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Raciocínio Lógico Matemático

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Apresentação em tema: "Raciocínio Lógico Matemático"— Transcrição da apresentação:

1 Raciocínio Lógico Matemático
Unidade 1: Conceitos básicos de matemática diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Seção 1.1 Razão e proporção diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Razão De modo geral, uma razão e apresentada como: 𝑥 𝑦 , com 𝑦≠0. Está razão se lê como: “𝑥 está para 𝑦” Dessa forma, a comparação entre duas grandezas numéricas, através de uma divisão, chama-se razão. O quociente é o resultado da sua divisão, e pode ser apresentada conforme exemplo: Exemplo: três está cinco (ou três quintos) é igual: 3:5 𝑜𝑢 𝑜𝑢 0,6 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Razão – exemplo 1 Considerando que 50 alunos prestaram o vestibular de meio de ano da Faculdade AA, e destes, 20 alunos foram aprovados, pergunta-se: Qual a razão dos candidatos aprovados no vestibular? E dos reprovados? Resolução: 20 50 = 2 5 =0,4 (dois quintos dos candidatos foram aprovados) 30 50 = 3 5 =0,6 (três quintos dos candidatos foram reprovados) diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Razão – exemplo 2 Em uma loja, para cada pagamento realizado com dinheiro, são realizados 6 pagamentos com cartão de crédito. Pede-se para escrever a razão entre a quantidade de pagamentos efetuados com dinheiro e o total de pagamentos: Resposta: Perceba que de cada 7 pagamentos, temos um efetuado com dinheiro e 6 com cartão. O exemplo pede a razão entre a quantidade de pagamentos efetuados com dinheiro e o total de pagamentos. Sendo assim, a razão pedida é: , onde se lê “um está para sete”. diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Razões proporcionais Quando o quociente de duas razões é igual, podemos considerar que as duas razões são iguais, equivalentes, ou chamadas de proporcionais. 12 3 =4 e =4 NOTA: Perceba que a multiplicação cruzada de duas razões equivalente sempre apresenta o mesmo resultado. No exemplo ao lado temos: 3*8=24, e 12*2=24. NUMERADOR DENOMINADOR QUOCIENTE (ou resultado) diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

7 Razões proporcionais e incógnita
Tendo duas equações proporcionais, e não sabendo um dos valores (incógnita), podemos por regra de três simples determinar o valor desconhecido. Exemplo 3: 10 4 = 𝑥  x= 20∗10 4 =50 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

8 Razões proporcionais - exemplo 4
Exemplo: Determinado fabricante de groselha sugere que para o preparo da bebida sejam utilizadas a quantidade de produto e água na razão de Se desejo fazer 4 litros de bebida (groselha + água), quais as quantidades de groselha e água que devo usar? Resposta: Para cada parte de groselha se adiciona sete partes de água, o que proporciona um rendimento de bebida de 8 partes. Sendo assim temos: 1 8 = 𝑥 4  8𝑥=4  𝑥=  0,5. Dessa forma, estamos usando em 4 litros de bebida 0,5 litro de groselha. Subtraindo 4 litros de mistura de 0,5 litro de groselha, se descobre que são necessários 3,5 litros de água. diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exercício 1 - resolvido Em um mapa no qual a escala é de 1:25000, a distância em linha reta entre duas cidades é de 9 cm. Qual a distância real (em quilômetros) entre essas cidades? (Dado: 1 km = cm). Resolução: 1 𝑐𝑚 𝑐𝑚 = 9 𝑥  𝑥=9∗25000= cm Fazendo a conversão temos: 1 𝑘𝑚 𝑥 𝑘𝑚 = 𝑐𝑚 𝑐𝑚  𝑥= =2,25 𝑘𝑚 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exercício 2 – resolvido Diego resolveu 20 problemas de matemática e acertou 18. Camila resolveu 30 e acertou 27. Quem apresentou melhor desempenho? Resposta: 𝐷𝑖𝑒𝑔𝑜: = 9 10 =0,9 𝑜𝑢 90% 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑙𝑎: = 9 10 =0,9 𝑜𝑢 90% A proporção de acertos em ambos os casos é igual. Dessa forma, houve um empate. diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exercício 3 - resolvido Sempre guardo um quinto do meu salário na caderneta de poupança e o restante gasto com bens de consumo. Neste mês recebi a quantia de R$ 950,00. Dessa forma pergunta-se: Qual a quantia gasta e poupada neste mês? Resposta: 1 5 = 𝑥  :5 ∗1=𝑅$ 190,00 (valor poupado) R$ 950,00 – R$ 190,00 = R$ 760,00 (valor gasto) diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Seção 1.2 Porcentagem diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Porcentagem Na seção 1.1 aprendemos os conceito e vimos algumas aplicações para razões. Na aula de hoje, vamos aprender porcentagem. Porcentagem se trata de uma razão centesimal, ou seja, de base 100. Em porcentagem, se observa uma quantidade em relação a sua centena. O símbolo usado para representar porcentagem é %. Exemplos: 78%= =0,78 6 meses do ano  = 𝑥% 100%  100:12 ∗6=50% dos meses diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exercício 1 - resolvido Determinar 1%, 5%, 10% e 50% dos valores: 50 200 350 Valor 1% 5% 10% 50% 50 50:100 ∗1=0,5 50:100 ∗5=2,5 50:100 ∗10=5 50:100 ∗50=25 200 200:100 ∗1=2 200:100 ∗5=10 200:100 ∗10=20 200:100 ∗50=100 350 350:100 ∗1=3,5 350:100 ∗5=17,5 350:100 ∗10=35 350:100 ∗50=175 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

15 Porcentagem Em porcentagem, assim como em razão, quando temos uma incógnita para duas razões centesimais proporcionais, podemos descobrir o valor desconhecido por regra de três simples. Além da regra de três, ainda se pode determinar a quantidade pela fórmula: 𝑥= 𝑖∙𝑇 100% . Legendas: 𝑖 é a taxa procurada, 𝑇 é a taxa considerada como total, e 𝑥 é a quantidade procurada

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Exemplo resolvido Determinada pessoa esqueceu de pagar boleto, e a multa correspondente ao atraso é de 3,75% do valor do boleto. Sabe-se que o valor do boleto é R$ 335,70. Qual o valor a ser pago? Resposta: 335,70 𝑥 = 100 3,75  𝑥= 335,7∗3, =12,59 O valor da multa é R$ 12,59. Somando a multa ao valor do boleto temos: 335, ,59 = R$ 348,29. diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exemplo resolvido Determinado cliente comprou uma camiseta, e pelo fato de ter realizado a transação com pagamento à vista, o lojista concedeu um desconto de 5%. Sabe-se ainda que o valor pago foi R$ 150,00. Dessa forma pergunta-se: Qual o preço da camiseta sem o desconto? Resolução. Sabemos que o valor R$ 150,00 corresponde ao valor cheio menos o desconto concedido. Dessa forma temos: 150 𝑥 = 100%−5% 100%  95𝑥=150∗100  𝑥= 150∗ =𝑅$157,89 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exemplo resolvido Tenho 30 brinquedos e quero doar 20% para as crianças carentes. Determinar a quantidade a ser doada. (fazer pela fórmula) Resposta: 𝑥= 𝑖∗𝑇 100 𝑥= 20∗ =6 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exemplo resolvido Na compra de um aparelho, obtive desconto de 2% no pagamento à vista. Se o valor pago foi de R$ 96,00, pede-se para determinar qual era o valor do aparelho antes do desconto. Resposta: 96 𝑥 = 100−2 100 𝑥= 100∗96 100−2 =𝑅$ 97,96 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Exercício resolvido O custo total (CT) de uma obra de uma empresa de engenharia foi de R$ ,00, assim divididos: Custo de mão de obra = , custo de gestão = , custo variável = e custo de insumos = Dessa forma, pede-se para determinar a porcentagem de cada categoria de custo em relação ao custo total. Resolução Custo % CT = 100 CMO = (100: )* = 33,12% CG = 62000 (100: )*62000 = 6,20% CV = (100: )* = 10,30% CI = (100: )* = 50,38% diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Seção 1.3 Potenciação diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Potência Pode ser definida como 𝑎 𝑛 =𝑎∗𝑎∗𝑎∗ …∗𝑎 Exemplo: 2 3 =2∗2∗2=8 Expoente Resultado (potência) Fatores Base diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

23 Casos especiais – expoente = 1
Potência de base 𝑎 com expoente igual a 1  O resultado é a própria base, ou seja, 𝑎 1 =𝑎 Exemplo: =15 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

24 Casos especiais – expoente negativo
Potência de base 𝑎 com expoente negativo  Fazer o inverso da base e trocar o sinal do expoente, ou seja, 𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛 Exemplo: 0,2 −2 = 1 0,2 2 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

25 Casos especiais – expoente = 0
Potência de base 𝑎 com expoente igual a zero, e base 𝑎≠0  O resultado é sempre igual a 1, ou seja, 𝑎 0 =1, com 𝑎≠0 Exemplo: =1 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

26 Propriedades - continuação
Comentário Como fica Produto de potências de mesma base Conserva-se a base e soma-se os expoentes 𝑎 𝑛 ∗ 𝑎 𝑚 = 𝑎 (𝑛+𝑚) Divisão de potências de mesma base Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 (𝑛−𝑚) , com 𝑎≠0 Potência de potência Deve-se multiplicar os expoentes 𝑎 𝑛 𝑚 = 𝑎 (𝑛∗𝑚) Potência de um produto O expoente geral é o expoente dos fatores 𝑎∗𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑛 ∗ 𝑏 𝑛 Multiplicação de potências com o mesmo expoente Conserva-se o expoente e multiplica-se as bases 𝑎 𝑛 ∗ 𝑏 𝑛 = (𝑎∗𝑏) 𝑛 Potência de uma fração Eleva-se cada um dos elementos da fração ao expoente 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 , com 𝑏≠0

27 Prof. Me. Diego Fernandes diego.fernandes@pitagoras.com.br
Não confundir −3 2 ≠ −3 2 No primeiro caso temos (-3)*(-3) = 9 No segundo caso temos –(3*3) = -9 No primeiro caso, observe ainda que se o expoente for par, o resultado será positivo, e se o expoente for impar, o resultado será negativo diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

28 Exercícios resolvidos
Calcular 2 6 =2∗2∗2∗2∗2∗2=64 −0,5 0 =1 2 −4 = = 1 16 =0,0625 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

29 Exercícios resolvidos - continuação
Calcular ∗ 0,75 −2 = ∗ −2 = −2 = = ≅0,422 5 𝑚 𝑚−1 = 5 𝑚+2− 𝑚−1 = 5 𝑚+2−𝑚+1 = 5 3 =125 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

30 Decomposição em notação científica
Está notação permite escrever números grandes ou pequenos de forma mais simples. Veja exemplo: Decomposição em notação científica = 2∗ 10 4 5.800 = 5,8∗ 10 3 123 = 1,23∗ 10 2 11,4 = 1,14∗ 10 1 1,26 = 1,26∗ 10 0 0,133 = 1,33∗ 10 −1 0,00128 = 1,28∗ 10 −3 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

31 Notação científica (prefixos do SI de unidades)
Fonte: diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

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Seção 1.4 Logaritmos diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

33 Logaritmo Considerando um número 𝒃, positivo e diferente de 1, e um número 𝒂 positivo, chama-se logaritmo de 𝒂 na base 𝒃 e ao expoente 𝒏 que se deve dar à base 𝒃 de modo que a potência obtida seja igual a 𝒂. log 𝑏 𝑎=𝑛 ↔ 𝑏 𝑛 =𝑎 (0<𝑏≠1, 𝑎>0) Logaritmo Base Logaritmando ou antilogaritmo

34 Exemplo log 2 8=3 …𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 … 2 3 =8 log 𝑏 𝑎 =𝑛 log 2 8 =𝑛
Na prática, a pergunta que deve ser feita é: O número de baixo (base do logaritmo), elevado a quanto, tem como resultado o número de cima. No nosso exemplo, 2 elevado a que valor da igual a 8 log 2 8=3 …𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 … 2 3 =8 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

35 Logaritmo decimais e neperianos
Logaritmos de base 10. Não é necessário escrever a base do logaritmo log 10 𝑎 = log 𝑎 Logaritmo neperiano ou natural. Usa base 𝑒, que se trata de um número irracional igual a 2, log 𝑒 𝑎= ln 𝑎 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

36 Prof. Me. Diego Fernandes diego.fernandes@pitagoras.com.br
Disciplina: Raciocínio Lógico e Matemático | Unidade 1: Conceitos Básicos de Matemática Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva Exemplos 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 =𝟒 𝑥= 3 4 𝑥=81 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝟏𝟔 =𝟐 16= 𝑥 2 𝑥=4 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓=𝒙 125= 5 𝑥 5 3 = 5 𝑥 𝑥=3 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes diegofernandes.weebly.com

37 Consequências da definição
Comentário Prova C1) log 𝑏 1=0 Exemplo: log 7 1 =0 Logaritmo de 1 é zero 7 0 =1 C2) log 𝑏 𝑏 =1 Exemplo: log 8 8 =1 Logaritmo da própria base é 1 8 1 =8 C3) log 𝑏 𝑏 𝑛 =𝑛 Exemplo: log =4 Logaritmo de uma potência da base é o expoente 3 4 =81 → log =𝑥 3 𝑥 =81 →𝑥=4

38 Consequências da definição – cont...
Comentário Prova C4) log 𝑏 𝑎 = log 𝑏 𝑐 ⇔ 𝑎=𝑐 Exemplo: log 2 𝑥 =log →𝑥=7 Dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmandos também são iguais log 𝑏 𝑎= log 𝑏 𝑐 . Pela definição de logaritmo temos que 𝑏 log 𝑏 𝑐 =𝑏 Pela consequência C4 temos 𝑐=𝑏

39 Prof. Me. Diego Fernandes diego.fernandes@pitagoras.com.br
Propriedades Propriedade Comentário Como fica... P1) Logaritmo do produto É igual à soma dos logaritmos dos fatores log 𝑏 𝑎∙𝑐 = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐 P2) Logaritmo do quociente É igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor log 𝑏 𝑎 𝑐 = log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

40 Propriedades - continuação
Comentário Como fica... P3) Logaritmo de potência É igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência log 𝑏 (𝑎) 𝑛 =𝑛 log 𝑏 𝑎 P4) Mudança de base – propriedade muito importante Para se trabalhar numa única base conveniente log 𝑏 𝑎= log 𝑐 𝑎 log 𝑐 𝑏 diegofernandes.weebly.com Prof. Me. Diego Fernandes

41 Propriedades – exemplos
Considerar como dados: log 2  0,301 log 3  0,477 Propriedades – exemplos Como fica... Exemplo Logaritmo do produto log 𝑏 𝑎∙𝑐 = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐 log 6 =? log 6 = log (2∗3) = log 2 + log 3 log 6 =0,301+0,477≅0,78 Logaritmo do quociente log 𝑏 𝑎 𝑐 = log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐 log 5 =? log 5 = log = log 10 − log 2 log 5 =1−0,301≅0,7 Logaritmo de potência log 𝑏 (𝑎) 𝑛 =𝑛 log 𝑏 𝑎 log 16 =? log 16= log 2 4 log 16=4∗0,301≅1,2 Mudança de base log 𝑏 𝑎= log 𝑐 𝑎 log 𝑐 𝑏 log 2 3 =? log 2 3 = log 3 log 2 = 0,477 0,301 ≅1,6


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