Disciplina: Lógica e Matemática Computacional

Apresentação em tema: "Disciplina: Lógica e Matemática Computacional"— Transcrição da apresentação:

1 Disciplina: Lógica e Matemática Computacional
Professora: Chaiene Minella, MSc chaiene.yolasite.com

2 Importante !!! AVALIAÇÃO: 03/10/2017 Conteúdo (Teórico e Prático):
Teoria dos Conjuntos (Pertence, não pertence, união, interseção,...) Fundamentos da Lógica (Proposições simples, compostas, conectivos) (Lógica Proposicional) Tabelas Verdade Regras de Dedução para Lógica Proposicional

3 Teoria Geral dos Conjuntos
Elementos Notações Pertinência Inclusão Relações Subconjuntos Operações sobre conjuntos União Interseção Diferença

4 Conjuntos Usa-se letras maiúsculas para denotar conjuntos.
Usa-se letras minúsculas para denotar os elementos do conjunto. Usamos chaves para indicar um conjunto. Por exemplo A = {azul, verde, branco} Os elementos em um conjunto não tem nenhuma ordem, de modo que {azul, verde, branco} é o mesmo que {branco, azul, verde}.

5 Conjuntos { } ou Ø = vazio {Ø} = conjunto com elemento vazio
{Ø} ≠ Ø (são diferentes) a = letra minúscula representa o elemento A = letra maiúscula representa o conjunto

6 Conjuntos Quando o conjunto possui infinitos valores, como o conjunto dos números pares, utilizamos matematicamente: P = {x | x é par} (lê-se P é o conjunto dos x tal que x é par). P = {2,4,6,8, ... }

7 Conjuntos Para que um conjunto seja igual a outro, todos os elementos do primeiro devem ser iguais aos do segundo. Caso um ou mais dos elementos não seja igual, os conjuntos são diferentes. Exemplo: A = {2,4,6,8} B = {2,4,6,8} C = {2,6,8} Então, A = B e A ≠ C

8 Notações Pertinência ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence)
Sempre verificando de elemento para conjunto

9 Notações A = {a, b, c, d, e} B = {d, e, f} C = {d, e, f} Dizemos que:
a ∈ A (lê-se a pertence ao conjunto A) Do mesmo modo: f ∉ A (lê-se f não pertence ao conjunto A)

10 Notações Inclusão С (contido) ou Ȼ (não está contido)
Ɔ (contém) ou (não contém) Sempre verificando de conjunto para conjunto

11 Notações Inclusão X = {1,2,5,6} Y = {2,5} Z = {7,8,9} Diz-se que:
Y está contido em X (Y ⊂ X), ou seja, Y é subconjunto de X. Note que todos os elementos de Y são elementos de X também. Lê-se, X contém Y (X ⊃ Y). Lê-se, Y não está contido em Z (Y⊄Z).

12 Operações União A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, ou B, ou ambos. Indicaremos a união pelo símbolo U Matematicamente: A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

13 Operações União A = {1,2,3} B = {4,5,6} A U B = {1,2,3,4,5,6}

14 Operações Interseção A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos em comum que pertencem a A e B. Indicaremos a união pelo símbolo ∩ Matematicamente: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

15 Operações Interseção A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6} A ∩ B = {4,5}

16 Operações Diferença A diferença entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. A – B ou B – C

17 Operações Diferença A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6,7} A – B = {1,2,3}

18 Operações Diferença Simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. Indicaremos a diferença simétrica entre A e B por: A Δ B = {x | x ∈ A - B ou x ∈ B - A} = (A - B) U (B - A)

19 Operações Diferença Simétrica A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6,7}
B – A = {6,7} (A – B) U (B – A) = {1,2,3,6,7}

20 Diagramas de Venn União

21 Diagramas de Venn Interseção
Obs.: Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos disjuntos.

22 Diagramas de Venn Diferença

23 Diagramas de Venn Diferença simétrica

24 Pares ordenados

25 Pares ordenados Exemplo

26 Lógica Proposicional Proposições compostas
Proposições compostas estão ligadas por conectivos e são formadas por subproposições. “As rosas são vermelhas e violetas são azuis.” Subproposições: “Rosas são vermelhas” , “violetas são azuis” Conectivo: e

27 e, ou, ~, então, se e somente se
Lógica Proposicional Conectivos e valores lógicos e, ou, ~, então, se e somente se Windows é um sistema operacional e pascal é uma linguagem de programação. b) Vou comprar um computador desktop ou um notebook c) Linux não é um software livre d) Se chover canivetes, então todos os alunos estarão aprovados em matemática discreta. e) A = B se e somente se (A C B e B C A)

28 Lógica Proposicional E p ^ q (Conjunção)

29 Lógica Proposicional OU p v q (Disjunção)

30 Lógica Proposicional ~ “não” ~p (negação)

31 Lógica Proposicional Condicional (ou implicação)
A → B onde A implica B A verdade de A implica, ou leva, a verdade de B A é a proposição antecedente e B é a consequente. “Se A então B” É falsa quando A é verdadeira e B é falsa. Verdadeira, no caso contrário.

32 Lógica Proposicional Bicondicional A ↔ B = (A → B) ^ (B → A)
“A se e somente se B” É verdadeira, quando A e B são ambas verdadeiras ou falsas. É falsa, quando as proposições A e B possuem valor-verdade distintos.

33 Lógica Proposicional Tabela Verdade para Condicional e Bicondicional
Obs.: (A → B) ^ (B → A) é igual a (A ↔ B)

34 Lógica Proposicional

35 Lógica Proposicional Ordem de precedência dos conectores
Para reduzir o número de parêntesis necessários em uma proposição composta (fórmula lógica proposicional), estipula-se uma ordem na qual os conectores são aplicados. A ordem de precedência é:

36 Lógica Proposicional Ordem de precedência dos conectores
Quando há dois ou mais conectivos de mesma ordem de precedência, o conectivo mais a esquerda na fórmula proposicional tem prioridade sobre o conectivo à direta.

37 Exercícios Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C). Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).

38 Exercícios Tabela Verdade [(p → q) ^ ~p] → ~q [(p → q) ^ ~q] → ~p
[(p → ~q) ^ (r → q) ^ r] → ~p a → (b → c) ↔ (a ^ b) → c (a ^ b) v c → a ^ (b v c)