Limites de funções de mais de uma variável

Apresentação em tema: "Limites de funções de mais de uma variável"— Transcrição da apresentação:

1 Limites de funções de mais de uma variável
Aula 02 – Licenciatura em Ciências Exatas Prof. Danilene D. Berticelli

2 Limites para funções de duas variáveis
Se os valores de 𝑓(𝑥,𝑦) estão arbitrariamente próximos de um número real fixado 𝐿 para todos os pontos (𝑥,𝑦) suficientemente próximos de um ponto 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 , dizemos que 𝑓 se aproxima do limite 𝐿 quando (𝑥,𝑦) se aproxima de 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 . Isso é semelhante à definição informal para o limite de uma função de uma única variável. Observe, entretanto, que, se 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 está no interior do domínio de 𝑓, (𝑥,𝑦) pode se aproximar de 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 a partir de qualquer direção. Para o limite existir, o mesmo valor limitante deve ser obtido, qualquer que seja a direção de aproximação tomada.

3 DEFINIÇÃO Dizemos que uma função 𝑓(𝑥,𝑦) se aproxima do limite L à medida que (𝑥,𝑦) se aproxima de 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 e escrevemos lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑓 𝑥,𝑦 =𝐿 se, para todo número 𝜖>0 existe um número 𝛿> 0 correspondente tal que, para todo (𝑥,𝑦) no domínio de 𝑓, 𝑓 𝑥,𝑦 −𝐿 <𝜖 sempre que 0< (𝑥− 𝑥 𝑜 ) 2 +(𝑦− 𝑦 0 ) 2 < 𝛿

4 Limites para funções de duas variáveis
Dizemos que uma função f (x, y) se aproxima do limite L à medida que (x, y) se aproxima de (x0, y0) e escrevemos se, para todo número ϵ > 0, existe um número d > 0 correspondente tal que, para todo (x, y) no domínio de f, sempre que

5 A definição de limite diz que a distância entre 𝑓(𝑥,𝑦) e L se torna arbitrariamente pequena sempre que a distância entre 𝑥,𝑦 e ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) se faz suficientemente pequena (mas não igual a 0). A definição aplica-se tanto a pontos interiores ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) como a pontos de fronteira do domínio de 𝑓, ainda que um ponto de fronteira não precise estar no domínio. Os pontos 𝑥,𝑦 que se aproxima de ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) são sempre tomados como estando no domínio de 𝑓. Ver figura.

6 Limites para funções de duas variáveis
Na definição de limite, d é o raio de um disco centrado em (x0, y0). Para todos os pontos (x, y) dentro desse disco, os valores da função f (x, y) estão dentro do intervalo correspondente (L – ϵ, L + ϵ).

7 Analogamente a funções de uma variável, pode ser demonstrado que:
lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑥= 𝑥 𝑜 lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑦= 𝑦 𝑜 lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑘=𝑘 Para todo número k.

8 Limites para funções de duas variáveis

9 Exemplo 1 Neste exemplo, podemos combinar os três resultados simples, seguindo a definição de limites com os resultados no Teorema 1 para calcular os limites. Simplesmente substituímos os valores de x e y do ponto sendo aproximado na expressão funcional para encontrar o valor do limite. lim 𝑥,𝑦 →(0,1) 𝑥 −𝑥𝑦+3 𝑥 2 𝑦+5𝑥𝑦−𝑦³ = 0− −(1)³ =−3 lim 𝑥,𝑦 →(3, −4) 𝑥 2 + 𝑦 2 = (−4)² = 25 =5

10 Exemplo 2 Encontre lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑥 2 −𝑥𝑦 𝑥 − 𝑦 Solução:
Como o denominador 𝑥 − 𝑦 se aproxima de 0 quando (𝑥,𝑦) (0,0), não podemos utilizar a regra do quociente do Teorema 1. No entanto, se multiplicarmos numerador e denominador por 𝑥 + 𝑦 , produzimos uma fração equivalente, cujo limite podemos encontrar.

11 Exemplo 3 Encontre lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 4𝑥 𝑦 2 𝑥 2 +𝑦² Solução:
Primeiro observamos que, ao longo da reta 𝑥 = 0, a função tem sempre valor 0 quando 𝑦≠0. Da mesma forma, ao longo da reta y = 0, a função tem valor contanto que 𝑥≠0. Dessa forma, se o limite existe à medida que (𝑥,𝑦) se aproxima de (0,0), o valor do limite deve ser 0. Para verificar se isso é verdadeiro, aplicamos a definição de limite.

12 Exemplo 4 Seja 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑦 𝑥 , o lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑓(𝑥,𝑦) existe? Solução:
O domínio de 𝑓 não inclui o eixo 𝑦, portanto não consideramos nenhum ponto (𝑥,𝑦) onde 𝑥 = 0 na aproximação à origem (0,0). Ao longo do eixo 𝑥, o valor da função é 𝑓(𝑥,0) = 0 para todo 𝑥≠0. Portanto, se o limite existe quando (𝑥,𝑦)  (0,0), o valor do limite deve ser 𝐿 = 0. Por outro lado, ao longo da reta 𝑦 = 0, o valor da função é 𝑓(𝑥,𝑥) = 𝑥/𝑥 = 1 para todo 𝑥≠0. Isto é, a função f se aproxima do valor 1 ao longo da reta 𝑦 = 𝑥. Isso significa que, para todos disco de raio 𝛿 centrado em (0,0), o disco irá conter pontos (𝑥,0) no eixo 𝑥 onde o valor da função é 0, e também pontos (𝑥,𝑥) ao longo da reta 𝑦 = 𝑥 onde o valor da função é 1. Portanto, não importa o quão pequeno escolhemos o raio 𝛿 do disco, haverá pontos no disco para os quais os valores de função diferem por 1. Portanto, o limite não pode existir, porque podemos tomar 𝜖 como sendo qualquer número menor que 1 na definição de limite e negar que L = 0 ou 1, ou qualquer outro número real. O limite não existe, porque temos valores limite diferente ao longo de diferentes trajetórias se aproximando do ponto (0,0).

13 Encontre os limites lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 3 𝑥 2 − 𝑦 2 +5 𝑥 2 + 𝑦 2 +2
lim 𝑥,𝑦 →(0, 𝜋 4 ) sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑦 lim 𝑥,𝑦 →(0,0) cos 𝑥 2 +𝑦³ 𝑥+𝑦+1

14 Limites de quocientes lim 𝑥,𝑢𝑦 →(1,1) 𝑥≠𝑦 𝑥 2 −2𝑥𝑦+𝑦² 𝑥−𝑦

15 Para praticar lim 𝑥,𝑦 →(0, ln 2) 𝑒 𝑥−𝑦 lim 𝑥,𝑦 →(1,1) ln 1+ 𝑥 2 𝑦²
lim 𝑥,𝑦 →( 1 27 ,𝜋³) cos 3 𝑥𝑦 lim 𝑥,𝑦 →(1, 𝜋 6 ) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥 2 +1 lim 𝑥,𝑦 →( 𝜋 2 ,0) cos 𝑦+1 𝑦 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

16 7. lim 𝑥,𝑦 →(2,0) 2𝑥−𝑦≠4 2𝑥−𝑦 −2 2𝑥−𝑦−4 8
7. lim 𝑥,𝑦 →(2,0) 2𝑥−𝑦≠4 2𝑥−𝑦 −2 2𝑥−𝑦−4 8. lim 𝑥,𝑦 →(4,3) 𝑥≠𝑦+1 𝑥 − 𝑦+1 𝑥−𝑦−1 9. lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑥 2 +𝑦² 10. lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 1− cos (𝑥𝑦) 𝑥𝑦 11. lim 𝑥,𝑦 →(1, −1) 𝑥 3 +𝑦³ 𝑥+𝑦 12. lim 𝑥,𝑦 →(2,2) 𝑥−𝑦 𝑥 4 − 𝑦 4 )

17 Definição: Uma função 𝑓(𝑥,𝑦) é contínua no ponto ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) se 𝑓 for definida em ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ); lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑓(𝑥,𝑦) existe; lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑓( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) CONTINUIDADE Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

18 CONTINUIDADE Uma consequência do Teorema 1 é que combinações algébricas de funções contínuas são contínuas em todo ponto onde as funções envolvidas são definidas. Isso significa que somas, diferenças, multiplicações por constantes, produtos, quociente e potências de funções contínuas são contínuos onde definidos. Em especial polinômios e funções racionais de duas variáveis são contínuos em todo ponto onde são definidos. Como acontece na definição de limite, a definição de continuidade aplica-se tanto a pontos de fronteira quanto a pontos interiores do domínio de 𝑓. A única exigência é que todo ponto (𝑥,𝑦) próximo de ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) esteja no domínio de 𝑓.

19 Exemplo 5 Mostre que 𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑥 2 +𝑦² , (𝑥,𝑦)≠(0,0) 0, 𝑥,𝑦 = 0,0
𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑥 2 +𝑦² , (𝑥,𝑦)≠(0,0) 0, 𝑥,𝑦 = 0,0 é contínua em todo ponto exceto a origem.

20 Solução Exemplo 5: A função 𝑓 é contínua em qualquer ponto (𝑥,𝑦)≠(0,0), porque seus valores são dados por uma função racional de 𝑥 e 𝑦 e o valor limite é obtido através da substituição dos valores de 𝑥 e 𝑦 na expressão funcional. Em (0,0), o valor de f é definido, mas afirmamos que 𝑓 não tem limites quando (𝑥,𝑦) (0,0). A razão é que diferentes caminhos de aproximação da origem podem levar a resultados diferentes, conforme veremos a seguir.

21 Para todo valor de 𝑚, a função 𝑓 tem um valor constante na reta “furada” 𝑦=𝑚𝑥, 𝑥≠0, porque 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦=𝑚𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑥 2 +𝑦² 𝑦=𝑚𝑥 = 2𝑥(𝑚𝑥) 𝑥 2 +(𝑚𝑥)² = 2𝑚𝑥² 𝑥 2 + 𝑚 2 𝑥² = 2𝑚 1+𝑚² 𝑦=𝑚𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑥 2 +𝑦² 𝑦=𝑚𝑥 = 2𝑥(𝑚𝑥) 𝑥 2 +(𝑚𝑥)² = 2𝑚𝑥² 𝑥 2 + 𝑚 2 𝑥² = 2𝑚 1+𝑚² Portanto, f tem esse número como seu limite quando (𝑥,𝑦) se aproxima de (0,0) ao longo da reta: lim 𝑥,𝑦 →(0,0) 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑦=𝑚𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 = lim [𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦=𝑚𝑥 ]= 2𝑚 1+𝑚²

22 Esse limite muda com cada valor de coeficiente angular m
Esse limite muda com cada valor de coeficiente angular m. Não existe, portanto, um único número que podemos denominar limite de 𝑓 quando (𝑥,𝑦) se aproxima da origem. O limite não existe e a função não é contínua. Os Exemplos 4 e 5 ilustram um ponto importante sobre limites de funções de duas ou mais variáveis. Quando um limite existe em um ponto, o limite deve ser o mesmo ao longo de todos os caminhos que se aproximam do ponto. Esse resultado é análogo ao caso de uma variável na qual ambos os limites laterais devem ter o mesmo valor. Para funções de duas ou mais variáveis, se encontrarmos caminhos com limites diferentes, saberemos que a função não tem limite no ponto em que elas se aproximam.

23 TESTE DOS DOIS CAMINHOS PARA A NÃO EXISTÊNCIA DE UM LIMITE
Se uma função f(x,y) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes no domínio de f quando (x,y) se aproxima de ( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ), então lim 𝑥,𝑦 →( 𝑥 𝑜 , 𝑦 𝑜 ) 𝑓(𝑥,𝑦) não existe. TESTE DOS DOIS CAMINHOS PARA A NÃO EXISTÊNCIA DE UM LIMITE