Disciplina: Geometria Professor: Mauri Cunha do Nascimento

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1 Disciplina: Geometria Professor: Mauri Cunha do Nascimento
Quadriláteros Disciplina: Geometria Professor: Mauri Cunha do Nascimento

2 4.12 definição. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Cap. 4 - Quadriláteros 4.12 definição. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos. 4.13 Definição. Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos.

3 4.14 Teorema. Em um paralelogramo valem as seguintes propriedades:
a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é, se ABCD é um paralelogramo, então ABC  CDA e ABD  CDB. b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes. c) Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes. d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são Suplementares.

4 a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é, se ABCD é um paralelogramo, então ABC  CDA e ABD  CDB AB//CD, AC transversal ânguloBAC≅ânguloDCA AD//BC, AC transversal ânguloDAC≅ânguloBCA Pelo caso ALA, ABC≅ CDA. Analogamente, ABD≅ CDB.

5 b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
Da congruência dada em (a), ABC≅ CDA, temos AB≅CD e BC≅DA c) Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes. Da congruência dada em (a), ABD≅ CDB, temos ânguloBAD≅ânguloDCB Da congruência dada em (a), ABC≅ CDA, temos ânguloABC≅ânguloCDA Assim, os lados opostos são congruentes e também os ângulos opostos são congruentes.

6 d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.
A reta CD é transversal às retas paralelas AD e BC. Logo, m(d) =m(e) (são ângulos correspondentes). m(c) + m(e) = 180 (par linear). Assim, m(c)+m(d)=180, ou seja, os ângulos dos vértices C e D são suplementares. De modo análogo, demonstra-se que os demais pares de ângulos consecutivos são complementares.

7 4.15 Corolário. Se r e s são retas paralelas e se P e Q são dois pontos quaisquer em r, então as distâncias de P e Q a s são iguais. As retas PP’ e QQ’ são perpendiculares à reta s. Logo, PP’//QQ’. Como r//s, então PQ//P’Q’. Assim, PQQ’P’ é um paralelogramo. Logo, os lados opostos são congruentes: PP’ = QQ’. Ou seja, D(P,s) = d(Q,s). 4.16 Definição. A distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outra.

8 4.17 Teorema. a) Dado um quadrilátero em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam, então o quadrilátero é um paralelogramo.

9 a) Dado um quadrilátero em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. Pelo caso LLL, ABD≅CDB. Logo, os ângulos ABD e CDB (respectivamente, ADB e CBD) são congruentes. Assim, os ângulos ABD e CDB (respectivamente, ADB e CBD) são congruentes, e são alternos internos em relação à transversal BD. Portanto, AB // CD (respectivamente, AD // BC). Assim, ABCD é um paralelogramo.

10 b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. Os ângulos DAC e BCA são congruentes (alternos internos: AC é transversal às paralelas AD e BC). Pelo caso LAL, BCA ≅  DAC. Logo, AB ≅CD. Pelo caso (a), ABCD é um paralelogramo.

11 c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Os ângulos o.p.v. são congruentes. Pelo caso LAL APD≅CPB e APB≅CPD. Logo, AD≅CB e AB≅CD. Por (a), ABCD é um paralelogramo.

12 4.18 Teorema. O segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento. Seja D tal que M-N-D e MN=ND. Os ângulos ANM e CND são o.p.v., Portanto, congruentes Pelo caso LAL, ANM≅CND. Logo CD≅AM(≅BM) e também os ângulos AMN ≅ CDN Considerando a reta MD transversal às retas AM e CD, os ângulos alternos internos são congruentes, portanto as retas CD e AM são paralelas Assim, no quadrilátero MDCB, os lados BM e CD são paralelos e congruentes. Portanto, MDCB é um paralelogramo.

13 4.18 Teorema. O segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento. Assim, no quadrilátero MDCB, os lados BM e CD são paralelos e congruentes. Portanto, MDCB é um paralelogramo. Logo, os lados opostos BC e MD são congruentes: BC = MD = MN + ND = MN + MN = 2MN. Ou seja, MN = BC/2.

14 4.19 Definições. a) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes. b) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos. c) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes. Paralelogramo Losango Retângulo Quadrado

15 4.20 Teorema. Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então tem quatro
ângulos retos, e o paralelogramo é um retângulo. b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bisseccionam. c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango. a) É consequência do Teorema 4.14. Observe que ABC ≅ ADC e são isósceles, o mesmo valendo para ABD ≅ CBD. A partir disso, verifique que as diagonais se bisseccionam e são perpendiculares.

16 c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam
e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango. Pelo caso LAL, AMB≅CMB≅CMD≅AMD. Logo, AB≅BC≅CD≅AD. (1) Assim, pelo Teorema 4.17, ABCD é um paralelogramo. (2) De (1) e (2), ABCD é um losango.

17 Deixamos para os alunos a justificativa de algumas passagens
a partir de resultados anteriores do livro texto. Livro texto: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz Editora da UNICAMP