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CÁLCULO NUMÉRICO Aula 1 – Introdução ao Programa de Computação Numérica
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Identificar e executar as operações aritméticas: Escalares; Vetores; Matrizes; Identificar os tipos de funções e seus respectivos gráficos;
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VETORES – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y x a b c z y x a b
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OPERAÇÕES COM VETORES. MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: Seja o vetor v (a,b,c) e o escalar real a. O vetor a.v é dado por (a.a, a.b, a.c) Ex.Se o vetor v é (1,2), o vetor 5.v será (5,10) y x 5 10 y x 1 2
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OPERAÇÕES COM VETORES. ADIÇÃO: Sejam os vetores v (a,b,c) e u (d,e,f). O vetor soma u + v = v + u = (a+d, b+e, c+f). Graficamente, temos que:
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Considere uma tabela com m linhas e n colunas em que cada elemento que ocupa a “i-ésima” linha e a “j-ésima” coluna é denominado aij Matriz com 3 linhas e 3 colunas. Matriz quadrada de ordem 3.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Multiplicação de uma matriz A por um escalar real a. Seja a matriz Am x n. O produto de a por A, isto é, a.A é igual à multiplicação de cada elemento aij por a.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Adição de matrizes – para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que m = p e n = q. Para encontrar a matriz C = A + B, basta adicionar os elementos respectivos, isto é, cij = aij + bij
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Produto de matrizes – para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz, isto é, n = p. A matriz produto terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, isto é, m linhas e q colunas. Observe: A3x4 . B4x5 = C3x5
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Produto de matrizes – Uma vez que esta operação esteja definida, cada elemento cij será formado pela multiplicação dos elementos da linha i da matriz A pelos correspondentes elementos da coluna j da matriz B. Exemplo. c32 = a31.b12 + a32.b22+a33.b32
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
PROPRIEDADES: Em regra, Se A.B = B.A diz-se que A e B comutam; A.I = A, I – matriz identidade A.(B+C) = A.B + A.C - distributiva à esquerda (B+C).A = B.A + C.A - distributiva à direita A.(B.C) = (A.B).C – associativa A.0 = 0, sendo 0, a matriz nula.
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 (PETROBRÁS - Engenheiro)
(PETROBRÁS - engenheiro) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a: APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 (PETROBRÁS - Engenheiro) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a? SOLUÇÃO: Multiplicação de um escalar por um vetor: 3u = 3.(1,2) = (3,6) Adição/subtração de vetores: 3u – v = (3,6) – (-2,5) = (5,1) = w = (x,y) Por comparação, x = 5 e y = 1. Logo, x + y = 6
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Considere as seguintes matrizes: M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe. Para que seja possível determinar M+N, NxP e P-Q, quais os valores de a, b, c, d, e ? SOLUÇÃO: ADIÇÃO: M2x3 + Naxb a = 2 e b = 3 MULTIPLICAÇÃO: M2x3.Pcx4 c = 3 SUBTRAÇÃO: Pcx4 – Qdxe e = 4 e c =d = 3
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FUNCÕES ELEMENTARES Suponha dois conjuntos A e B. Diz-se que f: A B é uma função se para todo elemento x A existe um único elemento y B. Observe. f: x x+3 domínio 1 2 3 4 5 6 7 f Imagem Contradomínio
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FUNCÕES ELEMENTARES Graficamente, podemos identificar se uma curva é uma função traçando retas verticais. Se as retas cortarem em apenas um único ponto a curva, é uma função. x y É função y Não é função x
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FUNCÕES ELEMENTARES - FUNÇÕES POLINOMIAIS
f(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn a2.x2 + a1.x + a0 As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x. x y
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TEOREMA DE BOLZANO Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no intervalo (a,b); Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b). x y a b f(a) f(b)
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
Seja a função polinomial f(x) = 2x3 - 12x2 -3x + 8. Mostre que existe ao menos uma raiz real no intervalo (0, 1) da equação f(x) = 0. SOLUÇÃO: f(0) = 2.(0)3 – 12.(0)2 -3.(0) + 8 = 8 f(1) = 2.(1)3 – 12.(1)2 -3.(1) + 8 = -5 Pelo Teorema de Bolzano, como f(0).f(1) < 0, podemos inferir que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (0,1).
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FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE
Se x2 > x1 f(x2) > f(x1) diz-se que a função é estritamente crescente; Se x2 > x1 f(x2) < f(x1) diz-se que a função é estritamente decrescente. x y x1 x2 f(x2) f(x1)
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FUNÇÕES ELEMENTARES. Função afim / linear: y = a.x + b Função quadrática: y = a.x2 + b.x + c Função exponencial: y = ax Função Logarítmica: y = Logb(x) Função seno: y = sen(x) Função co-seno: y = cos(x) Função tangente: y = tg(x)
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GRÁFICOS – FUNÇÃO AFIM y x Crescente / a > 0 Decrescente / a < 0 b x = -b/a
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y x a > 0 c Raízes reais Vértice a < 0 GRÁFICOS – FUNÇÃO DO 20 GRAU
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GRÁFICOS – FUNÇÃO EXPONENCIAL
y x a > 1 (0,1) Crescente 0 <a < 1 Decrescente
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GRÁFICOS – FUNÇÃO SENO y x 1 -1 p/2 p 3p/2 2p Período principal : 2p
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GRÁFICOS – FUNÇÃO CO-SENO
y x 1 -1 p/2 p 3p/2 2p Período principal : 2p
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y x p/2 p 3p/2 -p/2 Período principal : p -p -3p/2 GRÁFICOS – FUNÇÃO TANGENTE
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RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: As operações aritméticas: Escalares; Vetores; Matrizes; Os tipos de funções e seus respectivos gráficos.
