo 𝛾 considerado. No cone circular da figura, têm-se os seguintes elementos: Vértice: é o ponto V citado na definição. Base: é o círculo 𝛾 citado na definição.

3 2. Cone Reto Altura: é a distância (h) do vértice ao plano da base.
Geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base. Raio da Base: é o raio do círculo 𝛾 citado na definição 2. Cone Reto Definição e elementos Um cone circular é dito reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Na figura, temos: VO = h é a altura do cone OB = R é o raio da base VB = g é a geratriz 𝑔 2 = ℎ 2 + 𝑅 2

4 O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana do cone circular reto da figura.
• Desenvolvimento das superfícies lateral e total de um cone reto A superfície lateral de um cone circular reto de raio da base R e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco tem comprimento 2 𝜋 R. Assim, sendo Ab a área da base, A a área lateral e At a área total desse cone circular reto, temos:

5 • Volume do cone Todo cone é equivalente a uma pirâmide de base equivalente e de mesma altura. Assim, 3. Cone Equilátero Um cone circular reto é dito equilátero quando a sua secção meridiana é um triângulo equilátero No cone equilátero da figura, tem-se AB = AV = BV. Assim,

6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (FATEC) – A altura de um cone circular mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8𝜋 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: a) 64𝜋 b) 48𝜋 c) 32𝜋 d) 16𝜋 e) 8𝜋 RESOLUÇÃO: I) 2 𝝄 R = 8 𝝅 cm ⟹ R = 4 cm II) h = 3R = cm = 12 cm III) V= 𝜋 𝑅 2 ℎ 3 = 𝜋 4𝑐𝑚 =64𝜋 𝑐𝑚 3

7 2. (UEL) – Um reservatório de água possui a forma de um cone circular reto com a base voltada para cima e na horizontal. Sua profundidade é de 15 m e seu diâmetro máximo é de 20 m. Se o nível da água estiver a 9 metros do vértice, qual é a porcentagem da sua capacidade total ocupada pelo volume de água? (Despreze a espessura do material). a) 10,3% b) 15,4% c) 21,6% d) 26,7% e) 31,5% Sejam: • Vc o volume, em metros cúbicos, do reservatório; • Va o volume, em metros cúbicos, de água dentro do reservatório; • r o raio, em metros, da superfície da água. Assim: RESOLUÇÃO: 1) 𝑟 10 = ⟹𝑟=6 𝑉 𝑎 𝑉 𝑐 = 𝜋 𝜋 ⟺ 𝑉 𝑎 𝑉 𝑐 = =21,6%

8 3. (FGV) – Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto de raio da base 4 cm e altura 10 cm. O queijo é ralado na base do cone e fica acumulado em seu interior (figura 1). Deseja-se retirar uma fatia de um queijo com a forma de cilindro circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da base do queijo e formando um ângulo (figura 2), de forma que o volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador. Nas condições do problema, 𝛼 é igual a a) 45°. b) 50°. c) 55°. d) 60°. e) 65°.

9 1) Em centímetros cúbicos, temos:
2) Como o volume da fatia de queijo é 90% do volume do ralador, temos:

10 Assim, o seu volume V, em centímetros cúbicos é dado por:a
4. (PUC) – Um sólido é gerado pela rotação de um triângulo equilátero ao redor de um eixo paralelo a um de seus lados, conduzido pelo vértice oposto a esse lado. Qual é o volume desse sólido, se o lado do triângulo mede 8 cm? RESOLUÇÃO: O sólido gerado é um cilindro com duas cavidades cônicas congruentes, conforme a figura acima. Assim, o seu volume V, em centímetros cúbicos é dado por:a