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Transformada de Laplace
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
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Transformada de Laplace
Análise de comportamento de sistemas Extensão natural da transformada de Fourier Novo domínio s = σ + jΩ Transformada de Fourier Autofunção de senóides complexas Transformada de Laplace Autofunção de exponenciais complexas
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Transformada de Laplace
Autofunção e autovalor Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)
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Transformada de Laplace
Relação com Transformada de Fourier e-σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em FT Lembrar fator de convergência é e-|σ|t Deve-se aplicar o limite σzero Quando σ = zero, temos a FT de x(t)
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Transformada de Laplace
Definição A partir da definição da FT Em que situações as integrais convergem?
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Transformada de Laplace
Região de convergência (ROC) Define a existência da integral envolvida na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência de X(s) Convergência absoluta Considere que |ejΩt|=zero para todo t
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Transformada de Laplace
Exemplos Lembrando Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s
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Transformada de Laplace
Relação com Transformada de Fourier Se ROC de X(s) contém {σ = zero} x(t) possui FT
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Transformada de Laplace
Transformada unilateral de Laplace Restrição de funções nulas para t<zero t=0- X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0 ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de X(s) x(t) é causal
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Transformada de Laplace
Transformada unilateral de Laplace Exemplos
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Transformada de Laplace
Propriedades Linearidade
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Transformada de Laplace
Propriedades Deslocamento tempo t0>0 para garantir causalidade de y(t) Deslocamento em freqüência
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Transformada de Laplace
Propriedades Escala no tempo a>0 para garantir causalidade de x(t) Escala em freqüência
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Transformada de Laplace
Propriedades Modulação Convolução
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Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação Para o caso de TL bilateral:
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Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação sucessiva Para o caso de TL bilateral:
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Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação complexa Integração
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Transformada de Laplace
Propriedades Teorema do valor inicial Teorema do valor final Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s garantia de convergência
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Transformada de Laplace
Frações parciais Representação dos sinais por funções racionais de s Fatorando o denominador raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)
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Transformada de Laplace
Frações parciais Fatorando o denominador raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s) Esta forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador Questões: Como encontrar pi? Como encontrar Ki?
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Transformada de Laplace
Frações parciais Para pólos pi, sem repetição Multiplicidade nula No tempo, temos:
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Transformada de Laplace
Frações parciais Para pólos pi, com m repetições Multiplicidade m No tempo, temos:
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Transformada de Laplace
Frações parciais O que fazer quando ordem do numerador é maior ou igual à ordem do denominador (N≥M)? Divisão de polinômios Quociente funções descontínuas no tempo Resto/Denominador método das frações parciais
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Transformada de Laplace
Frações parciais Exemplos
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