Transformada de Laplace

Apresentação em tema: "Transformada de Laplace"— Transcrição da apresentação:

1 Transformada de Laplace
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Transformada de Laplace
Análise de comportamento de sistemas Extensão natural da transformada de Fourier Novo domínio  s = σ + jΩ Transformada de Fourier Autofunção de senóides complexas Transformada de Laplace Autofunção de exponenciais complexas

3 Transformada de Laplace
Autofunção e autovalor Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)

4 Transformada de Laplace
Relação com Transformada de Fourier e-σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em FT Lembrar fator de convergência é e-|σ|t Deve-se aplicar o limite σzero Quando σ = zero, temos a FT de x(t)

5 Transformada de Laplace
Definição A partir da definição da FT Em que situações as integrais convergem?

6 Transformada de Laplace
Região de convergência (ROC) Define a existência da integral envolvida na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência de X(s) Convergência absoluta Considere que |ejΩt|=zero para todo t

7 Transformada de Laplace
Exemplos Lembrando Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s

8 Transformada de Laplace
Relação com Transformada de Fourier Se ROC de X(s) contém {σ = zero} x(t) possui FT

9 Transformada de Laplace
Transformada unilateral de Laplace Restrição de funções nulas para t<zero t=0-  X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0 ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de X(s)  x(t) é causal

10 Transformada de Laplace
Transformada unilateral de Laplace Exemplos

11 Transformada de Laplace
Propriedades Linearidade

12 Transformada de Laplace
Propriedades Deslocamento tempo t0>0 para garantir causalidade de y(t) Deslocamento em freqüência

13 Transformada de Laplace
Propriedades Escala no tempo a>0 para garantir causalidade de x(t) Escala em freqüência

14 Transformada de Laplace
Propriedades Modulação Convolução

15 Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação Para o caso de TL bilateral:

16 Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação sucessiva Para o caso de TL bilateral:

17 Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação complexa Integração

18 Transformada de Laplace
Propriedades Teorema do valor inicial Teorema do valor final Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s  garantia de convergência

19 Transformada de Laplace
Frações parciais Representação dos sinais por funções racionais de s Fatorando o denominador  raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)

20 Transformada de Laplace
Frações parciais Fatorando o denominador  raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s) Esta forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador Questões: Como encontrar pi? Como encontrar Ki?

21 Transformada de Laplace
Frações parciais Para pólos pi, sem repetição Multiplicidade nula No tempo, temos:

22 Transformada de Laplace
Frações parciais Para pólos pi, com m repetições Multiplicidade m No tempo, temos:

23 Transformada de Laplace
Frações parciais O que fazer quando ordem do numerador é maior ou igual à ordem do denominador (N≥M)? Divisão de polinômios Quociente  funções descontínuas no tempo Resto/Denominador  método das frações parciais

24 Transformada de Laplace
Frações parciais Exemplos