Experimentos Fatoriais

Apresentação em tema: "Experimentos Fatoriais"— Transcrição da apresentação:

0 ME623A Planejamento e Pesquisa

1 Experimentos Fatoriais
6.1 Algumas Definições e Princípios Básicos Experimentos que envolvem dois ou mais fatores Permitem investigar o efeito de cada fator na variável resposta, assim como o efeito de interações entre eles É o tipo de delineamento mais eficiente para esse tipo de experimentos Cada repetição completa do experimento permite investigar todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores

2 Experimentos Fatoriais
Exemplo: temos a níveis do fator A e b níveis do fator B, então cada repetição terá ab tratamentos Fatores arranjados num experimento fatorial são ditos serem cruzados Fator A 1, 2, ..., a Fator B 1, 2, ..., b ab tratamentos

3 Experimentos Fatoriais
Definições Efeito principal de um fator: é a mudança na variável resposta produzida pela mudança no nível do fator Refere-se aos fatores primários de interesse Interação: ocorre quando a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis do outro fator

4 Experimentos Fatoriais
Exemplo I: Temos dois fatores (A e B) e cada fator apresenta dois níveis, alto (+) e baixo (−) Efeitos Principais Efeito de A em cada nível de B A = 40 – 20 = 20 (B–) A = 52 – 30 = 22 (B+)

5 Experimentos Fatoriais
Exemplo II: Considere o mesmo cenário, mas note que os valores observados são diferentes Efeito de A em cada nível de B A = 50 – 20 = 30 (B–) A = 12 – 40 = –28 (B+) Aqui, o efeito de A depende do nível de B escolhido. Portanto, existe interação entre A e B. A magnitude da interação é:

6 Exemplo I: Interação ou Não?
Linhas aproximadamente paralelas: não temos indicação de interação entre A e B

7 Exemplo II: Interação ou Não?
Linhas não paralelas: indicação de interação entre A e B

8 Vantagens dos Experimentos Fatoriais
Pode-se estudar os efeitos de dois ou mais fatores simultaneamente e as interações entre os eles São mais eficientes que os experimentos “um fator por vez” Necessário quando existe interação entre os fatores Permite estimar os efeitos de um fator dentro dos níveis do outro fator, resultando em conclusões mais abrangentes

9 Experimentos Fatoriais com Dois Fatores
É o tipo mais simples dos experimentos fatoriais Existem a níveis do fator A e b níveis do fator B Cada replicação do experimento contém todas as ab combinações de tratamentos Em geral, temos n replicações Exemplo: uma pesquisadora deseja produzir um novo tipo de vinagre a base de kiwi. Os fatores em estudo foram: Fator A: quantidade de açúcar (a=2 níveis: 8% e 20%) Fator B: adição de nutrientes (b=2 níveis: com e sem) n = 7 repetições x 7 = 28 unidades experimentais variável resposta: concentração de etanol

10 Fatoriais com Dois Fatores: Exemplo
Projeto de uma bateria: um engenheiro está projetando uma bateria para usar em um certo dispositivo Fatores em estudo Fator A: material (tipos 1, 2 e 3) Fator B: temperatura (15oF, 70oF e 125oF) 4 baterias são testadas para cada combinação de material e temperatura, num total de baterias, testadas em ordem aleatória Delineamento experimental: inteiramente aleatorizado

11 Exemplo Bateria O engenheiro quer responder as seguintes perguntas:
Qual o efeito do tipo de material e temperatura na vida das baterias? Existe um material que produz uma bateria com vida mais longa independente da temperatura? Nota: como existem dois fatores com três níveis cada, esse experimento é chamado de Fatorial 32

12 Dados em Experimentos Fatoriais com Dois Fatores
Fator B 1 2 ... b Fator A y111, y112, ..., y11n y121, y122 ..., y12n y1b1,y1b2, ..., y1bn y211, y212, ..., y21n y221, y222 ..., y22n y2b1,y2b2, ..., y2bn . a ya11, ya12, ..., ya1n ya21, ya22 ..., ya2n yab1,yab2, ..., yabn

13 Modelo Estatístico – Efeitos Fixos
As observações podem ser descritas pelo modelo: Restrições:

14 Hipóteses de Interesse
Ambos os fatores A e B são de igual interesse Queremos testar a igualdade dos efeitos dos níveis de A, ou seja, e a igualdade dos efeitos dos níveis de B: Também estamos interessados em determinar se existe interação

15 Análise Estatística – Efeitos Fixos
Considere a seguinte notação:

16 Decomposição das Somas de Quadrados
Mostre que a SST pode ser composta como:

17 Esperança dos Quadrados Médios

18 ANOVA – Fatorial com Dois Fatores

19 Fórmulas Simplificadas para as SS
A SST pode ser calculada como: As soma de quadrados dos efeitos principais são: A soma de quadrados da interação é calculada em dois passos.

20 Fórmulas Simplificadas para as SS
Inicialmente calculamos o que é chamado de SSSubtotais Essa soma de quadrados também contém SSA e SSB. Então calculamos SSAB como: Por fim, a SSE é calculada por subtração:

21 Exemplo Bateria - Dados
Tipo de Material Temperatura (ºF) 15 70 125 1 130 74 155 180 34 80 40 75 20 82 58 2 150 159 188 126 136 106 122 115 25 45 3 138 168 110 160 174 120 139 96 104 60 Usando os dados acima, calcule a tabela ANOVA e responda às perguntas do engenheiro