Profa. Dra. Andreia Adami

Apresentação em tema: "Profa. Dra. Andreia Adami"— Transcrição da apresentação:

1 Profa. Dra. Andreia Adami deiaadami@terra.com.br
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE0130 – Cálculo Diferencial e Integral Profa. Dra. Andreia Adami

2 Limite Limites laterais: O estudo dos limites laterais consiste no estudo do comportamento das funções quando os valores de x aproximam-se de um determinado valor pela direita (x a+ ) ou pela esquerda (x a- ) Notação: Limite lateral à esqueda: lim 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) Limite lateral à direita e lim 𝒙→𝒂+ 𝒇(𝒙) Obs. Todas as propriedades vistas anteriormente são válidas

3 Limite Exemplo: Calcule: e
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 +𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 <𝟐 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙=𝟐 − 𝒙 𝟐 + 𝟗 𝒔𝒆 𝒙>𝟐 lim 𝒙→𝟐+ 𝒇(𝒙) lim 𝒙→𝟐− 𝒇(𝒙)

4 Limite Exemplo: Calcule: e
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟔, 𝒔𝒆 𝒙<𝟐 − 𝒙 𝟐 +𝟒𝒙−𝟐, 𝒔𝒆 𝒙≥𝟐 lim 𝒙→𝟐+ 𝒇(𝒙) lim 𝒙→𝟐− 𝒇(𝒙)

5 Relação entre limites e limites laterais
Teorema: seja f(x) uma função com domínio Df. Então, se f(x)=L, se e semente se, os limites laterais x a existirem, então: lim 𝒙→𝒂− 𝒇(𝒙) = lim 𝒙→𝒂+ 𝒇 𝒙 =𝑳

6 Limite Exemplo: Verifique se existe lim 𝒙→𝟏 𝒇(𝒙)
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝑠𝑒 𝑥<1 3𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥1 Obs. Usando o teorema anterior basta calcular os limites laterais e ver se resultam no mesmo valor lim 𝒙→𝟏 𝒇(𝒙)

7 Limite Solução: lim 𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→1+ (3𝑥)= 3
Portanto, como: lim 𝑥→1+ 𝑓 𝑥 ≠ lim 𝑥→1− 𝑓 𝑥 Dizemos que o limite não existe

8 Limite Exercícios: Verifique se os limites existem e faça o esboço gráfico a) lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑥+1, 𝑥<1 −2𝑥+4, 𝑥≥1 b) lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓 𝑥 = 2𝑥+3, 𝑥<1 2, 𝑥=1 7−2𝑥, 𝑥>1 c) lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝑥≤2 8−2𝑥, 𝑥>2

9 Limite Limites no infinito: (𝑥→+∞) 𝑜𝑢(𝑥→−∞)
Considere a função f(x) definida por: 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 2 𝑥 2 +1 Df = {𝑥∈𝑅/−∞<𝑥<+∞} Obs. Veja que não há restrições no domínio pois x 2 +1 nunca será 0. Fazer o gráfico da função

10 Limite Limites no infinito:
Podemos perceber, tanto pela tabela quanto pelo gráfico, que a medida que x cresce ilimitadamente, (x→+∞) ou decresce ilimitadamente (x→−∞), os valores da função f(x) se aproximam cada vez mais do valor 2 Assim, usando a notação de limites podemos escrever: lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→+∞ 2 𝑥 2 𝑥 2 +1 =2 e, lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−∞ 2 𝑥 2 𝑥 2 +1 =2

11 Limite Exercício Calcular , de forma intuitiva o limite da função e esboçar seu gráfico: lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→+∞ 2𝑥+1 5𝑥+2 e, lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→−∞ 2𝑥+1 5𝑥+2

12 Limite Resultados como: 0 0 , c 0 , −∞ −∞ , +∞ +∞ , +∞ −∞ , −∞ +∞ ,
São considerados no cálculo de limites como indeterminações, e precisamos de artifícios para resolver essas indeterminações, como fizemos na aula anterior, quando resolvemos a indeterminação do tipo com o uso da fatoração.

13 Limite Para resolver, lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→+∞ 2𝑥+1 5𝑥+2 = +∞ +∞
Precisaremos da seguinte propriedade: Propriedade: Para todo numeral natural n e para todo b ∈R+ , temos: lim 𝑥→+∞ 𝑏 𝑥 𝑛 =0 𝑒, lim 𝑥→−∞ 𝑏 𝑥 𝑛 =0

14 Limite O artifício que usaremos consiste em identificar na função (numerador e denominador) a variável x de maior potência e dividir todos os termos da função por este 𝑥 𝑛 . Exemplo: lim 𝑥→−∞ 2 𝑥 2 −𝑥+3 𝑥 3 −8𝑥+5 = +∞ −∞

15 lim 𝑥→−∞ 2 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 𝑥 3 + 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 − 8𝑥 𝑥 3 + 5 𝑥 3 =
Limite Solução: lim 𝑥→−∞ 2 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 3 𝑥 3 − 8𝑥 𝑥 𝑥 3 =

16 Limite Solução: lim 𝑥→−∞ 2 𝑥 − 1 𝑥 𝑥 3 1− 8 𝑥 𝑥 3 = 0 1 =0

17 Limite O artifício que usaremos consiste em identificar na função (numerador e denominador) a variável x de maior potência e dividir todos os termos da função por este 𝑥 𝑛 . Exemplo: lim 𝑥→+∞ 𝑥+7 5𝑥 2 −8 = +∞ +∞

18 Limite Exemplo: lim 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 2 𝑥 2 − 8 𝑥 2 =

19 Limite Exemplo: lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 + 7 𝑥 2 5− 8 𝑥 2 = 0 5

20 Limite Exemplo: lim 𝑥→+∞ 3𝑥 4 −7 𝑥 𝑥 4 +1 =

21 Limite Exemplo: lim 𝑥→−∞ 3𝑥 4 𝑥 4 − 7 𝑥 2 𝑥 𝑥 𝑥 4 𝑥 𝑥 4 =

22 Limite Exemplo: lim 𝑥→−∞ 3− 7 𝑥 𝑥 𝑥 4 = 3 2

23 Limite Exercícios: a) lim 𝑥→+∞ 3+5 𝑥 3 𝑥 3
b) lim 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥 4 +5 𝑥 3 +𝑥+2 c) lim 𝑥→−∞ 2𝑥+3 3𝑥+2 d) lim 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥−1 e) lim 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥 99 𝑥 101 − 𝑥 100