5. Experimentos Fatoriais

Apresentação em tema: "5. Experimentos Fatoriais"— Transcrição da apresentação:

0 ME623A Planejamento e Pesquisa

1 5. Experimentos Fatoriais
Experimento Fatorial com Dois Fatores Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores) Experimento Fatorial 2k Única Replicação de Um Fatorial 2k Blocagem e Confundimento em Fatoriais 2k Experimento Fatorial Fracionado 2k-p

2 Blocagem em Fatoriais 2k
Já vimos anteriormente como analisar experimentos fatoriais com replicações em blocos Se existem n replicações, cada replicação do fatorial completo é rodada dentro um bloco, isto é, cada bloco contém todos os tratamentos A aleatorização acontece dentro de cada bloco Vamos voltar no exemplo da pipoca, em que tínhamos dois fatores (marca e tempo no microondas) e 3 replicações Suponha agora que os sacos de pipoca usados em cada replicação foram comprados em supermercados diferentes. Nesse caso, cada supermercado constitui um bloco

3 Exemplo – Pipoca Experimento da Pipoca em Blocos Bloco I Bloco II
Fator Replicação Marca (A) Tempo (B) Tratamento I II III − (1) 28 25 27 + a 36 32 b 18 19 23 ab 31 30 29 Experimento da Pipoca em Blocos Bloco I Bloco II Bloco III (1) = 28 (1) = 25 (1) = 27 a = 36 a = 32 b = 18 b = 19 b = 23 ab = 31 ab = 30 ab = 29 Total Blocos B1 = 113 B2 = 106 B3 = 111

4 Blocagem em Fatoriais 2k
Todas as SS são calculadas da mesma forma que no experimento fatorial 2k A SSBloco é calculada pelo total dos blocos B1, B2 e B3:

5 Blocagem em Fatoriais 2k
A Tabela ANOVA (compare com a ANOVA sem blocos): anova(lm(dados~factor(bloco) + factor(marca)*factor(tempo)))

6 Confundimento em Fatoriais 2k
A técnica de blocagem é muito útil quando é possível aplicar todas os tratamentos dentro de cada bloco Mas e quando não é possível realizar uma replicação completa dentro de um bloco? Usamos uma técnica chamada de confundimento Essa técnica arranja um experimento fatorial completo em blocos, onde o tamanho do bloco é menor que o número de tratamentos numa única replicação Isso faz com que certos efeitos (usualmente interações de ordem mais alta) sejam confundidos com os blocos

7 Confundimento em Fatoriais 2k
Os experimentos que iremos estudar aqui são delineamentos em blocos incompletos, já que cada bloco não contém todos os tratamentos Ainda assim, a estrutura especial dos fatoriais 2k permite uma método de análise simplificado Iremos considerar a construção e análise de fatoriais 2k em 2p blocos incompletos, onde p < k Isso quer dizer que podemos usar dois blocos (p=1), quatro blocos (p=2), oito blocos (p=3) e assim por diante

8 Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos
Suponha que iremos rodar uma única replicação de um fatorial 22, ou seja, 4 tratamentos e estes necessitam de um certa quantidade de matéria-prima Cada lote de matéria-prima é suficiente para apenas 2 tratamentos serem testados Então, precisamos de 2 lotes de matéria-prima e cada lote é considerado um bloco Bloco 1 Bloco 2 (1) a ab b

9 Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos
A ordem em que cada tratamento são rodados dentro dos blocos é aleatória Além disso, aleatoriamente decidimos qual bloco rodar primeiro Bloco 1 Bloco 2 (1) a ab b

10 Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos
Tabela dos sinais para um fatorial 22 Cálculo dos efeitos principais (ignorando os blocos) Os efeitos de A e B não são afetados pelos blocos (note um + e um − nos tratamentos de cada bloco) Tratamento Efeito Fatorial Bloco I A B AB (1) + − 1 a 2 b ab

11 Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos
Vamos agora calcular o efeito da interação AB: Note que a interação é calculada como a diferença dos tratamentos no Bloco 1 [(1) e ab] e os tratamentos no Bloco 2 [a e b] Então o efeito da interação AB é idêntico ao efeito do bloco

12 Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos
Nesse caso dizemos que AB está confundida com blocos (veja a relação na tabela dos sinais) Essa técnica pode ser usada para confundir qualquer efeito (A, B ou AB) com blocos Em geral, usamos essa técnica para confundir a interação de maior ordem

13 Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
Tabela dos sinais para um fatorial 23 Para confundir a interação ABC com blocos, basta escolher os blocos pelas colunas de sinais correspondente ao efeito ABC Tratamento Efeito Fatorial I A B AB C AC BC ABC (1) + − a b ab c ac bc abc Tratamento Efeito Fatorial Bloco I A B AB C AC BC ABC (1) + − 1 a 2 b ab c ac bc abc

14 Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
Esse esquema pode ser usado para confundir qualquer fatorial 2k em 2 blocos Fator B bc abc Bloco 1 Bloco 2 (1) a ab b ac c bc abc c ac b ab (1) a

15 Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação Então porque precisamos saber este modelo?

16 Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação Então porque precisamos saber este modelo? Porque alguns experimentos são planejados desta maneira Podemos então simplesmente construir a ANOVA?

17 Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação Então porque precisamos saber este modelo? Porque alguns experimentos são planejados desta maneira Podemos então simplesmente construir a ANOVA? Estimar o erro replicando o desenho. Ler no livro a extensão para 2k em 2p blocos

18 Experimentos Fatoriais Fracionados
Já dissemos inúmeras vezes que nos experimentos fatoriais o número de tratamentos aumenta consideravelmente à medida que os aumentamos o número de fatores no estudo Por exemplo: fatorial 26 = 64 tratamentos Com apenas uma replicação, temos 63 graus de liberdade no total, que se dividem da seguinte forma: 6 gl para os efeitos principais 15 gl para as interações de 1ª ordem (interações com dois fatores) 42 gl para interações de 2ª ordem e superiores (interações com 3 ou mais fatores)

19 Experimentos Fatoriais Fracionados
Em muitos casos, não é possível obter observações para todos os tratamentos Se pudermos assumir que interações de ordem mais altas são não significativas, então podemos obter informação sobre os efeitos principais e interações de ordem mais baixa rodando apenas uma parte (ou fração) de um experimento fatorial completo Esses experimentos são chamados de Fatoriais Fracionados Muito usados em desenvolvimento de produtos e melhoria de processos

20 Experimentos Fatoriais Fracionados
O uso principal desse tipo de delineamento é em experimentos pilotos (screening experiments) Experimentos piloto: realizado com muitos fatores com o propósito de identificar os efeitos que são realmente significativos Geralmente realizado na fase inicial e os fatores identificados como importantes serão então estudados num experimento mais completo

21 Fatoriais Fracionados: Idéia Básica
Esparsidade: Quando existem muitas variáveis, o processo/sistema é dominado por alguns poucos efeitos principais e interações de baixa ordem Projeção: Os fatoriais fracionados podem ser projetados em experimentos mais completos dentro de um subconjunto de fatores significantes Experimentação Sequencial: Dois ou mais fatoriais fracionados pode ser combinados, sequencialmente, e assim estimar os efeitos principais e interações de interesse

22 Meia Fração (1/2) do Fatorial 2k ou Fatorial 2k – 1
Considere a situação na qual 3 fatores, cada um com dois níveis, são de interesse Temos então 23 = 8 tratamentos O experimentador tem recursos para obter apenas 4 observações, isto é, metade de uma replicação completa desse fatorial 23 Metade de um experimento fatorial 23 é chamado de fatorial 23 – 1

23 Fatorial Fracionado 2k – 1
Veja a tabela dos sinais O fatorial 23 – 1 é formado pelos tratamentos que tem o sinal “+” na coluna ABC Tratamento Efeito Fatorial I A B AB C AC BC ABC a + − b c abc ab ac bc (1)

24 Fatorial Fracionado 2k – 1
A coluna ABC é que determina a fração do experimento que será rodada Então ABC é chamado de gerador da fração Além disso, como a coluna I é sempre +, dizemos que I = ABC é a relação de definição No geral, a relação de definição será sempre o conjunto de todas as colunas que são iguais à coluna identidade I No nosso exemplo, a única coluna igual a I é ABC

25 As Duas Metades de um Fatorial 23
Fator B Fator B abc bc c ac b ab a (1) Fração Principal I = ABC Fração Alternada I = −ABC

26 Fatorial Fracionado 23 – 1 Tabela dos sinais para a metade que foi realizada: Estimativa dos efeitos principais e interações: Tratamento Efeito Fatorial I A B AB C AC BC ABC a + − b c abc

27 Fatorial Fracionado 23 – 1 Notamos que: [A] = [BC] [B] = [AC]
[C] = [AB] Dessa forma, é impossível diferenciar A de BC, B de AC e C de AB Na realidade, estamos estimando: A + BC, B + AC e C + AB Dois ou mais efeitos com esta propriedade são chamados de associados (aliases) Portanto, A e BC são associados e indicamos por [A] A + BC Estimativa dos efeitos principais e interações:

28 Fatorial Fracionado 23 – 1 No nosso exemplo temos: [A] A + BC
[B] B + AC [C] C + AB A estrutura dos associados pode ser encontrada usando a relação de definição I = ABC da seguinte forma: Essa meio fração, com I = ABC, é chamada de fração principal

29 Fatorial Fracionado 23 – 1 A meia fração complementar desse experimento é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc A relação de definição é I =− ABC As combinações lineares para essa fração são: [A]’ A − BC [B]’ B − AC [C]’ C − AB Então quando estimamos A, B e C com esta fração particular, estamos na verdade estimando A − BC, B − AC e C − AB

30 Fatorial Fracionado 23 – 1 Na prática, não interessa qual fração é usada (principal ou complementar) Ambas frações pertencem à mesma família, isto é, as duas meia frações formam um fatorial 23 completo Se depois de rodar uma das metades de um fatorial 23, a outra meia fração também é rodada, obtemos então informação sobre todos os 8 tratamentos A partir disso podemos obter estimativas de todos os efeitos analisando as 8 rodadas com um fatorial 23 completo em dois blocos com 4 rodadas cada

31 Fatorial Fracionado 23 – 1 Estimativas de todos os efeitos podem ser obtidas também através do seguinte: Para todos os pares de combinações lineares, temos: i ½([i] + [i]’) ½([i] − [i]’) A BC B AC C AB

32 Fatorial Fracionado O problema é que nem sempre é possível executar mais de um fração Nesse caso, temos que escolher, previamente, os fatores “mais importantes” a serem considerados Faz sentido um modelo somente com fatores principais, mas não faz sentido um modelo somente com interações Além disso, o modelo deve permitir a existência de número razoável de gl para os resíduos

33 Resolução de um Delineamento
Resolução III: Os efeitos principais não estão associados(aliased) com qualquer outro efeito principal, mas efeitos principais estão associados com interações de dois fatores e interações com dois fatores podem estar associadas entre elas. O fatorial 23 – 1 anterior é de resolução III (2III3 – 1 ) Resolução IV: Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas entre elas.

34 Resolução de um Delineamento
Resolução V: Os efeitos principais ou interações com dois fatores não estão associados com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas com interações de três fatores Em geral, a resolução de um fatorial fracionado em dois blocos é igual ao menor número de letras em qualquer gerador na relação de definição Geralmente, prefere-se delineamentos com a mais alta resolução possível dentro do nível de fracionamento requerido

35 Fatorial 24-1 Fator Taxa Filtração A B C D=ABC Tratamento − (1) 45 + ad 100 bd ab 65 cd 75 ac 60 bc 80 abcd 96 O experimento original é uma única replicação de um fatorial 24 Exercício: Quais as conclusões se apenas meia fração do experimento é rodada?