Binômio de Newton Desenvolvimento de (x + y)n

Apresentação em tema: "Binômio de Newton Desenvolvimento de (x + y)n"— Transcrição da apresentação:

1 Binômio de Newton Desenvolvimento de (x + y)n
Termo geral Coeficientes Expoentes

2 Desenvolvimento de (x + y)n
Observando as identidades (x + y)0 = 1(x + y)1 = 1 . x y (x + y)2 = 1 . x xy y2 (x + y)3 = 1 . x x2y xy Y3 nota-se que, nas parcelas de cada desenvolvimento: a) as potências de x aparecem com expoentes em ordem decrescente; b) as potências de y aparecem com expoentes em ordem crescente; c) os coeficientes numéricos coincidem com os elementos das linhas do Triângulo de Pascal.

3 Teorema do Binômio de Newton
a) Sendo x e y dois números reais e n um número natural, demonstra-se que: b) Utilizando o símbolo de somatório, pode-se também escrever: c) Número de parcelas: o desenvolvimento de (x + y)n tem n + 1 parcelas.

4 Cálculo dos coeficientes: Os coeficientes numéricos 𝑛 0 , 𝑛 1 , 𝑛 2 ,…, 𝑛 𝑛 podem ser calculados pela definição de Número Binomial ou então podem ser obtidos diretamente de cada linha do Triângulo de Pascal. A maneira mais prática de calcular os coeficientes, porém, é lembrar que o primeiro é sempre igual a 1 e que os demais são obtidos a partir do anterior pela Relação de Fermat, que é 𝑛 𝑘 . 𝑛−𝑘 𝑘+1 = 𝑛 𝑘+1 . c) Observando que (x – y)n = [x + (– y)n] e que (– y)0 = y0, (– y)1 = – y1, (– y)2 = y2, (– y)3 = – y3 etc., temos:

5 Termo geral Podemos concluir que o termo de ordem k + 1 do desenvolvimento de (x + y)n feito segundo os expoentes decrescentes de x, é: É importante observar que, no desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo expoentes crescentes de x, o termo de ordem k + 1 é:

6 Soma dos coeficientes Exercícios Resolvidos
A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (ax + by)n, com a e b constantes, obtém-se fazendo x = y = 1. A soma vale, portanto, (a b . 1)n, ou seja, (a + b)n. Exercícios Resolvidos 1. quarto termo do desenvolvimento de (2x + y)8, feito segundo os expoentes decrescentes de x, é igual a: a) 56x5y3 b)36x3y5 c) 1792x5y3 1792x3y5 2240x4y4 Resolução 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑻 𝒌+𝟏 = 𝒏 𝒌 𝒏 𝒏−𝒌 . 𝒚 𝒌 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙+𝒚 𝒏 , 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝑻 𝟒 = 𝟖 𝟑 𝟐𝒙 𝟓 . 𝒚 𝟑 =𝟓𝟔 . 𝟑𝟐 𝒙 𝟓 𝒚 𝟑 =𝟏𝟕𝟗𝟐 𝒙 𝟓 𝒚 𝟑

7 2. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑥 2 − 1 𝑥 3 10 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒:
o termo médio. b) o termo independente de x. Resolução a) Como o desenvolvimento tem = 11 termos, o termo médio é o sexto. 𝑻 𝒌+𝟏 = 𝒏 𝒌 𝒙 𝒏−𝒌 𝒚 𝒌 − 𝟐𝟓𝟐 𝒙 𝟓 𝑻 𝟔 = 𝟏𝟎 𝟔 𝒙 𝟐 𝟏𝟎−𝟓 −𝒙 −𝟑 𝟓 = −𝟐𝟓𝟐 𝒙 −𝟓 = 𝒃) 𝑻 𝒌+𝟏 = 𝟏𝟎 𝒌 𝒙 𝟐 𝟏𝟎−𝒌 −𝒙 −𝟑 𝒌 = 𝟏𝟎 𝒌 𝒙 𝟐𝟎−𝟐𝒌 −𝟏 𝒌 𝒙 −𝟑𝒌 = −1 𝑘 10 𝑘 𝑥 20−5𝑘 = 𝟐𝟎−𝟓𝒌=𝟎 𝒌=𝟒

8 Exercícios Propostos Nas questões de1 a 9, desenvolver: 1) 𝑥+𝑦 0
1) 𝑥+𝑦 0 2) 𝑥+𝑦 1 3) 𝑥+𝑦 2 4) 𝑥+𝑦 3 5) 𝑥+𝑦 4 6) 𝑥+𝑦 5 7) 𝑥−𝑦 5 8) 𝑥+𝑦 6 9) 𝑥−𝑦 6

9 12)Calcular o termo de grau 9 no desenvolvimento de 𝑥 2 + 1 𝑥 3 12
11) Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x + 2y)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x. Solução 𝑻 𝒌+𝟏 = 𝑻 𝟒 →𝒌+𝟏=𝟒 →𝒌=𝟒−𝟏→𝒌=𝟑 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟏𝟎! 𝟑!.𝟕! = 𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕! 𝟑.𝟐.𝟏.𝟕! = 𝟏𝟎.𝟗.𝟖 𝟑.𝟐 = 𝟏𝟎.𝟑.𝟒 𝟏 =𝟏𝟐𝟎 𝒙 𝟕 𝟖𝒚 𝟑 = 960 𝒙 𝟕 𝒚 𝟑 12)Calcular o termo de grau 9 no desenvolvimento de 𝑥 𝑥 Solução:

10 𝑰) 𝑻 𝒌+𝟏 = 𝟏𝟐 𝒌 𝒙 𝟐 𝟏𝟐−𝒌 𝟏 𝒙 𝟑 𝒌 𝟏𝟐 𝒌 𝒙 𝟐𝟒−𝟐𝒌 𝒙 −𝟑𝒌 = 𝟏𝟐 𝒌 𝒙 𝟐𝟒 𝒙 −𝟓𝒌 𝑰𝑰) 𝟐𝟒−𝟓𝒌=𝟗 → 𝟐𝟒−𝟗=𝟓𝒌⟶ 𝟐𝟓=𝟓𝒌 ⟶ 𝒌=𝟓 𝑰𝑰𝑰) 𝑻 𝟒 = 𝟏𝟐 𝟑 𝒙 𝟗 = 𝟏𝟐! 𝟑!.𝟗! = 𝟏𝟐.𝟏𝟏.𝟏𝟎.𝟗! 𝟑.𝟐.𝟏.𝟗! =𝟐.𝟏𝟏.𝟏𝟎. 𝒙 𝟗 =𝟐𝟐𝟎 𝒙 𝟗