Sphere CDV Fundamentals of Spherical Parameterization for 3D Meshes MOTIVAÇÕES: - Remeshing - Morphing.

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2 Sphere CDV Fundamentals of Spherical Parameterization for 3D Meshes MOTIVAÇÕES: - Remeshing - Morphing

3 Sphere CDV Origem… Necessidade de uma base teórica - Parametrização planar

4 Parametrização Planar Processo Border Stones (BS).

5 Parametrização Planar Processo Coordenadas Baricêntricas: 1. Para cada aresta interior e = (i,j), associar um valor positivo que representa o seu peso w ij. onde N(i) é a lista de vértices na vizinhança do i-ésimo vértice. 2.Para as demais arestas w ij = 0 (zero)

6 Parametrização Planar Processo Coordenadas Baricêntricas: 3. Insira os vértices de fronteira no plano de forma que eles componham um polígono convexo e fechado. 4. Resolva os seguintes sistemas lineares: (I W)x = b x (I W)y = b y W nesse caso é a matriz (n x n, onde n é o número de vértices internos) dos pesos. x e y são as coordenadas dos n vértices interiores.

7 Parametrização Planar Processo Coordenadas Baricêntricas: Theorem 1: Given a planar 3-connected graph with a boundary fixed to a convex shape in R2, the positions of the interior vertices form a planar triangulation (i.e. none of the triangles overlap) if and only if each vertex position is some convex combination of its neighbor's positions.

8 Parametrização Planar Processo Laplacian: - Notação Tutte Laplacian : - O caso especial em que w ij =1/grau(i) é proposto por Tutte. - Implica em maior uniformidade na parametrização.

9 O caso esférico... Experiências Parametrização esférica através da planar. - Malha fonte - Escolhendo um triângulo de referência - Discos parametrizados

10 O caso esférico... Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas E se não fosse necessário ter um passo intermediário... - Por hora foi sugerido parametrizar a malha em um plano. - Transformar o plano em uma esfera... Há uma mudança de topologia na transformação - Favorece ao erro - Distorção

11 O caso esférico... Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas Coordenadas Baricêntricas - Matriz não simétrica - Overlap (sobre-posição de triângulos)

12 O caso esférico... Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas Coordenadas Baricêntricas - Transformando a Matriz de Laplace em uma matriz simétrica

13 O caso esférico... Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas Pontos internos à esfera - Problemas... - Não é possível se obter um ponto através das coordenadas dos seus vizinhos - O ponto resultante não se encontraria na superfície da esfera. Componente tangencial de L - Ausência de fronteiras na esfera, lado direito levado à zero.

14 O caso esférico... Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas Teoria: Theorem 2: Given a planar 3-connected graph embedded in R3, the positions of the vertices form a spherical triangulation (i.e. none of the spherical triangles overlap) if and only if each vertex position is some convex combination of the positions of its neighbors, which is then projected on the sphere.

15 O caso esférico... Extendendo o uso de Coordenadas Baricêntricas O número de Colin de Verdiere: - Dada uma matriz M de um grafo G: - De forma que M é um superconjunto das matrizes simétricas de Laplace-Tutte.