GEOMETRIA DESCRITIVA A

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Problemas Métricos Distância Resumo © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES - Distâncias
Os problemas métricos são situações que envolvem a determinação de alguma grandeza mensurável (distância ou ângulo). Por norma, trata-se da determinação da verdadeira grandeza. Para resolver estes problemas métricos é necessário a utilização dos métodos geométricos auxiliares, em particular o rebatimento e a mudança de diedro de projecção. Quando se refere à distância, entende-se que se trata da menor distância entre dois elementos.

3 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - via rebatimento do Segmento de Recta para um Plano Horizontal
A distância entre o ponto A e o ponto B é obtida com o rebatimento do segmento de recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o plano projectante horizontal do segmento de recta para um plano horizontal que passa por um dos pontos. Esta é talvez a mais fácil das variações do processo de rebatimento. Seria igualmente possível o rebatimento para um plano frontal. x xz xy fα A2 α A2 B2 (fυ) ≡ e2 O2 B2 O2 A (fυ) ≡ e2 O ≡ Or B ≡ Br x e A1 ≡ O1 ≡ Or V.G. Ar υ A1 ≡ O1 ≡ e2 Ar V.G. B1 ≡ Br B1 hα ≡ e1 e1

4 GENERALIDADES – Distância entre em Ponto e uma Recta
A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta perpendicular à recta dada. p r I d Nas diferentes situações, haverá a necessidade de recorrer a um ou outro elemento auxiliar (ponto, recta ou plano) para resolver o exercício. A

5 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RECTA
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA - geral 1 - Conduzir um plano ortogonal à recta dada, passando pelo ponto dado; 2 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano; 3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e a recta dada. ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta frontal ou horizontal Existe um processo mais simples que passa pela utilização do teorema das três perpendiculares, para medir este tipo de distância, que começa com a condução de uma recta perpendicular à recta dada, passando pelo ponto dado. ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta oblíqua Existe um processo alternativo que começa com o rebatimento do plano formado pelo ponto dado e a recta dada para um plano auxiliar (frontal ou horizontal) que contém o ponto dado. ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta de perfil Existe um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção, que permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal.

6 Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Método Geral
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f. Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, o plano α. fα ≡ e2 f2 Pr P1 P2 V.G. É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f. Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ. I1 I2 ≡ Ir x f1 ≡ (hφ) ≡ e1 Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal. hα

7 Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Teorema das Três Perpendiculares
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f. Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples. Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P. p2 ≡ e2 f2 Pr P1 P2 V.G. É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f. Para obter a V.G., é utilizado a rotação do segmento de recta [PI] para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta frontal, perpendicular à recta f e passando pelo ponto I. I1 I2 ≡ Ir x f1 ≡ (hφ) ≡ e1 Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal. p1

8 Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Método Geral
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r. fθ r2 F1 F2 Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, utilizando uma recta frontal do plano que passa por P e é ortogonal à recta r. fα f2 P1 P2 Ir V.G. ≡ Pr I1 I2 i2 e2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta r. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta r. É utilizado um plano auxiliar projectante θ, que contém a recta r. Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ. x H1 H2 H’1 H’2 f1 ≡ (hφ) ≡ e1 r1 ≡ hθ ≡ i1 hα

9 Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r. Br1 B1 B2 Ir rr V.G. r2 É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta r para o plano frontal φ que contém o ponto P. A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta r. B é um qualquer ponto da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Pr e a recta rr. Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I. e2 A1 A2 ≡ Ar P1 P2 ≡ Pr Br I1 I2 x (hφ) ≡ e1 r1

10 Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p, um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g, que passa pelo ponto A. O plano de perfil π é o plano que contém p. A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’. A’ é o ponto de intersecção de π com a recta g, que contém A. O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com fπ como charneira. M2 pr Mr ir Ir1 N2 e’2 V.G. Nr I2 Ir g2 A2 A’2 A’r ≡ Ar (e1) x ≡ hπr I1 N1 g1 ≡ (hφ) ≡ e’1 A1 A’1 A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante frontal de [AI] para o plano frontal φ que contém o ponto A. M1

11 Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Mudança de Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p. p1 ≡ p2 x’ 4 1 M2 A mudança de diedro de projecção permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal, consoante a opção, que neste caso será frontal. r2 N2 I2 (fυ) ≡ e2 A1 A2 2 1 I4 é obtido via uma recta (r) perpendicular entre o ponto A4 e a recta p4. Depois é seguido um processo invertido de mudança de diedros de projecção para obter I1, I2, r1 e r2. Os pontos I e A são rebatidos para obter a V.G. x Ir N1 N4 V.G. r4 I4 I1 A4 p4 ≡ Ar r1 ≡ e1 M1 M4

12 GENERALIDADES - Distância entre em Ponto e um Plano
A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano). p A d α I

13 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO
ENTRE UM PONTO E UM PLANO - geral 1 - Conduzir uma recta ortogonal ao plano dado, passando pelo ponto dado; 2 - Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado; 3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e o plano dado. ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano projectante Processo sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante. ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano não projectante Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.

14 Distância entre um Ponto e um Plano Projectante
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M. fα É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal. p2 M1 M2 I1 I2 x V.G. A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M1I1. p1 hα

15 Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A. Ar fθ p2 ≡ e2 fα V.G. A1 A2 i2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. F1 F2 I1 I2 ≡ Ir x H1 H2 (hφ) ≡ e1 A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. p1 ≡ hθ ≡ i1 hα

16 GENERALIDADES - Distância entre dois Planos
A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos. α δ p A d B

17 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS
ENTRE DOIS PLANOS - geral 1 - Conduzir uma recta ortogonal aos dois planos dados; 2 - Determinar os pontos de intersecção da recta ortogonal com os planos dados; 3 - A distância entre os pontos de intersecção é a distância entre os planos dados. ENTRE DOIS PLANOS – planos projectantes Processo sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante. ENTRE DOIS PLANOS – planos não projectante Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante. ENTRE DOIS PLANOS – planos de rampa Existe um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção.

18 Distância entre Dois Planos Projectantes
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fα p2 fδ Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos. A1 A2 V.G. B1 B2 x A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A2B2. p1 hα hδ

19 Distância entre Dois Planos Oblíquos
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fγ fα p2 fθ i’2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p. F1 F2 B1 B2 (fυ) ≡ e2 i2 A1 A2 x H’1 H’2 H1 H2 ≡ Ar A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. V.G. p1 ≡ hγ ≡ i1 ≡ i’1 ≡ e1 Br hα hθ

20 Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ hπr Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p. Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento. fσ F’2 fρ F2 B2 A2 H2 ≡ F1 ≡ F’1 ≡ (e2) x ≡ fπr Fr F’r Ar A1 V.G. ir B1 Br i’r hρ H1 ≡ Hr ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. pr hσ

21 Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. x’ 2 4 p1 ≡ p2 São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a hρ, vai permitir determinar h4ρ, que passa por P4 e é concorrente com fρ no eixo x’. fσ p4 fρ B2 V.G. B4 A2 A4 h4σ P1 P2 2 1 P4 x h4ρ A4B4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção. Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A1 B1 hρ hσ