Derivada e integral de uma função

Apresentação em tema: "Derivada e integral de uma função"— Transcrição da apresentação:

1 Derivada e integral de uma função
Capítulo 17 Derivada e integral de uma função slide 1 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.

2 Objetivos de aprendizagem
Retas tangentes a um gráfico. A derivada. Regras de derivação. Introdução à integral de uma função. A integral definida e a indefinida. Regras de integração.

3 Retas tangentes a um gráfico
O gráfico de s = t 2 mostra a distância s percorrida pela bola na rampa como uma função do tempo transcorrido t.

4 Retas tangentes a um gráfico
A reta tangente ao gráfico de s = t 2 no ponto (1,1).

5 Derivada Taxa média de variação
Se y = f (x), então a taxa média de variação de y com relação a x sobre o intervalo [a, b] é: Derivada em um ponto A derivada da função f em x = a, denotada por f ‘(a) (lê-se "f linha de a") pode ser definida através do limite:

6 Derivada Derivada em um ponto
A derivada da função f em x = a, denotada por f ‘(a), é: desde que o limite exista. As figuras a seguir mostram três casos para os quais f (0) existe, mas f ‘(0), não.

7 Derivada

8 Derivada

9 Derivada

10 Derivada Regras de derivação Derivada de uma função f (x)
Se y = f (x), então a derivada da função f com relação a x é a função f ‘, cujo valor em x é: Regras de derivação Função constante: Função potência:

11 Regras de derivação Função produto: Função soma: Função diferença:
Função produto com um dos fatores constante (dizemos constante multiplicada por função).

12 Regras de derivação Função quociente: Função exponencial:
Função logarítmica:

13 Introdução à integral de uma função
Com as informações da velocidade de um objeto e do tempo transcorrido, podemos calcular a distância percorrida. Um automóvel viaja a uma velocidade média de 80 km/h durante 2h30. Qual é a distância percorrida pelo automóvel? SOLUÇÃO Δs = velocidade média • Δt = 80 • 2,5 = 200 km

14 Introdução à integral de uma função
Velocidade constante do exemplo anterior em função do tempo.

15 Introdução à integral de uma função
Agora suponha que a função velocidade varia constantemente como uma função do tempo.

16 Introdução à integral de uma função
Perceba que a soma das áreas desses retângulos resulta, então, em um valor aproximado da área sob a curva e acima do eixo horizontal.

17 Introdução à integral de uma função
As alturas dos retângulos são determinadas pela função aplicada nos valores extremos à esquerda de cada subintervalo.

18 Integral definida e indefinida
Seja f uma função definida sobre o intervalo [a, b] e seja, como definida anteriormente. A integral definida de f sobre [a, b] denotada por é dada por desde que o limite exista. Se o limite existe, então dizemos que f é integrável sobre [a, b]. Uma definição informal para limite no infinito é:

19 Integral definida e indefinida
Quando escrevemos , isso significa que f (x) fica cada vez mais próximo de L, na medida em que x assume valores arbitrariamente grandes. Integral indefinida Seja f uma função. A integral indefinida de f denotada por ∫ f (x)dx é dada por: de modo que a derivada de F (x) + C seja f (x).

20 Regras de integração Iniciaremos citando as propriedades de integrais indefinidas, ou seja, as propriedades das integrais sem determinação do intervalo real a que esteja fazendo referência.

21 Regras de integração Algumas regras: