Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Apresentação em tema: "Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos"— Transcrição da apresentação:

1 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  M x= N x + b  x=M –1 (N x + b) C=M –1 N d=M –1 b Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

2 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
Teorema do ponto fixo Para sistemas  (x) = M –1 (N x + b) Cálculo do erro  = ║M-1N║ e 0 <  < 1 (  - constante de Lipschitz) 2 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

3 Método de Jacobi M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência
|| M-1N || = || D-1(L+U) || < 1 Fórmula de recorrência Resolver cada equação i em ordem a xi C=-D-1(L+U) d=D-1b 3 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

4 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
Método de Jacobi TSist1 k 1 4.8 2 1.6 0 c.d. 3 0.64 4 0.40 5 0.17 0 c.d 6 0.096 1 c.d. 7 0.048 8 0.026 1 c.d 9 .0095 10 0.0064 2 c.d. 11 0.0041 12 0.0016 13 0.0011 3 c.d. 14 . Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

5 Estimativa do erro Método de 1ª ordem
(nas proximidades da raiz) Como então e 5 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

6 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
Exercício TSist1 (solução exacta xT=(1,-3,4)) Critério de paragem Método de Jacobi x(1) x(2) … x(4) … x(7) … x(11) … x(14) 2 … … … … … … … 3.8425 … 4.8 1.6 0.40 0.048 0.4110-2 0.3810-3 6 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

7 Método de Gauss-Seidel
M = L+D N = - U Condição suficiente de convergência || M-1N || = || (L+D)-1U || < 1 Fórmula de recorrência Só inverte D. Em vez de inverter L, resolve o sistema por substituição. Usa a matriz de Jacobi 7 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

8 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
Método de Gauss-Seidel TSist1 k 1 4.8 2 2.7 3 0.95 0 c.d.c. 4 0.30 0 quase 1 c.d.c 5 0.097 1 c.d.c. 6 0.032 1 quase 2 c.d.c 7 0.011 2 c.d.c 8 0.0035 2 quase 3 c.d.c 9 0.0012 3 c.d.c 10 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

9 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
Exercício TSist1 (solução exacta xT=(1,-3,4)) Critério de paragem Método de Gauss-Seidel x(1) x(2) … x(4) … x(6) … x(8) … x(10) 2 … 0.9995… … … … … … … 4.8 2.7 0.30 0.032 0.3510-2 0.3710-3 9 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

10 Condições suficientes de convergência
Definições Uma matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (colunas) se Uma matriz A é Positiva Definida (PD) se xTAx >0 x  0. Matriz estritamente dominante Jacobi convergente Matriz PD Gauss-Seidel convergente 10 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

11 Transformar o sistema Ax=b (A não singular)
Determinar um sistema equivalente cuja matriz tenha diagonal estritamente dominante. Multiplicar o sistema por AT A*=ATA é uma matriz PD Demonstração: xTA*x = xTATAx A não singular ATAx=ATb =(Ax)T(Ax) =||Ax||2 Ax=0 sse x=0 11 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

12 Eficiência dos métodos directos versus iterativos
Métodos iterativos: Por iteração Em k iterações Métodos directos n2-n produtos k(n2-n) ≲ k n2 Os métodos iterativos são mais eficientes 12 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos