Escoamento Potencial: regime permanente,

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1 Escoamento Potencial: regime permanente,
Capítulo 6 Escoamento Potencial: regime permanente, 2D e incompressível

2 Escoamento incompressível, fluido Newtoniano com m constante
A equação de transporte de quantidade de movimento: aplicando as identidades: Vamos encontrar que:

3 Escoamento incompressível, fluido Newtoniano com m constante
O lado direito da equação só depende da vorticidade, se o escoamento for irrotacional, a equação reduz para:

4 Potencial f de Velocidades
O fato do escoamento ser irrotacional permite que ele seja expresso por meio de uma função escalar f tal que o gradiente de f é proporcional ao campo de velocidades: O sentido positivo de V ocorre para valores de f crescentes , i.e., se f cresce v > 0

5 Quais são as conseqüências de V= gradf
Note que se o campo de velocidades vier da função potencial f então Ele satisfaz a condição de irrotacionalidade Para conservar a massa é necessário que Ou seja, se a função potencial for uma solução da equação de Laplace ela também satisfaz a massa!

6 Quais são as conseqüências de d2f = 0?
Se f vier de uma solução que satisfaz 2f = 0, então o campo de velocidades é definido por, V = f e satisfaz simultaneamente a condição de irrotacional e a equação da massa .

7 Equação Bernoulli Generalizada
Se o escoamento é irrotacional, incompressível e m cte, Expressando o campo de velocidades em função do potencial e integrando no espaço vamos ter: onde C(t) é a constante de Bernoulli dependente do tempo.

8 Escoamento incompressível, fluido Newtoniano com m constante
Se , V =  e 2=0 então o escoamento potencial é uma solução de N-S onde a pressão é determinada pela equação de Bernoulli: A solução não depende da viscosidade do fluido! O divergente das tensões é nulo: 2V = (2 ) 0 . Aleternativamente: Note que o divergente do tensor desvio das tensões é nulo!

9 Escoamento incompressível, fluido Newtoniano com m constante
Por outro lado, se o divergente das tensões é nulo, 2V =0 , o valor da tensão não é: Note que a resultante da tensão viscosa irrotacional não participa da eq. N-S. O escoamento irrotacional é determinado por: V =  e 2=0 e a pressão vem de Bernoulli.

10 Escoamento incompressível, fluido Newtoniano com m constante
Porém esta tensão pode (e deve) participar do balanço da energia mecânica como sendo o trabalho das forças viscosas e o termo de dissipação:

11 Escoamento incompressível, fluido Newtoniano com m constante
Os efeitos da tensão visocosa irrotacional estão balanceados internamente ao domínio. Entretanto na fronteira (interface gás-líquido) eles estão desbalanceados e devem ser corrigidos. Pontos internos ao domínio onde a tensão pode ser superior a tensão de ruptura ou colapso de cavidades (cavitação) A teoria de escoamento viscoso irrotacional (Viscous Potential Flow) foi resgatada por DD Joseph, Potential flow of viscous fluids: historical notes, Int. J. Multiphase Flow, 32 (2006) Historical notes on viscous potential flow

12 Equação Euler x Potencial
A aproximação Euler é válida quando Re >>1. Neste contexto as forças viscosas são muito menores que as forças inerciais. Portanto é frequente a associação de Euler com a ausência de viscosidade no escoamento. Somente forças normais podem causar movimento, no caso a pressão. A eq. Euler reduz para esc. potencial se  = 0, mas não se pode afirmar que a tensão de origem viscosa seja desprezível a menos que Re >>1. O escoamento potencial requer  = 0. Neste contexto o DivT=0 mas não necessariamente μ=0.

13 A função corrente y Para escoamentos 2D a vorticidade se reduz a apenas uma componente: Então para um escoamento 2D e irrotacional a função corrente é determinada satisfazendo a equação de Laplace:

14 ‘The Nice Pair’: d2f = 0 e d2y = 0
Note que tanto f quanto y são soluções de Laplace que representam um escoamento incompressível, 2D, irrotacional e que satisfazem a massa! O campo de velocidades em coordenadas cartesiana ou polar é definido por: Porém as linhas de f e y constante tem uma relação em comum e um significado especial!

15 Ângulo entre as linhas de f e y constante
As variações de f e y podem ser expressas por: O ângulo que as linhas de f e y constante fazem entre sí é determinado pelo ângulo que os vetores normais a estas curvas (os gradientes) fazem entre sí: Como o produto escalar é nulo então as curvas f e y constante são ORTOGONAIS entre sí df = 0 d d dy = 0

16 As linhas de f e y constante formam uma grade ortogonal.
Se f for encontrado primeiro y pode ser determinado ou vice-versa! Os conjuntos de linhas f e y são soluções da equação de Laplace Nas linhas de y constante não há velocidade normal a elas pela própria definição de função corrente, (sempre tangente ao vetor velocidade) Portanto y constante pode representar a fronteira de uma superfície sólida pois nela não há velocidade normal.

17 Equações de Cauchy-Riemann (2D)
A função potencial e função corrente estão relacionadas por: Este conjunto de equações é reconhecido como equações de Cauchy-Riemann para as funções f(x,y) e y(x,y). Ela permite definir um potencial complexo F(z)=f(x,y)+iy(x,y) e estender a capacidade de análise no escoamento potencial.

18 Potencial Complexo Como as funções f(x,y) e y(x,y) satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, pode-se definir um potencial complexo: onde x iy q |r| z = x+iy

19 Função Analítica A função F(z) é analítica pq f(x,y) e y(x,y) satisfazem Cauchy-Riemann. Além disto, se F é analítico, sua derivada existe: e independe da direção que dz se aproxima de z0. iy z0 x

20 A Velocidade Complexa, w(z)
Calculo da derivada fazendo dz=dx e y cte. Reconhecendo que df/dx = u e d/dx = -v, então: Verifique que dz=idy e x cte o resultado é o mesmo! Conclusões: A derivada do potencial complexo resulta no complexo conjugado da velocidade. O conhecimento do potencial complexo com função de z fornece o campo de velocidade por meio de uma simples derivada!

21 Potencial Complexo Conjugado
O produto: É o quadrado da velocidade resultante. Se |w|2 é conhecido pode-se determinar o campo de pressão utilizando Bernoulli. Os pontos de estagnação (u=v=0) são determinados pelas raízes de |w|2 =0

22 A velocidade complexa em coordenadas Polar
iy z0 V v u uq ur q A velocidade em Z0 é V com componentes u e v em coordenadas cartesianas e uq e ur em coordenadas polar

23 PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
A equação de Laplace é uma equação elíptica e requer informação em todo contorno do domínio. V=df/dy=0 df/dn=0 Uin=df/dx Uout=df/dx x y V=df/dy=0

24 PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
A equação de Laplace é uma equação elíptica e requer informação em todo contorno do domínio. V=-df/dy=0 p/ y->∞ df/dn=0 Uin=-df/dx Uout=-df/dx df/dn=0 V=-df/dy=0 p/ y->∞

25 PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
O tempo não entra na equação de Laplace. Isto significa que qualquer variação em t que surge no contorno também aparece no interior do campo no mesmo instante, por exemplo: Note que ela satisfaz d2=0 nas f varia instantaneamente em todo campo (velocidade infinita pq fluido é incompressível)

26 PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
A equação de laplace é linear e o princípio da superposição é válido, i.e., a soma linear de soluções individuais de laplace também é solução. f e y satisfazem as equações 2=0 e 2=0 em todo o campo exceto nas singularidades. A seguir será visto: Soluções simples que satisfazem 2=0 e 2=0 e Será associado a estas soluções um significado físico Será explorado o princípio da superposição para se obter soluções de casos complexos.

27 Escoamentos Elementares
+ -

28 Escoamentos Elementares Fonte + Sorvedouro dist. -> 0
eixo Fonte + Sorvedouro dist. -> 0 Sentido eixo: F -> S

29 Função Corrente e Potencial para o Dipolo
Eixo do dipolo (doublet) O eixo do dipolo indica a posição relativa da Fonte e do Sorvedouro, na figura acima a Fonte está a esquerda do Sorvedouro, ambos posicionados ao longo do eixo x

30 Comentários sobre os escoamentos elementares
Escoamento uniforme, fonte/sorvedouro, vórtice são soluções da equação de Laplace (verifique). A exceção ocorre nos pontos singulares.

31 Fonte (+) ou Sorvedouro (-) em z0
Potencial Complexo Escoamento F(z)   Uniforme Fonte (+) ou Sorvedouro (-) em z0 Vórtice Anti-horário em z0 Doublet em z0 (eixo x>0) (eixo y>0)

32 ‘Corner Flows’ Expansão ao redor do eixo de simetria, b=p/n, veja figs. a-a, b-b e c-c

33 MÉTODO DAS SUPERPOSIÇÕES

34 Superposição de uma Fonte+Escoamento Uniforme
filme Este escoamento também é conhecido como semi-corpo de Rankine. Ele pode ser formado também por um sorvedouro. A linha de corrente em ‘azul’ é uma linha que divide o escoamento interno e externo. Por esta razão ela também pode representar uma superfície (carenagem ou ‘fairings’).

35 Semi Corpo de Rankine Considere um escoamento uniforme e uma fonte na origem: a y x U0 pa Y=q/2 linha de corrente divisória ponto de estagnação V=0 q r

36 Semi Corpo de Rankine I O campo de velocidades de :
no ponto de estagnação, q = -p e vr=vq=0, então a distância a do ponto de estagnação a origem é: e o valor de y que passa pelo ponto de estagnação é, y = q/2

37 Semi Corpo de Rankine II (filme)
Sendo y definido por: A forma do corpo de Rankine, ( r, q), é determinada pela linha de corrente divisória, i.e., y = q/2: a y x U0 pa Y=q/2 linha de corrente divisória ponto de estagnação V=0 q r

38 Semi Corpo de Rankine III
O corpo não cresce indefinidamente na direção radial, sua largura máxima é ymax = pa. Esta distância é determinada fazendo o limite para x→∞ ou q →0 Entretanto para q →0 então x→∞ e r →x e q →y/x, logo a y x U0 pa Y=q/2 linha de corrente divisória ponto de estagnação V=0 q r

39 Semi Corpo de Rankine IV
A velocidade resultante no campo é: Sabendo-se que a= q/2pU0 a expressão acima em função de ´a´ passa a ser: A distribuição de pressão no corpo é determinada por Bernoulli Ou em termos do Cp:

40 Oval Rankine I A oval de Rankine é obtida pela superposição de um escoamento uniforme, uma fonte e um sorvedouro de mesma intensidade e espaçados de 2a.

41 Oval Rankine III Mas a função corrente de uma fonte e um sorvedouro já é conhecida e portanto; Os semi-eixos maior e menor da oval são determinados de forma similar ao semi-corpo de Rankine,

42 Corpos Fechados Pode-se formar corpos fechados com formas variadas colocando-se fontes e sorvedouros distribuídos. Veja exemplo: fonte localizada sorvedouros distribuídos

43 Escoamento ao redor de um Cilindro
O escoamento externo ao um cilindro é obtido da superposição de um dipolo com escoamento uniforme. A linha de corrente que divide o escoamento externo do interno é um círculo, portanto associa-se as linhas e y constante àquelas que ocorrem no escoamento externo a um cilindro.

44 Escoamento ao redor de um Cilindro
Superpondo um dipolo na origem e um escoamento uniforme: note que o eixo do dipolo aponta para x>0, i.e., a fonte está a esquerda do sorvedouro. O campo de velocidades: vr é nulo quando r = (L/U0)1/2 que define o raio ‘a’ do cilindro. A intensidade do dipolo em termos de a: L = a2U0 vq é nulo quando q = 0 e p. Os pontos de estagnação ocorrem em (a,0) e (a,p)

45 Escoamento ao redor de um Cilindro II
as componentes de velocidade vr e vq e a velocidade resultante V no cilindro de raio ‘a’ : a distribuição de pressão no cilindro (r = a)

46 Distribuição de Velocidade no Cilindro
A velocidade na superfície do cilindro é dada por: V/U0 = 2 sen(q) e mostrada na figura abaixo: Note que o diâmetro do cilindro não aparece na relação. Esta é uma característica do escoamento potencial, ele é cinematicamente similar. Cilindros de quaisquer diâmetros terão as mesmas velocidades nos pontos correspondentes!

47 Para o escoamento potencial: Cp é max no ponto de estagnação;
q Distribuição de Pressão Em Cilindros para escoamento Laminar, Turbulento e Potencial q Para o escoamento potencial: Cp é max no ponto de estagnação; É igual a p externo para q ~30 graus Atinge um mínimo para q 90 graus e Recupera a pressão em q 180 graus.

48 A Força de arrasto no cilindro é determinada por:
O cilindro não possui força de arrasto, paradoxo de D’Alembert! Distribiução de pressão simétrica. q q a

49 Força Resultante no Cilindro
No escoamento potencial só atua forças normais (pressão). Como a distribuição de pressão no corpo do cilindro é simétrica, não há força resultante no cilindro. Isto é, seu arrasto é nulo. Este é um dos pontos falhos da teoria potencial. Ele foi reconhecido por D’Alembert e em sua homenagem recebeu o nome de paradoxo de D’Alembert. Este paradoxo foi resolvido no início do sec. XX por Prandtl. Ele verificou que os efeitos viscosos ficam confinados na Camada Limite. Externo a Camada limite a teoria potencial é válida. Entretanto, quando a camada limite se separa do corpo ela perturba o escoamento externo, muda a distribuição de pressão no corpo e cria um arrasto não previsto pela teoria potencial.

50 Método das Imagens A colocação simétrica de alguns escoamentos elementares pode gerar efeitos de uma parede (linha de corrente com curvatura zero). Uma fonte próxima de uma parede pode ser aproximado colocando-se outra fonte simétrica (imagem espelhada), o mesmo para um vórtice livre (neste caso eles se deslocam como anéis de fumaça). Efeito de solo numa asa pode ser analisado de forma aproximada com esta técnica

51 Aplicação Bernoulli Transiente
Determine a distribuição de pressão num cilindro que acelera num fluido estacionário (escoamento ideal) Note que o problema é transiente para o referencial inercial XY. Cil. movendo X Y U0 Cil. Estac.

52 Condições de Contorno O escoamento deve satisfazer a equação de Laplace: 2f=0, sujeito a: onde a velocidade relativa é definida por: X Y U0

53 A velocidade relativa X Y U0 y q

54 Escoamento ao redor de um cilindro estacionário
O potencial para o cilindro que acelera pode ser formado a partir da superposição do potencial para um cilindro estacionário com um escoamento uniforme de U0 variando no tempo. x y q x y U0 + Escoamento ao redor de um cilindro estacionário Escoamento uniforme O escoamento uniforme irá deslocar o cilindro no espaço pq as velocidades se somam!

55 Somando f1 e f2 as condições de contorno para f são satisfeitas
O potencial e condições de contorno: f = f1+f2 x y q x y U0 + Somando f1 e f2 as condições de contorno para f são satisfeitas portanto f1+f2 é uma solução para 2f=0!

56 + O potencial do cilindro que acelera U0 ou
x y q x y U0 + ou Porém, para o cilindro que se move, as posições r e q variam com o tempo, então a expressão para o potencial passa a depender do tempo:

57 Velocidade imposta pelo escoamento uniforme
Para um referencial estacionário, o escoamento uniforme irá superpor ao campo de velocidades do cilindro uma velocidade que irá deslocar todo seu campo no espaço em função do tempo, Y U0dt q r q X

58 Campo de velocidades Variação do potencial com o tempo

59 A distribuição de pressão no cilindro é calculada a partir de Bernoulli
Note que para r->, p/ qualquer tempo, V=0 e p=patm, portanto C(t)=patm. Na superfície do cilindro, r = a,

60 O ponto de estagnação (q=180)
Note que dU/dt = 0 a distribuição de pressão coincide com a distribuição de um cilindro estacionário: Podemos concluir que se o cilindro acelera num fluido estacionário é necessário a aplicação de uma força pq surge um arrasto devido a dist. Pressão.

61 Força agindo no cilindro
Em termos de energia, esta força realiza um trabalho para aumentar a energia cinética do fluido ao redor do cilindro. Esta força é denominada por massa virtual e existe em qualquer tipo de corpo que é acelerado em um fluido; Corolário: se dU0/dt = 0 então D = 0

62 Força de Sustentação & Teorema Kutta-Joukowski
A força de sustentação L por unidade de largura b do cilindro é: a força de sustentação num corpo cilíndrico genérico para um escoamento 2D também é expressa pelo produto L/b = rUG . Esta generalização é feita pelo teorema de Kutta-Joukowski: ‘a sustentação de um corpo cilíndrico de seção transversal qualquer é igual ao produto da densidade, velocidade livre e circulação’ (sem circulação não há sustentação!)

63 Escoamento Irrotacional Potencial e Escoamento Real
No escoamento Irrotacional o perfil não apresenta sustentação, é necessário introduzir uma circulação (vorticidade) para que o escoamento apresente o casamento no bordo de fuga! No escoamento real isto ocorre naturalmente devido a existência da viscosidade, o fluido da parte de baixo da asa não consegue fazer a curva 

64 FIM

65 Escoamento num Cilindro com Circulação

66 Escoamento num Cilindro com Circulação
A circulação é introduzida superpondo-se ao campo um escoamento de vórtice livre (sentido horário): O campo de velocidades: vr é nulo quando r = (L/U0)1/2 isto define o raio ‘a’ do cilindro. A intensidade do dipolo em termos de a: L = a2U0 vq é nulo p/ r = a quando senq = -K/(4 p aU0) . vr e vq iguais a zero definem os pontos de estagnação

67 Escoamento num Cilindro com Circulação
as componentes de velocidade e a velocidade resultante no cilindro de raio ‘a’ : a circulação G no cilindro (r = a) o valor da circulação G é a constante K do vórtice livre! K>0 garante que vq do vórtice livre está no sentido horário, portanto G<0 refere-se a uma circulação no sentido horário (veja próximo slide).

68 O número de pontos de estagnação no cilindro pode ser: 2, 1 ou nenhum, depende do valor da circulação Flow around a circular cylinder with circulation.

69 Escoamento num Cilindro com Circulação
as componentes de velocidade e a velocidade resultante no cilindro de raio ‘a’ : a distribuição de pressão no cilindro (r = a) separando o termo sem circulação dos outros temos:

70 Distribuição de Pressão no Cilindro nos planos horizontal e vertical
Distribuição de Pressão no Cilindro nos planos horizontal e vertical. (azul) cilindro sem circulação (vermelho) cilindro com circulação A figura superior indica que a Cp não é simétrico na direção vertical e portanto deve aparecer uma força de sustentação no cilindro com circulação A figura inferior mostra que Cp é simétrico em relação a direção x, consequentemente não há arrasto nesta direção. -90 +90 +180

71 Força de Sustentação q A força de sustentação L é sempre normal a corrente livre; ela é determinada a partir da distribuição de pressão no cilindro de raio a note que o termo (1-4sen2(q)) não produz sustentação, é simétrico e vem do caso do cilindro sem circulação, a contribuição do 2o termo é nula (sen é anti-simétrico), e o 1o termo: ∫sen2qdq=q/2-[sen(2q)]/4, logo CL é:

72 Força de Sustentação & Teorema Kutta-Joukowsi
A força de sustentação L por unidade de largura b do cilindro é: a força de sustentação num corpo cilíndrico genérico para um escoamento 2D também é expressa pelo produto L/b = rUG . Esta generalização é feita pelo teorema de Kutta-Joukowsi: ‘a sustentação de um corpo cilíndrico de seção transversal qualquer é igual ao produto da densidade, velocidade livre e circulação’ (sem circulação não há sustentação!)

73 Característica do Escoamento Euler (Potencial)
Somente forças normais podem agir no escoamento. Por forças normais entende-se tensões normais (pressão). Note que sendo os termos viscosos muito pequenos, o deslocamento tangencial de uma superfície ao fluido não resultará em deslocamento do fluido no domínio de Euler. Isto é, somente deslocamentos de fronteiras normais ao fluido geram escoamentos!