O jogo de Sperner Roberto Imbuzeiro Oliveira (IMPA)

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1 O jogo de Sperner Roberto Imbuzeiro Oliveira (IMPA)
PAPMEM de janeiro de 2018 (Baseado no artigo de Jaime Poniachik na RPM 33)

2 Tabuleiro com n casas (no caso n=8)
Que jogo é esse? Tabuleiro com n casas (no caso n=8)

3 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? A e B preenchem casas alternadamente

4 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? A A e B preenchem casas alternadamente

5 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? A B A e B preenchem casas alternadamente

6 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? A B A e B preenchem casas alternadamente

7 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? A B A e B preenchem casas alternadamente

8 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? A B A e B preenchem casas alternadamente

9 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? B A A e B preenchem casas alternadamente

10 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? B A A e B preenchem casas alternadamente

11 A e B preenchem casas alternadamente
Que jogo é esse? B A A e B preenchem casas alternadamente

12 “Explosões” (colisões AB ou BA) são contadas
Que jogo é esse? B A “Explosões” (colisões AB ou BA) são contadas

13 Que jogo é esse? B A A ganha se o número de explosões é ímpar
B ganha se o número de explosões é par

14 Que jogo é esse? B A Neste caso, B ganha

15 Que jogo é esse? B A Neste caso, A ganha

16 E aí, vamos jogar?

17 Alguém tem uma estratégia vencedora
Teorema: Considere um jogo de dois jogadores que se alternam para agir. Suponha que: o jogo não admite empates e não enolve sorte; o jogo sempre termina em no máximo k rodadas, para algum k; o número de alternativas disponíveis para cada jogador em cada lance é finito. Então um dos jogadores tem uma estratégia que o permite ganhar sempre, não importando o que o outro jogador faça.

18 Nosso objetivo a seguir
Entender qual dos jogadores tem estratégia vencedora. B A A ganha se o número de explosões é ímpar B ganha se o número de explosões é par

19 A grande pergunta De que modo eu posso forçar a paridade do número de explosões (colisões) a tomar o valor que eu quero?

20 E aí, vamos jogar mais um pouquinho?

21 Um resultado Teorema: Considere uma sequência finita composta pelas letras A e B. Então necessariamente vale a seguinte propriedade. Se as letras inicial e final coincidem, o número de explosões (ou colisões AB/BA) é par. Se as letras inicial e final diferem, o número de explosões é ímpar.

22 Quem se arrisca a demonstrar isso?

23 Demonstração Prova por indução no comprimento da sequência
Caso base: comprimento 1. Resultado trivialmente verdadeiro. Passo indutivo: suponha que o resultado vale até comprimento n-1. Como provar para comprimento n? Consideramos dois casos. A sequência só contem uma letra repetida n vezes (trivial) A sequência tem as duas letras (próximos slides)

24 Demonstração (II) Vamos supôr sem perda de generalidade que a sequência começa com A. Sabemos que ela também contém a letra B. Chame de x o número de explosões. O que acontece se retiramos o bloco inicial da letra A? AAABABABBB ABBBBBABAA

25 Demonstração (III) Propriedades da sobra: A…ABABAB…ABBA
tem comprimento menor que n (hipótese de indução se aplica); concorda no início e no fim se e somente se a original discorda; tem x-1 explosões. Concluímos: x-1 par se sobra concorda, ímpar se discorda (hip. Indução) Dito de outro modo: x par se sequência original concorda, ímpar se discorda, que é o que queríamos demonstrar.

26 Mas você ainda não respondeu quem tem estratégia vencedora!

27 A grande pergunta (e sua resposta)
De que modo eu posso forçar a paridade do número de explosões (colisões) a tomar o valor que eu quero? Resposta: Para o jogador A (que joga pelo ímpar) ganhar, ele precisa garantir que preencheu uma (e apenas uma) das pontas do tabuleiro. Como ele sempre pode fazer isso, ele tem uma estratégia vencedora.

28 Tentativa de estratégia vencedora para A
B ? A ganha se o número de explosões é ímpar Se B preenche uma ponta, A vai e preenche a outra

29 Tentativa de estratégia vencedora para A
B ? A A ganha se o número de explosões é ímpar Se B preenche uma ponta, A vai e preenche a outra

30 Tentativa de estratégia vencedora para A
B A Pdar problema é se no penúltimo e ultimo lances as pontas estão vagas. Mas isso tá OK também.

31 A estratégia vencedora
Estratégia: jogador A ganha se seguir a seguinte estratégia: ele preenche uma ponta do tabuleiro logo depois de B preencher a outra, ou então quando não houver mais jeito (só restar casa na ponta). Não depende do tamanho do tabuleiro, nem de quem joga primeiro.

32 O lema de Sperner

33 O Lema de Sperner Divida um trinângulo ABC em triângulos menores. Dê um “rótulo” A, B ou C para cada vértice da figura, de modo que vertices no segumento AB ganhem rótulo A ou B, e o mesmo para os outros segumentos BC, AC do triângul original. Sperner garante que algum triangulinho terá os rótulos ABC.

34 O Lema de Sperner Generaliza para dimensões mais altas (por exemplo, um tetraedro dividido em tetraedrinhos). Uma consequência é um teorema famoso. Ponto fixo de Brower: uma função continua f da esfera d-dimensional nela mesma necessariamente tem um ponto fixo (isto é, um x em seu domínio com f(x)=x).

35 Um problema para a tarde
Qual é a estragégia vencedora para um tabuleiro em forma de cruz?

36 Jogos e paridades Muitos problemas relacionados a jogos têm a ver com paridades. Veremos a seguir um exemplo adaptado da OBM 2005 em que o objetivo é achar obstruções para completer um jogo de paciência.

37 Alinhando dominós Dominós preenchidos com os números de 0 a n. Objetivo: alinhá-los numa sequência horizontal, de modo que, quando duas peças se tocam, os números coincide neste “local de toque”. Exemplo (n=2): [0|0] [0|1] [1|1] [1|2] [2|2] [2|0] Prove que não há alinhamento possível quando n=3,5,7,…

38 Alinhando dominós Dominós preenchidos com os números de 0 a n. Objetivo: alinhá-los numa sequência horizontal, de modo que, quando duas peças se tocam, os números coincide neste “local de toque”. Exemplo (n=2): [0|0] [0|1] [1|1] [1|2] [2|2] [2|0] Prove que não há alinhamento possível quando n=3,5,7,…

39 O papel das paridades Número de ocorrências do número j nas peças: n+2. De fato ele aparece nas peças de [j|k] com k=0,1,..,n, mas aparece duas vezes em [j|j] Invariante do alinhamento: exceto nas pontas, as ocorrências de j se dão em pares. Se n>2 e há alinhamento, pelo menos um j não ocorre nas pontas, logo n+2 é par.

40 Muito obrigado. Créditos das imagens: http://www-history. mcs. st-and