Profa. Andréia Adami adami@cepea.org.br Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE0211 – Estatística Geral Profa.

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1 Profa. Andréia Adami adami@cepea.org.br
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE0211 – Estatística Geral Profa. Andréia Adami

2 Probabilidade Até o presente momento do nosso curso de Estatística, estudamos, de forma empírica (forma prática, apenas descrevendo) o comportamento dos fenômenos por meio da construção das Distribuições de Frequências e cálculo de medidas resumo (posição e dispersão). Agora, teremos especial interesse em experimentos aleatórios, ou seja, experimentos que não podemos saber seu resultado a priori.

3 Probabilidade Exemplos Plantar 3 sementes de feijão em um vaso. Quantas sementes irão germinar? Retirar um lote de peças num processo de produção. Qual o número de peças defeituosas no lote? Lançar um dado sobre uma superfície plana. Qual o número que aparecerá na face voltada pra cima?

4 Probabilidade Definição 1: Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados Experimentos Aleatórios. Nosso objetivo será construir um modelo probabilístico para representar os experimentos aleatórios (Duas etapas)

5 Probabilidade Primeira etapa: Descrever para cada experimento aleatório o conjunto de seus resultados possíveis (espaço amostral); Segunda etapa: Atribuir pesos a cada resultado (evento) que reflitam a sua maior ou menor chance de ocorrer quando o experimento é realizado.

6 Probabilidade Espaço amostral (Ω): Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos 1) Plantar 3 sementes de feijão em um vaso. Quantas sementes irão germinar?

7 Probabilidade Espaço amostral (Ω): Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos 2) Retirar um lote de peças (de tamanho 4) num processo de produção. Qual o número de peças defeituosas no lote?

8 Probabilidade Espaço amostral (Ω): Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos 3) Lançar um dado sobre uma superfície plana. Qual o número que aparecerá na face voltada pra cima?

9 Probabilidade Espaço amostral (Ω): Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos 4) Contar o número de chamadas telefônicas que chegam a uma central durante um determinado intervalo de tempo.

10 Probabilidade Espaço amostral (Ω): Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplos 5) Medir a altura “h” de plantas de uma determinada espécie. Selecionada uma planta da espécie ao acaso, qual será a sua altura?

11 Probabilidade Espaços amostrais finitos (1, 2 e 3), infinitos enumerável (4) e infinito não enumerável (5).

12 Probabilidade Espaços amostrais finitos (1, 2 e 3), infinitos enumerável (4) e infinito não enumerável (5).

13 Probabilidade Espaços amostrais finitos (1, 2 e 3), infinitos enumerável (4) e infinito não enumerável (5).

14 Probabilidade Evento: Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento aleatório. Exemplos 2) Retirar um lote de peças (de tamanho 4) num processo de produção. Consideremos o evento A: Uma peças defeituosas (D)

15 Probabilidade Evento: Denominaremos de evento a todo resultado ou subconjunto de resultados de um experimento aleatório. Exemplos 1) Plantar 3 sementes de feijão em um vaso. Quantas sementes irão germinar. Consideremos o evento B: nenhuma semente germinar.

16 Probabilidade Operação com eventos (subconjuntos do espaço amostral): união ( ) e intersecção ( ) Sejam dois eventos A e B de Ω: A={1,2} e B={1,5,6}. Então, A B = {1,2,5,6} ocorrência em A, B ou ambos A B = {1} ocorrência em A e B simultaneamente Ac indica o complementar do evento A, ou seja, a não ocorrência do evento A.

17 Probabilidade Operação com eventos (subconjuntos do espaço amostral): união ( ) e intersecção ( ) Sejam dois eventos A e B de Ω: A={1,2} e B={1,5,6}.

18 Probabilidade Algumas outras operações com eventos:

19 Probabilidade Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, se a ocorrência de um deles impede a possibilidade de ocorrência do outro, são chamados eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos. Quando a ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro os eventos são ditos independentes. Obs: Eventos mutuamente exclusivos são independentes?

20 Probabilidade Probabilidade de um evento
Seja Ɛ um experimento aleatório e Ω um espaço amostral associado a esse experimento. A cada evento A associamos um número, entre 0 e 1, representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que expressa a chance de ocorrência do evento A.

21 Probabilidade Probabilidade de um evento
Pela Teoria Frequentista, se após n repetições de um experimento, com n suficientemente grande, se verificar n1 ocorrências de um evento, então a probabilidade de ocorrência desse evento será sua frequência relativa n1/n.

22 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Selecionado um aluno aleatoriamente, qual a probabilidade de Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

23 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=? Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=? C. Biológicas (B) 38 40 78 P(B)=? 208 184 392

24 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. P(A) = 218/392 = 0,56 Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

25 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. P(E) = 96/392 = 0,24 Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=0,24 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

26 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. P(B) = 78/392 = 0,20 Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=0,24 C. Biológicas (B) 38 40 78 P(B)=0,20 208 184 392

27 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. P(A)+ P(E)+ P(B) = P(Ω) = 1,0 Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=0,24 C. Biológicas (B) 38 40 78 P(B)=0,20 208 184 392 P(Ω) = 1,0

28 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=0,24 C. Biológicas (B) 38 40 78 P(B)=0,20 208 184 392 P(H)=? P(F)=?

29 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=0,24 C. Biológicas (B) 38 40 78 P(B)=0,20 208 184 392 P(H)=0,53

30 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Curso Sexo Total Prob. Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 P(A)=0,56 Eng. Florestal (E) 50 46 96 P(E)=0,24 C. Biológicas (B) 38 40 78 P(B)=0,20 208 184 392 P(H)=0,53 P(F)=0,47

31 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Selecionado um aluno aleatoriamente, qual a probabilidade do aluno estar, ao mesmo tempo, matriculado na Agronomia E ser Mulher? Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

32 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. P(A ∩F) = 98/392 = 0,25 Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

33 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Selecionado um aluno aleatoriamente, qual a probabilidade do aluno estar, ao mesmo tempo, matriculado na Engenharia Florestal E ser Homem? Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

34 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. P(E ∩H) = 50/392 = 0,13 Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

35 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Selecionado um aluno aleatoriamente, qual a probabilidade do aluno estar matriculado na Ciências Biológicas OU ser Homem? Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

36 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Estar matriculado na Ciências BiológicasOUser Homem? P(B ∪H) = P(B) + P (H) estaríamos incluindo duas vezes os alunos que são homens e estão matriculados na C.B. Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

37 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Estar matriculado na Ciências Biológicas (B)OUser Homem (H)? P(B ∪H) = P(B) + P (H) – P(B H) = 78/ /392 – 38/392 Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

38 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Selecionado um aluno aleatoriamente, qual a probabilidade do aluno estar matriculado na Agronomia OU Engenharia Florestal? Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

39 Probabilidade Exemplo: Distribuição conjunta de alunos segundo o sexo e escolha do curso. Estar matriculado na Agronomia (A) ou na Engenharia Florestal (E)? P(A ∪ E) = P(A) + P (E) = 218/ /392 = 0,80 Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

40 Probabilidade Regra da Adição de Probabilidades
Se A e B são dois eventos quaisquer, então, Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então,

41 Probabilidade Probabilidade Condicional e Independência
Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado em Agronomia, qual a probabilidade de que seja Mulher? Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

42 Probabilidade Probabilidade Condicional e Independência
Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado em Agronomia, a probabilidade de que seja Mulher é 98/218 = 0,45. Curso Sexo Total Masculino (H) Feminino (F) Agronomia (A) 120 98 218 Eng. Florestal (E) 50 46 96 C. Biológicas (B) 38 40 78 208 184 392

43 Probabilidade Probabilidade Condicional e Independência
Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B)>0, Definimos a probabilidade condicional de A dado que sabemos da ocorrência de B, P(A|B), como sendo: Regra do produto de probabilidades

44 Probabilidade Probabilidade Condicional e Independência
No Exemplo: Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado em Agronomia (A), qual probabilidade de que seja Mulher (F)? Com a informação adicional de que está matriculada em Agronomia, a probabilidade atualizada é:

45 Probabilidade Probabilidade Condicional e Independência
Se dois eventos quaisquer A e B são independentes entre si, ou seja, A independe de B e B independe de A, então, Regra do produto de probabilidades

46 Probabilidade Fórmula das Probabilidades Totais e Fórmula de Bayes
Seja B1, B2, ..., Bnuma partição do espaço amostral Ω, isto é, esses eventos são mutuamente exclusivos (B1∩B2∩...∩Bn= Ø) e sua reunião é Ω(B1∪B2∪...∪Bn= Ω)e seja A um evento de interesse, então temos: Essa fórmula é conhecida como a fórmula das probabilidades totais. Ela permite calcular a probabilidade de um evento A quando se conhece as probabilidades de um conjunto de eventos disjuntos e as probabilidades condicionais de A dado cada um deles.

47 Probabilidade Fórmula das Probabilidades Totais
Exemplo: São dadas três urnas com as seguintes composições: Urna 1: 3 bolas brancas e 5 vermelhas; Urna 2: 4 bolas brancas e 2 vermelhas; Urna 3: 1 bola branca e 3 vermelhas. Escolhe-se uma das 3 urnas de acordo com as seguintes probabilidades: P(U1)=2/ P(U2)=3/ P(U3)=1/6

48 Probabilidade Fórmula das Probabilidades Totais
Exemplo: São dadas três urnas com as seguintes composições: Urna 1: 3 bolas brancas e 5 vermelhas; Urna 2: 4 bolas brancas e 2 vermelhas; Urna 3: 1 bola branca e 3 vermelhas. Ao selecionar ao acaso uma bola, qual a probabilidade dela ser da cor branca P(A)?

49 Probabilidade Fórmula das Probabilidades Totais
Exemplo: São dadas três urnas com as seguintes composições: Urna 1: 3 bolas brancas e 5 vermelhas; Urna 2: 4 bolas brancas e 2 vermelhas; Urna 3: 1 bola branca e 3 vermelhas. P(U1)=2/ P(U2)=3/ P(U3)=1/6 Conheço a probabilidade de cada urna e a soma de suas probabilidades = 1

50 Probabilidade Fórmula das Probabilidades Totais
Exemplo: São dadas três urnas com as seguintes composições: Urna 1: 3 bolas brancas e 5 vermelhas; Urna 2: 4 bolas brancas e 2 vermelhas; Urna 3: 1 bola branca e 3 vermelhas. P(A|U1)=3/ P(A|U2)=4/ P(A|U3)=1/4 Conheço as probabilidade condicionais de selecionar uma bola branca dado a urna da qual ela foi retirada P(A|Uk)

51 Probabilidade Fórmula das Probabilidades Totais
Exemplo: São dadas três urnas com as seguintes composições: Urna 1: 3 bolas brancas e 5 vermelhas; Urna 2: 4 bolas brancas e 2 vermelhas; Urna 3: 1 bola branca e 3 vermelhas. 𝑷 𝑨 =𝑷 𝑨 𝑼 𝟏 𝑷 𝑼 𝟏 +𝑷 𝑨 𝑼 𝟐 𝑷 𝑼 𝟐 +𝑷 𝑨 𝑼 𝟑 𝑷 𝑼 𝟑 𝑷 𝑨 = 𝟑 𝟖 × 𝟐 𝟔 + 𝟒 𝟔 × 𝟑 𝟔 + 𝟏 𝟒 × 𝟏 𝟔 = 𝟏 𝟐

52 Probabilidade Teorema de Bayes
Seja A um evento e B1 e B2 uma partição do espaço amostral Ω, ou seja, B1∩B2=Ø e B1∪B2= Ω. Temos que:

53 Probabilidade Teorema de Bayes
Seja A um evento e B1 e B2 uma partição do espaço amostral Ω, ou seja, B1∩B2=Ø e B1∪B2= Ω. Temos que: Fórmula das probabilidades totais

54 Probabilidade Exemplo: Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas ( 𝑭 𝟏 , 𝑭 𝟐 , 𝑭 𝟑 ). Elas produzem, respectivamente, 15%, 35% e 50% do total de rádios. As probabilidades das fábricas produzirem equipamentos defeituosos são 0,01; 0,05 e 0,02, respectivamente. Um rádio é escolhido ao acaso do conjunto de equipamentos produzidos e mediante um teste verifica-se que o mesmo é defeituoso. Qual é a probabilidade de que ele tenha sido produzido pela fábrica 𝑭 𝟏 ?

55 Probabilidade Exemplo: 𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50 𝐷=rádio com defeito 𝑃 𝐷 𝐹 1 =0,01 𝑃 𝐷 𝐹 2 =0,05 𝑃 𝐷 𝐹 3 =0,02 Um rádio é escolhido ao acaso do conjunto de equipamentos produzidos ( 𝑭 𝟏 + 𝑭 𝟐 + 𝑭 𝟑 ) e mediante um teste verifica-se que o mesmo é defeituoso (𝑫). Qual é a probabilidade de que ele tenha sido produzido pela fábrica 𝑭 𝟏 ? 𝑃 𝐹 1 𝐷 = ???????

56 Probabilidade Exemplo: 𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50
𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50 𝐷=rádio com defeito 𝑃 𝐷 𝐹 1 =0,01 𝑃 𝐷 𝐹 2 =0,05 𝑃 𝐷 𝐹 3 =0,02 𝑃 𝐹 1 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐹 1 𝑃 𝐹 1 𝑘=1 𝑛 𝑃 𝐷 𝐹 𝑘 𝑃 𝐹 𝑘 𝑃 𝐹 1 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐹 1 𝑃 𝐹 1 𝑃 𝐷 𝐹 1 𝑃 𝐹 1 +𝑃 𝐷 𝐹 2 𝑃 𝐹 2 +𝑃 𝐷 𝐹 3 𝑃 𝐹 3

57 Probabilidade Exemplo: 𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50
𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50 𝐷=rádio com defeito 𝑃 𝐷 𝐹 1 =0,01 𝑃 𝐷 𝐹 2 =0,05 𝑃 𝐷 𝐹 3 =0,02 𝑃 𝐹 𝟏 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐹 𝟏 𝑃 𝐹 𝟏 𝑃 𝐷 𝐹 𝟏 𝑃 𝐹 𝟏 +𝑃 𝐷 𝐹 2 𝑃 𝐹 2 +𝑃 𝐷 𝐹 3 𝑃 𝐹 3 𝑃 𝐹 𝟏 𝐷 = 0,01×0,15 0,01×0,15 + 0,05×0,35 + 0,02×0, 50 =0,052

58 Probabilidade Exemplo: 𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50
𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50 𝐷=rádio com defeito 𝑃 𝐷 𝐹 1 =0,01 𝑃 𝐷 𝐹 2 =0,05 𝑃 𝐷 𝐹 3 =0,02 𝑃 𝐹 𝟐 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐹 𝟐 𝑃 𝐹 𝟐 𝑃 𝐷 𝐹 1 𝑃 𝐹 1 +𝑃 𝐷 𝐹 𝟐 𝑃 𝐹 𝟐 +𝑃 𝐷 𝐹 3 𝑃 𝐹 3 𝑃 𝐹 𝟐 𝐷 = 0,05×0,35 0,01×0,15 + 0,05×0,35 + 0,02×0, 50 =0,603

59 Probabilidade Exemplo: 𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50
𝑃 𝐹 1 =0,15 𝑃 𝐹 2 =0,35 𝑃 𝐹 3 =0, 50 𝐷=rádio com defeito 𝑃 𝐷 𝐹 1 =0,01 𝑃 𝐷 𝐹 2 =0,05 𝑃 𝐷 𝐹 3 =0,02 𝑃 𝐹 𝟑 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐹 𝟑 𝑃 𝐹 𝟑 𝑃 𝐷 𝐹 1 𝑃 𝐹 1 +𝑃 𝐷 𝐹 2 𝑃 𝐹 2 +𝑃 𝐷 𝐹 𝟑 𝑃 𝐹 𝟑 𝑃 𝐹 𝟑 𝐷 = 0,02×0, 50 0,01×0,15 + 0,05×0,35 + 0,02×0, 50 =0,345

60 Probabilidade O uso da fórmula de Bayes nos fornece a seguinte interpretação: Como as fábricas 𝑭 𝟏 , 𝑭 𝟐 e 𝑭 𝟑 são responsáveis, respectivamente, por 15%, 35% e 50% da produção, se retirarmos um equipamento ao acaso da linha de produção, as probabilidades de que esse equipamento venha das fábricas 𝑭 𝟏 , 𝑭 𝟐 e 𝑭 𝟑 são respectivamente iguais a 0,15, 0,35 e 0,50. Por outro lado se retirarmos a equipamento ao acaso e desconhecemos a procedência do mesmo, mas somos informados de que ele é defeituoso então, levando em conta esta informação, as probabilidades de que o equipamento tenha vindo de 𝑭 𝟏 , 𝑭 𝟐 ou de 𝑭 𝟑 são “atualizadas” e passam a valer, respectivamente, 0,052, 0,603 e 0,345.