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Extremos Absolutos em Intervalos Infinitos ou Abertos
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Otimização Extremos absolutos em intervalos infinitos
Observamos anteriormente que, em um intervalo infinito, uma função contínua pode ou não ter extremos absolutos Porém, certas conclusões sobre a existência de extremos absolutos de uma função contínua 𝑓 em −∞,∞ podem ser deduzidas do comportamento de 𝑓(𝑥) quando 𝑥→−∞ e 𝑥→∞
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Otimização Extremos absolutos em intervalos infinitos Exemplos
O que pode ser dito sobre a existência de extremos absolutos de polinômios em −∞,∞ ? Determine por inspeção se 𝑝(𝑥) = 3 𝑥 𝑥 3 tem extremos absolutos. Se tiver, encontre- os e mostre onde ocorrem
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Otimização Extremos absolutos em intervalos abertos
Comportamento similar a (−∞,∞) Uma função contínua pode ou não ter extremos absolutos em um intervalo aberto Porém, certas conclusões podem ser tiradas do comportamento de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 → 𝑎 + e 𝑥→ 𝑏 − , ou em intervalos do tipo (𝑎,∞), (−∞,𝑏)
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Otimização Extremos absolutos em intervalos abertos Exemplo
Determine se 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 −𝑥 tem algum extremo absoluto em 0,1
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Otimização Extremos absolutos de funções com um único extremo relativo
Suponha que 𝑓 tem um máximo relativo em um 𝑥 0 de um intervalo e nenhum outro extremo relativo nesse intervalo Se 𝑓(𝑥 0 ) não for o máximo absoluto nesse intervalo, então o gráfico deve fazer uma virada para cima em algum ponto do intervalo para subir acima de 𝑓(𝑥 0 ) Mas se isso ocorrer, então, 𝑥 0 não é o único extremo relativo no intervalo Assim, 𝑓(𝑥 0 ) deve ser o máximo absoluto, além de ser um máximo relativo
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Otimização Extremos absolutos de funções com um único extremo relativo
Teorema: suponha que 𝑓 seja contínua e tenha exatamente um extremo relativo em um intervalo, digamos em 𝑥 0 Se 𝑓 tiver um único mínimo relativo em 𝑥 0 , então 𝑓( 𝑥 0 ) é o valor mínimo absoluto de 𝑓 no intervalo Se 𝑓 tiver um único máximo relativo em 𝑥 0 , então 𝑓( 𝑥 0 ) é o valor máximo absoluto de 𝑓 no intervalo.
