Maria Augusta Constante Puget (Magu)

Maria Augusta Constante Puget (Magu)
Mecânica – Aula 4 Maria Augusta Constante Puget (Magu)

Vetor Posição (1) Para descrever o movimento de uma partícula no espaço é necessário inicialmente descrever a posição da mesma. Consideremos uma partícula que está em um ponto P em um dado instante. O vetor posição 𝑟 da partícula neste instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P.

Vetor Posição (2) As coordenadas cartesianas do ponto P são as componentes x, y e z do vetor. Assim: 𝑟 =𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌

Vetor Posição (3) Vamos supor agora que a partícula esteja em movimento. O vetor posição passa a ser então uma função do tempo, que descreve o movimento da partícula: 𝑟(𝑡) =𝑥(𝑡)𝒊+𝑦(𝑡)𝒋+𝑧(𝑡)𝒌

Vetor Posição (4) Se o ponto inicial do vetor posição permanece fixo na origem do sistema de eixos coordenados, o ponto final vai traçando uma curva, que é a trajetória da partícula. Ao lado, temos vetores posição de uma partícula em três instantes diferentes e temos também a trajetória da partícula.

Vetor Deslocamento (1) ∆ 𝑟 = 𝑟 2 − 𝑟 1
Consideremos uma partícula que, em seu movimento, passe por um ponto P1 e depois por um ponto P2, como se vê ao lado. O vetor deslocamento da partícula, de P1 até P2 , é o vetor definido pela seta com ponto inicial em P1 e ponto final em P2. O vetor deslocamento Δ 𝒓 da posição P1 até P2 é igual à diferença entre o vetor posição 𝑟 2 e o vetor posição 𝑟 1 : ∆ 𝑟 = 𝑟 2 − 𝑟 1

Vetor Deslocamento (2) Dados dois vetores posição:
𝑟 2 = 𝑥 2 𝒊+ 𝑦 2 𝒋+ 𝑧 2 𝒌 então, em termos das componentes desses vetores, o vetor deslocamento é escrito como: ∆ 𝑟 = 𝑟 2 − 𝑟 1 ∆ 𝑟 = 𝑥 2 − 𝑥 1 𝒊+ 𝑦 2 − 𝑦 1 𝒋+ 𝑧 2 − 𝑧 1 𝒌 ∆ 𝑟 =∆𝑥𝒊+∆𝑦𝒋+∆𝑧𝒌 ou seja, o vetor deslocamento é a soma dos vetores deslocamentos nas direções dos eixos OX, OY, OZ.

Vetor Velocidade Média (1)
A razão entre o deslocamento vetorial e o tempo gasto para realizá-lo é chamada de velocidade vetorial média (ou vetor velocidade média) da partícula no intervalo de tempo em que ocorreu o deslocamento: 𝑣 𝑚 = 𝑟 2 − 𝑟 1 𝑡 2 − 𝑡 1 = ∆ 𝑟 ∆𝑡 Deve-se notar que o vetor velocidade média é o produto de um número sempre positivo (1/t) pelo vetor deslocamento ∆ 𝑟 . Portanto, é um vetor com a mesma direção e sentido de ∆ 𝑟 .

Vetor Velocidade Instantânea (1)
A velocidade instantânea é definida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, sendo igual à taxa de variação do vetor posição com o tempo: 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑟 ∆𝑡 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡

No limite em que Δt → 0 , o ponto P’ tende para o ponto P e a reta secante que passa por P e P’ tende para a reta tangente à trajetória no ponto P. Portanto, nesse limite, a velocidade instantânea tem a direção da reta tangente à trajetória no ponto P, isto é, o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra.

O vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra. Nesta figura temos indicada a velocidade instantânea com que a partícula passa por vários pontos de sua trajetória.

A velocidade instantânea pode ser escrita em termos de suas componentes como: 𝑣 = 𝑑 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝒊+ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝒋+ 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝒌 Assim: 𝑣 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑣 𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡

Velocidade Escalar (1) O módulo da velocidade instantânea, isto é, a velocidade escalar, é dada pelo Teorema de Pitágoras: 𝑣 = ( 𝑣 𝑥 ) 2 +( 𝑣 𝑦 ) 2 +( 𝑣 𝑧 ) 2 Se a partícula estiver se movendo no plano, então o vetor posição e o vetor velocidade têm apenas dois componentes (z e vz são nulos) e então: 𝑣 = ( 𝑣 𝑥 ) 2 +( 𝑣 𝑦 ) 2

Vetor Aceleração (1) Uma vez que a velocidade de uma partícula é uma grandeza vetorial, ela possui, em cada instante, um módulo, uma direção e um sentido. Basta que apenas uma entre essas três quantidades varie com o passar do tempo para que a velocidade varie com o tempo. No caso particular em que o módulo da velocidade permanece constante, dizemos que ela se move num movimento uniforme. Entretanto, um movimento uniforme não é necessariamente retilíneo, como, por exemplo, o movimento circular uniforme.

Vetor Aceleração (2) Analogamente ao caso do movimento retilíneo, a aceleração indica como a velocidade de uma partícula está variando. Porém, agora, vamos generalizar o conceito de aceleração para incluir tanto: Variações do módulo da velocidade (isto é, da velocidade escalar), como... Variações da direção da velocidade (isto é, da direção e do sentido do movimento no espaço).

Vetor Aceleração Média (1)
Suponha que em um instante t1 uma partícula esteja na posição r(t1) com velocidade v(t1) e, em um instante posterior t2, ela esteja na posição r(t2) com velocidade v(t2).

A razão entre a variação da velocidade vetorial da partícula e o tempo gasto para ocorrer tal variação é chamada de aceleração vetorial média (ou vetor aceleração média) da partícula no intervalo de tempo[t1, t2]: 𝑎 𝑚 = 𝑣 2 − 𝑣 1 𝑡 2 − 𝑡 1 = ∆ 𝑣 ∆𝑡

A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido do vetor ∆ 𝑣 : 𝑣 1 𝑣 2 ∆ 𝑣

Vetor Aceleração Instantânea (1)
Como no movimento retilíneo, a aceleração instantânea 𝑎 no ponto P1 é o limite da aceleração média quando o ponto P2 se aproxima do ponto P1 e t tende a zero: 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑣 ∆𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 A aceleração instantânea é, assim, a taxa de variação da velocidade com o tempo.

Vetor Aceleração Instantânea (2)
A aceleração instantânea pode ser escrita em termos de suas componentes como: 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 𝒊+ 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 𝒋+ 𝑑 𝑣 𝑧 𝑑𝑡 𝒌 Assim: 𝑎 𝑥 = 𝑑 𝑣 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 𝑎 𝑦 = 𝑑 𝑣 𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑡 2 𝑎 𝑧 = 𝑑 𝑣 𝑧 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑧 𝑑 𝑡 2

Componentes da Aceleração Vetorial Instantânea (1)
A aceleração vetorial, em um determinado ponto de uma trajetória, pode sempre ser expressa como a soma de duas componentes: Uma denominada aceleração tangencial, sempre tangente à trajetória, responsável pela variação do módulo do vetor velocidade. Outra, perpendicular à trajetória, chamada de aceleração centrípeta, responsável pela variação da direção do vetor velocidade.

Características da componente tangencial da aceleração Mede a rapidez com que o módulo do vetor velocidade varia. Direção sempre tangente à trajetória. Sentido igual ao do vetor velocidade se o movimento for acelerado; se o movimento for retardado, o sentido é contrário ao do vetor velocidade. Tem módulo nulo nos movimentos uniformes.

Características da componente centrípeta da aceleração Mede a rapidez com que a direção do vetor velocidade varia. Possui direção radial e aponta sempre para o centro da trajetória. Possui módulo dado por acp = v2/R, em que v é a velocidade instantânea e R é o raio da trajetória descrita pelo móvel. Nos movimentos retilíneos, a direção do vetor velocidade não varia, portanto a aceleração centrípeta é nula.

Determinando o vetor aceleração As componentes tangencial e centrípeta são perpendiculares entre si. Sendo assim, podemos fazer uso do Teorema de Pitágoras para escrever:

Tipo de Movimento Acelerações MU at = 0, acp = 0 MUV at  0, acp = 0 MCU at = 0, acp  0 MCUV at  0, acp  0

Movimento Circular Uniforme (1)
Na figura acima temos um MCU definido por um círculo de raio r. Colocamos a origem do eixo de coordenadas no centro do círculo. Assim, a posição instantânea P da partícula é dada pelo vetor 𝑟 = 𝑂𝑃 . Definido o eixo de coordenadas, podemos decompor o vetor 𝑟 em termos dos vetores unitários i e j como: 𝑟 = rcosθ i + rsinθ j

Como o raio é fixo, a posição instantânea da partícula é definida por apenas uma variável: o ângulo θ entre o eixo x e o vetor deslocamento 𝑟 = 𝑂𝑃 . Como a posição da partícula está variando com o tempo e é determinada pelo ângulo θ, este ângulo é uma função do tempo, θ(t). Analogamente ao MRU, podemos escrever: θ(t) = θ0 + (t-t0) aonde:  = dθ/dt é a velocidade angular do movimento.

No SI, ângulos são medidos em radianos (rad) e a velocidade angular é expressa em unidade de rad/s. Definição de Radiano Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do referido círculo. Radiano: os comprimentos das linhas azul e vermelha são iguais.

Assim, com o ângulo θ medido em radianos, podemos escrever: s(t) = r θ(t) aonde s(t) nos fornece o comprimento do trajeto percorrido pela partícula durante um dado intervalo de tempo. Derivando esta equação de ambos os lados com relação a t, obtemos: ds dt =r dθ dt v = r

A equação: v = r nos diz que, em um disco em rotação uniforme (por exemplo, um disco de vinil numa vitrola), a velocidade tangencial cresce linearmente com a distância ao centro, sendo nula no centro e máxima na periferia.

Outra característica importante de um MCU é que este é periódico. O período T do movimento é definido como o tempo que uma partícula leva para percorrer uma volta completa ao redor do círculo. Como a partícula se move com o módulo da velocidade constante v, o tempo total para percorrer o círculo de perímetro 2π r é: 𝑇= 2𝜋𝑟 𝑣

O inverso do período chama-se frequência, definida como: 𝑓= 1 𝑇 A frequência nos fornece o número de rotações por unidade de tempo. No SI, a unidade de período é o segundo, e a unidade de frequência é o inverso do segundo, s–1. Essa unidade é conhecida como hertz (Hz), em homenagem a Heinrich Rudolf Hertz. Uma outra unidade de frequência muito utilizada é a rpm (revoluções por minuto). Heinrich Rudolf Hertz (Hamburgo, 22/Fev/ Bonn, 1/Jan/1894), ilustre físico alemão, demonstrou a existência da radiação eletromagnética, criando aparelhos emissores e detetores de ondas de rádio. Pôs em evidência, em 1888, a existência das ondas eletromagnéticas imaginadas por James Maxwell em 1873.

Podemos escrever a velocidade angular em termos do período e da frequência, portanto, como: 𝜔= 2𝜋 𝑇 =2𝜋𝑓

No movimento em 2 ou 3 dimensões a definição de aceleração instantânea nos diz que pode existir aceleração diferente de zero quando houver qualquer variação do vetor velocidade incluindo: Apenas variação da direção deste vetor, sem variação da velocidade escalar. Isto é o que ocorre no MCU: Embora o módulo da velocidade escalar não varie, a sua direção varia. E se há variação de velocidade, há aceleração.

Isto significa que a aceleração não pode ter nenhuma componente paralela (tangencial) à trajetória, pois se tivesse, a velocidade escalar seria variável. Logo: 𝑎 𝑇 =0 Portanto, a aceleração possui apenas uma componente perpendicular à trajetória, responsável por produzir uma variação na direção da velocidade.

A esta componente, denominamos aceleração centrípeta (do grego: que se dirige para o centro). Ela é dada por: 𝑎 𝐶 = 𝑣 2 𝑟 Observamos que, sendo constante o raio da revolução, a aceleração é proporcional ao quadrado da velocidade e, para uma dada velocidade, a aceleração é inversamente proporcional ao raio. Observe que o valor de aC é proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio da circunferência. Portanto, se um automóvel faz uma curva “fechada” (r pequeno) com grande velocidade, ele terá uma grande aceleração centrípeta.

Se fizermos girar uma pedra presa a um fio, sentiremos nitidamente o esforço muscular que este exercício requer. Isto poderia causar alguma admiração: a pedra não está se deslocando com velocidade constante? O fato é que isso não é verdade. A pedra gira com uma velocidade cujo módulo permanece constante, mas a variação contínua da direção dessa velocidade torna o movimento do tipo ‘acelerado’. O esforço que sentimos é aquele necessário para desviar a pedra da trajetória retilínea que ela tende a tomar, por inércia. Estamos, ao gira-la, dando constantes ‘puxões’ para dentro da curva. É disso que vem a necessidade da aceleração V2/r que calculamos. Segundo a lei de Newton, a força deve ter a mesma orientação que a aceleração. Como nossos ‘puxões’ são ‘para dentro da curva’, mais uma vez concluímos que essa aceleração é radial e tem um sentido apontando para o centro da curva.

Movimento Circular Uniforme - Aplicações(1)
Navegam em órbita equatorial, a 36 mil km de altitude, com rotação completa a cada 24 horas. Visto do solo, parecem estar fixos sobre certo ponto. São usados em transmissões de comunicação e de dados. Serviços de satélites também servem para previsão do tempo, monitoramento da ocupação urbana, fiscalização ambiental, controle do espaço aéreo, vigilância de fronteira e sistemas de navegação civil e militar.

Movimento Circular Uniforme - Aplicações(2)
Para ser estacionário em relação à Terra, o satélite deve ter a mesma velocidade angular desta: 𝜔= 2𝜋 𝑇 = 2𝜋 24ℎ 𝜔= 𝜋 12 𝑟𝑎𝑑/ℎ O conjunto de satélites geoestacionários brasileiros chama-se Brasilsat, sendo operados pela Star One, que é uma subsidiária da Embratel.

Acoplamentos de Polias e Engrenagens (1)
É possível efetuar a transmissão de movimento circular uniforme entre duas rodas, dois discos ou duas polias empregando dois procedimentos básicos: Ligando-os por uma correia ou corrente. Colocando-os em contato, através de engrenagens. Isto é de grande utilidade na construção de aparelhos ou veículos, como relógios, bicicletas, automóveis, etc.

Na transmissão por contato há inversão no sentido do movimento, ao passo que na transmissão por correia, isto não ocorre.

Em ambas as situações, as velocidades lineares dos pontos periféricos das duas rodas, têm o mesmo módulo. Assim, considerando-se os pontos A e B destacados nas duas figuras, tem- se: Obs: No caso das polias ligadas por correias pressupõe-se a situação ideal em que a correia é inelástica e não há escorregamento entre os corpos das polias e a correia.

Exemplo: Se trabalhamos com polias de raios de 25 cm e 5 cm respectivamente, quantas rotações por minuto conseguiríamos obter na polia B, se a polia maior (A) girar a 1000 rpm? Observe que é possível projetar sistemas que reduzam ou ampliem o número de rotações utilizando as polias (ou as engrenagens). É isso que acontece em inúmeras aplicações tecnológicas. Resolução: fa . Ra = fb . Rb = fb . 5 fb = 5000 rpm

As mudanças de marcha de uma bicicleta são feitas por meio de um sistema de transmissão constituído de pedais, coroas, catracas e corrente. As coroas são acionadas pelos pedais e as catracas estão acopladas à roda traseira. Assim, uma bicicleta com várias marchas é uma bicicleta dotada de várias catracas e coroas, sendo que cada uma das coroas pode ser ligada a cada uma das catracas, proporcionando, assim, combinações diferentes.

Na figura, tem-se 2 coroas e 5 catracas. Cada coroa pode ser ligada a uma catraca, resultando em 2 X 5 = 10 possibilidades. Cada uma dessas possibilidades constitui uma marcha da bicicleta. A mudança de marchas é feita por meio de alavancas existentes no guidão da bicicleta.

Consideremos a coroa de raio Rco girando com velocidade angular co. A catraca a ela ligada, de raio Rca, adquire velocidade angular ca. Tem-se: co Rco= ca Rca  ca= co Rco Rca Dessa relação, deve-se notar que, para que a bicicleta se desloque com a maior velocidade possível, ou seja, para que a velocidade angular da catraca (e, portanto, da roda traseira), ca, tenha o maior valor possível, devemos ligar a catraca de menor raio (Rca) à coroa de maior raio (Rco). Inversamente, a marcha de menor velocidade é obtida ligando-se a catraca de maior raio à coroa de menor raio.

As engrenagens têm ampla aplicação na indústria mecânica. São discos dentados que podem ser feitos de diversos metais ou ligas resistentes (para serviços mais pesados, como máquinas, câmbios e motores) ou de plástico (para usos mais leves, como em relógios de parede, por exemplo). Por meio da combinação de engrenagens de diferentes características, é possível transmitir movimentos e ampliar ou reduzir forças.

Há 5 tipos distintos de engrenagens que atuam para cada necessidade: Cilíndricas Retas: Dentes paralelos aos eixos de rotação. Muito utilizadas na transmissão entre eixos paralelos. São as mais baratas. Cilíndricas Helicoidais: Também são produzidas na forma cilíndrica, porém os seus dentes são dispostos de modo transversal e em maneira de hélice em relação ao eixo de transmissão. Além de poderem ser usadas paralelamente à outra engrenagem, podem também ser usadas em quaisquer outras angulações. Normalmente dispõem-se em 60° ou 90º. Cilíndrica Reta Cilíndrica Helicoidal

Cônicas: Seu nome é explicado pela sua forma, que é um tronco de cone. Com uma estrutura inclinada, pode fazer a transmissão entre eixos que estejam a 90º de inclinação. Seus dentes são de formato também cônico, o que torna a sua fabricação um tanto quando complicada e dificulta sua montagem. Parafuso sem fim: Nesta engrenagem o movimento circular gerado pelo parafuso, movimenta uma coroa ou um pinhão teoricamente sem fim, pois ao contrário de mover a contra parte, ela gira, mantendo movimento circular. Cônica Parafuso sem Fim

Cremalheira: Com uma coroa de diâmetro infinito, ou seja, que não se fecha, transforma um movimento rotacional em um movimento retilíneo, de translação. O movimento contrário também pode acontecer. Muito usado para esteiras. De fácil fabricação.

Um trem de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais engrenagens. Um par de engrenagens é a forma mais simples de se conjugar engrenagens e é frequentemente utilizada a redução máxima de 10:1. Trens de engrenagens podem ser: Simples. Compostos. Planetárias.

Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas um eixo para cada engrenagem. A relação entre as duas velocidades é dada pela equação: Em um jogo de engrenagens com 5 engrenagens em série, a equação para a relação de velocidades é: No caso de trens simples, o valor numérico de todas as engrenagens menos a primeira e a última são cancelados. As engrenagens intermediárias apenas influem no sentido de rotação da engrenagem de saída. Se houver um número par de engrenagens o sentido de rotação da última será oposto ao da primeira. Havendo um número impar de engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É interessante notar que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada para modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na velocidade, atuando como intermediária.

Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se utilize trens de engrenagens compostos. O trem composto se caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual existem mais de uma engrenagem.

Devido a analogia com o sistema solar, este tipo de trem de engrenagens é frequentemente chamado de trem de engrenagens planetárias (TEP). A engrenagem central é chamada de solar e, as engrenagens que giram em torno dela, são chamadas de planetas. Quase sempre se utiliza, também, uma engrenagem de dentes internos em torno do TEP, onde os planetas também se engrenam. Esta é chamada de anular, semelhante a um anel. São utilizados em aplicações aeroespaciais e em helicópteros, além do uso automotivo como diferencial e caixa de transmissão automática.

Acoplamentos de Polias e Engrenagens Exemplos (1)

Movimento Circular Uniformemente Variado (1)
Aceleração angular: Função horária angular: Função velocidade angular: Equação de Torricelli:

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