Oscilações magnéticas e corrente alternada

Apresentação em tema: "Oscilações magnéticas e corrente alternada"— Transcrição da apresentação:

1 Oscilações magnéticas e corrente alternada
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA GRADUAÇÃO EM engenharia mecânica CAMPUS LAGES PATRESE VIEIRA NOVEMBRO DE 2017

2 Após a obtenção da energia elétrica em algum tipo de usina geradora é necessário pensar na distribuição da mesma. Na maior parte do mundo, a energia é transferida através de correntes alternadas (CA), cujo comportamento varia senoidalmente com o tempo, e não por correntes contínuas (CC). O objetivo desse capítulo é tratar dos conceitos físicos relativos a esses aspectos.

3 ● OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC: ANÁLISE QUALITATIVA
Circuitos em série RC e RL: carga, corrente e diferença de potencial variam exponencialmente com o tempo, descritas por uma constante de tempo τ. Circuitos em série LC: carga, corrente e diferença de potencial variam senoidalmente com o tempo, com determinado período T e frequência angular ω. Essas oscilações, percebidas no campo elétrico do capacitor e no campo magnético do indutor, são denominadas oscilações eletromagnéticas.

4 Será feita uma análise qualitativa por meio do comportamento da energia armazenada no campo de cada dispositivo: Energia armazenada no campo elétrico do capacitor: 𝑈 𝐸 = 𝑞 2 2𝐶 Energia armazenada no campo magnético do indutor: 𝑈 𝐵 = 𝐿𝑖 2 2

5 Comportamento de um circuito ideal LC (sem resistência):
O processo ocorre com determinada frequência f e frequência angular ω = 2πf.

6 Para um circuito RLC (ou LC real), a resistência retira energia do circuito sob a forma de energia térmica, o que amortece as oscilações.

7 Comparação das energia em dois sistemas oscilantes
● ANALOGIA ELETROMECÂNICA Percebe-se que: q corresponde a x /C corresponde a k i corresponde a v L corresponde a m Comparação das energia em dois sistemas oscilantes Sistema Bloco-Mola Oscilador LC Elemento Energia Mola Potencial: kx²/2 Capacitor Elétrica: q²/2C Bloco Cinética: mv²/2 Indutor Magnética: Li²/2 v = dx/dt i = dq/dt

8 Em um sistema bloco-mola, a frequência angular de oscilação foi definida por:
𝜔= 𝑘 𝑚 Por analogia, para a frequência angular de oscilação do circuito LC ideal: 𝜔= 1 𝐿𝐶

9 ● OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC: ANÁLISE QUANTITATIVA
A energia total em um circuito LC ideal é dada por: 𝑈= 𝑈 𝐵 + 𝑈 𝐸 = 𝐿𝑖 𝑞 2 2𝐶 Sendo um circuito ideal, não há perda de energia no mesmo, logo U se mantém constante e dU/dt = 0: 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐿𝑖 𝑞 2 2𝐶 =0 𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 𝑑𝑞 𝑑𝑡 =0

10 Onde q é a carga e Q seu valor máximo (amplitude).
Sendo i = dq/dt: 𝐿 𝑑𝑞 𝑑𝑡 𝑑²𝑞 𝑑𝑡² + 𝑞 𝐶 𝑑𝑞 𝑑𝑡 =0 𝐿 𝑑²𝑞 𝑑𝑡² + 1 𝐶 𝑞=0 É a equação diferencial ordinária que descreve as oscilações em um circuito LC, cuja solução possui a forma: 𝑞=𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜑) Onde q é a carga e Q seu valor máximo (amplitude). * observação: o livro utiliza como notação nesse capítulo letras minúsculas para valores intermediários e letras maiúsculas para valores máximos (amplitudes).

11 Para a corrente elétrica:
𝑖= 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = −𝜔𝑄𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡+𝜑) Definindo-se a amplitude 𝐼=𝜔𝑄: 𝑖=−𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡+𝜑)

12 → Oscilações das Energias Elétrica e Magnética:
𝑈 𝐸 = 𝑞 2 2𝐶 = 𝑄² 2𝐶 𝑐𝑜𝑠²(𝜔𝑡+𝜑) Magnética: 𝑈 𝐵 = 𝐿𝑖 2 2 = 1 2 𝐿𝜔²𝑄²𝑠𝑒𝑛²(𝜔𝑡+𝜑) Sendo 𝜔= 1 𝐿𝐶 : 𝑈 𝐵 = 𝑄² 2𝐶 𝑠𝑒𝑛²(𝜔𝑡+𝜑)

13 EXEMPLO 1 Oscilador LC: variação de potencial, taxa de variação da corrente Um capacitor de 1,5 μF é carregado por uma bateria de 57 V, que em seguida é desligada. No instante t = 0, um indutor de 12 mH é ligado ao capacitor para formar um oscilador LC. a) Qual é a diferença de potencial vL(t) entre os terminais do indutor em função do tempo? b) Qual é a máxima taxa de variação (di/dt)máx da corrente no circuito?

14 ● OSCILAÇÕES AMORTECIDAS EM UM CIRCUITO RLC
Nesse caso, a taxa de variação da energia (dU/dt) é diferente de zero, uma vez que a energia não se mantém constante no circuito, já que é dissipada pelo resistor. 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 =−𝑖²𝑅 Na qual o sinal negativo indica que a energia no circuito diminui com o tempo

15 Sendo a energia total do sistema:
𝑈= 𝑈 𝐵 + 𝑈 𝐸 = 𝐿𝑖 𝑞 2 2𝐶 Para sua derivada temporal: 𝑑𝑈 𝑑𝑡 =𝐿𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 𝑑𝑞 𝑑𝑡 =−𝑖²𝑅 Tomando i = dq/dt: 𝐿 𝑑²𝑞 𝑑𝑡² +𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑞=0 Que é a EDO para as oscilações amortecidas do circuito RLC.

16 A solução é fornecida por: 𝑞=𝑄 𝑒 −𝑅𝑡/2𝐿 𝑐𝑜𝑠(𝜔′𝑡+𝜑) Onde: 𝜔′= 𝜔−(𝑅/2𝐿)²
𝜔′= 𝜔−(𝑅/2𝐿)² A solução mostra que a carga se comporta como uma oscilação senoidal, no entanto possui uma amplitude exponencialmente descrescente, a qual amortece as oscilações. amplitude

17 EXEMPLO 2 Circuito RLC amortecido: amplitude de carga Um circuito RLC série tem indutância L = 12 mH, uma capacitância C = 1,6 μF, uma resistência R = 1,5 Ω e começa a oscilar no instante t = 0. a) Em que instante t a amplitude das oscilações da carga do circuito é 50% do valor inicial? (note que o valor inicial não é dado) b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante?

18 ● CORRENTE ALTERNADA A maioria dos equipamentos elétricos possuem circuitos RLC em sua composição. As oscilações não são amortecidas pois a energia é continuamente fornecida aos mesmos pela rede elétrica, cuja corrente se comporta como uma função senoidal, denominada corrente alternada. No Brasil, as correntes e tensões mudam de polaridade 120 vezes por segundo, ou seja, são fornecidas com uma frequência de 60 Hz.

19 ~220V 50 Hz ~110V 60 Hz ~220V 60 Hz ~110V 50 Hz

20 Na esquematização de um gerador de corrente alternada simples, uma espira é forçada a girar devido a presença de um campo magnético externo, o que ocasiona a indução de uma força eletromotriz senoidal na espira, fornecida por: ℇ= ℇ 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 Onde ℇ­m é a amplitude e ωd é a frequência angular de excitação da força eletromotriz alternada, sendo igual a velocidade angular de rotação da espira.

21 A força eletromotriz alternada induzida é recolhida pelas escovas que estão em contato com os anéis, a qual é conduzida para outras partes de um circuito. A corrente induzida no circuito por essa força eletromotriz é descrita por: 𝑖=𝐼𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) A constante de fase φ aparece porque a força eletromotriz ℇ pode não estar em fase com a corrente i.

22 ● TRÊS CIRCUITOS SIMPLES → Carga Resistiva Regra das malhas:
Sendo ℇ uma força eletromotriz alternada: 𝑣 𝑅 = ℇ 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 Como a amplitude 𝑣 𝑅 é igual a amplitude ℇ­m da força eletromotriz: 𝑣 𝑅 = 𝑉 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 Símbolo de Fonte de Tensão Alternada ℇ− 𝑣 𝑅 =0 ℇ= 𝑣 𝑅

23 Da definição de resistência, V = Ri, logo é possível descrever para a corrente no circuito que:
𝑖 𝑅 = 𝑣 𝑅 𝑅 = 𝑉 𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 A corrente alternada, também pode ser descrita por: 𝑖 𝑅 =𝐼𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) Por analogia: 𝐼 𝑅 = 𝑉 𝑅 𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐼 𝑅 𝑅

24 vR e iR estão em fase, passando ao mesmo tempo por seus pontos de máximo ou mínimo.

25 O QUE SÃO FASORES? Um fasor é um vetor de módulo igual à amplitide da oscilação, que gira ao redor da origem com velocidade igual à frequência angular ω. São úteis para o estudo de interações entre grandezas por meio de uma análise vetorial.

26 EXEMPLO 3 Carga resistiva pura: diferença de potencial e corrente Na figura, a resistência R é 200 Ω e o gerador produz uma força eletromotriz de amplitude ℇm = 36,0 V e frequência fd = 60,0 Hz. a) Qual é a diferença de potencial vR(t) entre os terminais do resistor em função do tempo e qual é a amplitude VR de vR(t)? b) Qual é a corrente iR(t) no resistor e qual é a amplitude IR de iR(t)?

27 Sendo C = q/V → qC = CvC. Portanto: 𝑞 𝐶 =𝐶𝑣 𝐶 = 𝐶𝑉 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡
→ Carga Capacitiva Regra das malhas: Sendo C = q/V → qC = CvC. Portanto: 𝑞 𝐶 =𝐶𝑣 𝐶 = 𝐶𝑉 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 ℇ− 𝑣 𝐶 =0 ℇ= 𝑣 𝐶 𝑣 𝐶 = ℇ 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 𝑣 𝐶 = 𝑉 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡

28 Para a corrente: 𝑖 𝐶 = 𝑑 𝑞 𝑐 𝑑𝑡 = 𝜔 𝑑 𝐶𝑉 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 A partir da corrente, é possível definir a reatância capacitiva XC, sendo: 𝑋 𝐶 = 1 𝜔 𝑑 𝐶 Cuja unidade de medida no SI é o Ohm, assim ela tem o mesmo comportamento que a resistência.

29 Ainda para a corrente, é usada a substituição:
𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡=𝑠𝑒𝑛( 𝜔 𝑑 𝑡+90°) Assim: 𝑖 𝐶 = 𝑉 𝐶 𝑋 𝐶 𝑠𝑒𝑛( 𝜔 𝑑 𝑡+90°) Na qual o termo entre parênteses é a amplitude da corrente 𝐼 𝐶 e –90° é o valor da constante de fase φ: 𝑖 𝐶 = 𝐼 𝐶 𝑠𝑒𝑛( 𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) Também pode-se perceber que: 𝑉 𝐶 = 𝐼 𝐶 𝑋 𝐶  

30 Para a carga capacitiva, dado que φ = –90°, a corrente iC encontra-se adiantada em relação à tensão vC.

31 EXEMPLO 4 Carga capacitiva pura: diferença de potencial e corrente Na figura, a capacitância C é 15,0 μF e o gerador produz uma força eletromotriz senoidal de amplitude ℇm = 36,0 V e frequência fd = 60,0 Hz. a) Qual é a diferença de potencial vC(t) entre os terminais do capacitor em função do tempo e qual é a amplitude VC de vC(t)? b) Qual é a corrente iC(t) no resistor e qual é a amplitude IC de iC(t)?

32 → Carga Indutiva Regra das malhas: Da expressão para a força eletromotriz autoinduzida: ℇ 𝐿 =−𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Se tem para a diferença de potencial entre os terminais do indutor: 𝑣 𝐿 =−𝐿 𝑑 𝑖 𝐿 𝑑𝑡 Assim: −𝐿 𝑑 𝑖 𝐿 𝑑𝑡 = 𝑉 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 ℇ− 𝑣 𝐿 =0 ℇ= 𝑣 𝐿 𝑣 𝐿 = ℇ 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 𝑣 𝐿 = 𝑉 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡

33 Para determinar a corrente (desprezando-se o sinal negativo):
𝑑 𝑖 𝐿 = 𝑉 𝐿 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 𝑑𝑡 𝑖 𝐿 =− 𝑉 𝐿 𝜔 𝑑 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 Define-se a reatância indutiva XL como sendo: 𝑋 𝐿 = 𝜔 𝑑 𝐿 Cuja unidade de medida no SI também é o Ohm.

34 Para a corrente, toma-se a seguinte substituição:
−𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡=𝑠𝑒𝑛( 𝜔 𝑑 𝑡−90°) Dessa maneira: 𝑖 𝐿 = 𝑉 𝐿 𝑋 𝐿 𝑠𝑒𝑛( 𝜔 𝑑 𝑡−90°) Como o termo entre parênteses representa a amplitude 𝐼 𝐿 e sendo a constante de fase φ = 90°: 𝑖 𝐿 = 𝐼 𝐿 𝑠𝑒𝑛( 𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) Assim: 𝑉 𝐿 = 𝐼 𝐿 𝑋 𝐿

35 Nesse caso, para um circuito com carga indutiva a corrente iL encontra-se atrasada em φ =90° em relação a diferença de potencial vL:

36 EXEMPLO 5 Carga indutiva pura: diferença de potencial e corrente Na figura, a indutância L é 230 mH e o gerador produz uma força eletromotriz de amplitude ℇm = 36,0 V e frequência fd = 60,0 Hz. a) Qual é a diferença de potencial vL(t) entre os terminais do capacitor em função do tempo e qual é a amplitude VL de vL(t)? b) Qual é a corrente iL(t) no resistor e qual é a amplitude IL de iL(t)?

37 ● CIRCUITO RLC SÉRIE A força eletromotriz alternada ℇ= ℇ 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 é aplicada ao circuito RLC, Como os componentes estão em série, todos estão submetidos a mesma corrente alternada: 𝑖=𝐼𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) O problema se concentra em encontrar a amplitude de corrente 𝐼 e a constante de fase 𝜑.

38 → Amplitude de Corrente:
O fasor do primeiro gráfico mostra a amplitude da corrente 𝐼. No segundo, se tem a posição dos fasores das amplitudes das tensões para cada dispositivo em relação ao fasor 𝐼: Resistor: 𝐼 e VR estão em fase; Capacitor: 𝐼 está adiantada em 90° em relação à VC; Indutor: 𝐼 está atrasada em 90° em relação à VL.

39 O fasor para a amplitude da força eletromotriz alternada ℇm é obtido de acordo com a regra das malhas: ℇ 𝑚 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶 + 𝑉 𝐿 A qual se dá pela soma vetorial dos fasores VR, VC e VL.

40 Aplicando o teorema de Pitágoras:
ℇ 𝑚 2 = 𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 − 𝑉 𝐶 2 Reescreve-se: ℇ 𝑚 2 = 𝐼²𝑅 𝐼𝑋 𝐿 −𝐼 𝑋 𝐶 2 Explicitando-se a amplitude de corrente I: 𝐼= ℇ 𝑚 𝑅 𝑋 𝐿 − 𝑋 𝐶 2

41 O termo do denominador é chamado de impedância Z, também sendo medida no SI em Ohm:
𝑍= 𝑅 𝑋 𝐿 − 𝑋 𝐶 2 Portanto, para 𝐼: 𝐼= ℇ 𝑚 𝑍 Substituindo as reatâncias, também é possível escrever para 𝐼 que: 𝐼= ℇ 𝑚 𝑅 𝜔 𝑑 𝐿−1/ 𝜔 𝑑 𝐶 2

42 Essa amplitude descreve uma corrente estacionária, a qual é obtida certo tempo após a aplicação da força eletromotriz alternada ao circuito. Nesse intervalor, o circuito é submetido a uma corrente transitória, relativas aos tempos necessários para que o capacitor e o indutor sejam carregados.

43 → Constante de fase: Para o triângulo retângulo: 𝑡𝑔 𝜑= 𝑉 𝐿 − 𝑉 𝐶 𝑉 𝑅 = 𝐼𝑋 𝐿 −𝐼 𝑋 𝐶 𝐼𝑅 𝑡𝑔 𝜑= 𝑋 𝐿 − 𝑋 𝐶 𝑅

44 XL > XC: circuito mais indutivo que capacitivo - 𝜑 é positivo;
- 𝐼 está atrasada em relação à ℇm­.

45 XC > XL: circuito mais capacitivo que indutivo - 𝜑 é negativo;
- 𝐼 está adiantada em relação à ℇm­.

46 XC = XL: circuito em ressonância
- 𝜑 = 0; - 𝐼 e ℇm­ estão em fase.

47 → Ressonância: Como visto, a amplitude da corrente pode ser descrita por: 𝐼= ℇ 𝑚 𝑅 𝜔 𝑑 𝐿−1/ 𝜔 𝑑 𝐶 2 Para uma resistência R qualquer, a amplitude 𝐼 é máxima quando o termo entre parênteses se anula: 𝜔 𝑑 𝐿= 1 𝜔 𝑑 𝐶 𝜔 𝑑 = 1 𝐿𝐶 Dessa forma, a frequência angular de excitação se torna igual à frequência angular natural do circuito, ou seja, ele entra em ressonância. 𝜔 𝑑 =𝜔= 1 𝐿𝐶

48 cskckskcksncksnkcn

49 EXEMPLO 6 Amplitude da corrente, impedância e constante de fase Na figura, R = 200 Ω, C = 15,0 μF, L = 230 mH, fd = 60,0 Hz e ℇm = 36,0 V (os valores dos parâmetros são os mesmos dos exemplos anteriores). a) Qual é a amplitude I da corrente? b) Qual é a constante de fase φ da corrente no circuito em relação à força eletromotriz aplicada?

50 ● POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA
A energia cedida por um gerador em um circuito é armazenada pelo capacitor e pelo indutor ou dissipada pelo resistor. Ao atingir o regime estacionário, a energia armazenada se mantém constante, assim a transferência líquida de energia ocorre do gerador para o resistor.

51 A potência dissipada pelo resistor é fornecida por:
𝑃=𝑖²𝑅= 𝐼𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) 2 𝑅=𝐼²𝑅𝑠𝑒𝑛² (𝜔 𝑑 𝑡−𝜑) O valor médio da energia dissipada é dada pelo valor médio da função sen²θ, que vale ½. Portanto, para a potência: 𝑃 𝑚é𝑑 = 𝐼²𝑅 2 = 𝐼 𝑅 O termo entre parênteses é denominado valor médio quadrático ou valor rms (root mean square) para a amplitude de corrente 𝐼: 𝐼 𝑟𝑚𝑠 = 𝐼 2

52 Para a potência média: 𝑃 𝑚é𝑑 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠 2 𝑅 De modo análogo, é possível deduzir o valor rms para a tensão alternada e para a força eletromotriz alternada: 𝑉 𝑟𝑚𝑠 = 𝑉 2 ℇ 𝑟𝑚𝑠 = ℇ 2

53 Instrumentos de medida, como os multímetros, são calibrados para fornecer os valores rms de corrente, tensão e força eletromotriz. Por exemplo, se um voltímetro é usado para medir a tensão de uma tomada CA em uma parede e fornece o resultado de 120 V, o valor máximo possível seria: 𝑉= 2 𝑉 𝑟𝑚𝑠 = 2 ∙120≅170 𝑉

54 Como o fator 1/ 2 se mantém igual para as variáveis rms, é possível reescrever também que:
𝐼 𝑟𝑚𝑠 = ℇ 𝑟𝑚𝑠 𝑍 Para a potência média: 𝑃 𝑚é𝑑 = 𝐼 𝑟𝑚𝑠 2 𝑅= ℇ 𝑟𝑚𝑠 𝑍 𝐼 𝑟𝑚𝑠 𝑅= ℇ 𝑟𝑚𝑠 𝐼 𝑟𝑚𝑠 𝑅 𝑍

55 Sendo o termo 𝑐𝑜𝑠𝜑 chamado de fator de potência.
Para o cosseno da constante de fase 𝜑, se tem de acordo com o gráfico que: 𝑐𝑜𝑠𝜑= 𝑉 𝑅 ℇ 𝑚 = 𝐼𝑅 𝐼𝑍 = 𝑅 𝑍 Logo: 𝑃 𝑚é𝑑 = ℇ 𝑟𝑚𝑠 𝐼 𝑟𝑚𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜑 Sendo o termo 𝑐𝑜𝑠𝜑 chamado de fator de potência. Assim a energia fornecida ao circuito RLC é maximizada quando a constante de fase se aproxima de zero.

56 EXEMPLO 7 Circuito RLC alimentado por uma fonte: fator de potência e potência média Um circuito RLC série, alimentado por uma fonte com ℇrms = 120 V e fd = 60,0 Hz, contém uma resistência R = 200 Ω, uma indutância com reatância indutiva XL = 80,0 Ω e uma capacitância com reatância capacitiva XC = 150 Ω. a) Determine o fator de potência cos φ e a constante de fase φ do circuito. b) Qual é a taxa média Pméd com a qual a energia é dissipada na resistência?

57 A energia é dissipada por: 𝑃 𝑚é𝑑 = ℇ 𝑟𝑚𝑠 𝐼 𝑟𝑚𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜑= 𝑉 𝑟𝑚𝑠 𝐼 𝑟𝑚𝑠
● TRANSFORMADORES Quando atinge o regime estacionário, a carga do circuito com corrente alternada se comporta como uma resistência pura. O fator de potência se torna, então, cos 0° = 1, e a força eletromotriz aplicada ℇ 𝑟𝑚𝑠 se torna igual a tensão Vrms. A energia é dissipada por: 𝑃 𝑚é𝑑 = ℇ 𝑟𝑚𝑠 𝐼 𝑟𝑚𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜑= 𝑉 𝑟𝑚𝑠 𝐼 𝑟𝑚𝑠 𝑃 𝑚é𝑑 =𝑉𝐼 * observação: nessa seção o livro omite o índice rms, pois subentende-se que os valores fornecidos pela fonte de corrente alternada são rms.

58 Desse modo, para sistemas de distribuição de energia, o produto 𝑉𝐼 deve ter o valor elevado, o que se obtém com grandes valores de 𝑉 e/ou com grandes valores de 𝐼. Adotou-se como padrão, e por medidas de segurança, que tanto nas usinas quanto nos circuitos residenciais o valor da tensão seja baixo enquanto a corrente se mantém alta. Já nas redes de distribuição ocorre o oposto. A energia é transmitida com alta rensão e baixa corrente, o que minimiza as perdas devido as resistências dos cabos de transmissão ( 𝑃 𝑚é𝑑 =𝐼²𝑅).

59 Desse modo, é necessário haver equipamentos que realizam a alteração dos valores de tensão e corrente entre a usina geradora até o consumidor final, tarefa desempenhada pelos transformadores.

60 → Transformador Ideal:
O transformador é formado por duas bobinas, com números de espiras diferentes, enroladas em lados opostos ao redor de um núcleo de ferro. O enrolamento primário possui NP espiras e está conectado à fonte de força eletromotriz alternada. Já o enrolamento secundário tem NS espiras e está ligado a um resistor R e a uma chave S.

61 O primário se comporta como uma indutância pura (circuito apenas com fonte e indutor). A corrente que circula no mesmo é chamada de corrente de magnetização 𝐼 𝑚𝑎𝑔 , a qual produz um fluxo magnético variável ΦB no núcleo de ferro, que o transfere até o secundário. O fluxo magnético variável induz uma força eletromotriz em cada espira do transformador: ℇ 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 = 𝑑 Φ 𝐵 𝑑𝑡

62 No primário, a tensão VP é fornecida por:
𝑉 𝑃 = 𝑁 𝑃 ℇ 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 → ℇ 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 = 𝑉 𝑃 𝑁 𝑃 Já para o secundário: 𝑉 𝑆 = 𝑁 𝑆 ℇ 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 → ℇ 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 = 𝑉 𝑆 𝑁 𝑆 Portanto: 𝑉 𝑆 𝑁 𝑆 = 𝑉 𝑃 𝑁 𝑃 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝑃 𝑁 𝑆 𝑁 𝑃 Transformação da Tensão

63 Desse modo, é possível elevar ou reduzir a tensão no secundário através do ajuste do número de espiras do primário e do secundário do transformador. Fechando-se a chave S do secundário, se tem que uma corrente 𝐼 𝑆 passa a circular pelo mesmo, sendo a potência dissipada pelo resistor R igual a : 𝑃= 𝐼 𝑆 ²𝑅= 𝑉 𝑆 2 𝑅

64 A potência fornecida pelo gerador ao primário é dada por: 𝑃= 𝑉 𝑃 𝐼 𝑃
𝑃= 𝑉 𝑃 𝐼 𝑃 A qual é recebida pelo secundário como: 𝑃= 𝑉 𝑆 𝐼 𝑆 De acordo com a lei de conservação de energia, se não há perdas no caminho: 𝐼 𝑃 𝑉 𝑃 = 𝐼 𝑆 𝑉 𝑆 𝐼 𝑆 = 𝐼 𝑃 𝑉 𝑃 𝑉 𝑆 Como 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝑃 𝑁 𝑆 𝑁 𝑃 : 𝐼 𝑆 = 𝐼 𝑃 𝑁 𝑃 𝑁 𝑆 Transformação da Corrente

65 A corrente 𝐼 𝑃 aparece no circuito por causa da carga resistiva R que atua no secundário. Sendo a corrente 𝐼 𝑆 do secundário: 𝐼 𝑆 = 𝑉 𝑆 𝑅 Para a corrente 𝐼 𝑃 : 𝐼 𝑆 = 𝐼 𝑃 𝑁 𝑃 𝑁 𝑆 → 𝐼 𝑃 = 𝐼 𝑆 𝑁 𝑆 𝑁 𝑃 = 𝑉 𝑆 𝑅 𝑁 𝑆 𝑁 𝑃 Como 𝑉 𝑆 = 𝑉 𝑃 𝑁 𝑆 𝑁 𝑃 : 𝐼 𝑃 = 1 𝑅 𝑁 𝑆 𝑁 𝑃 𝑉 𝑃 O termo destacado cumpre o papel de inverso da resistência equivalente do transformador (por analogia, 𝐼 𝑃 = 𝑉 𝑃 / 𝑅 𝑒𝑞 ): 𝑅 𝑒𝑞 = 𝑁 𝑃 𝑁 𝑆 2 𝑅

66 EXEMPLO 8 Transformador: relação de espiras, potência média, correntes rms Um transformador instalado em um poste funciona com VP = 8,5 kV do lado do primário e fornece energia elétrica a várias casas das vizinhanças com VS = 120 V; as duas tensões são valores rms. Suponha que o transformador seja ideal e a carga seja resistiva, o que significa que o fator de potência é unitário. a) Qual é a relação NP/NS do transformador? b) A potência média consumida (dissipada) nas casas atendidas pelo transformador é 78 kW. Quais são as correntes rms no primário e no secundário do transformador? c) Qual é a carga resistiva RS do circuito secundário? Qual é a carga correspondente RP do circuito primário?

67 Referências Halliday, Resnick e Walker
Referências Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, volume 3, Eletromagnetismo. 9ª edição, editora LTC, Rio de Janeiro, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou do banco de dados do google.