A Matemática do Incerto

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1 A Matemática do Incerto
Apêndice A Matemática do Incerto

2 Matemática Lida com fenômenos previsíveis e estáveis:
Aritmética Geometria Álgebra Cálculo diferencial Lógica Cálculo vetorial Lida com fenômenos incertos e instáveis: Estatística Ideal para o paraíso Necessária no planeta Terra

3 Um exemplo O tempo necessário para uma pessoa se deslocar da sua residência ao seu local de trabalho. Depende: Do meio de transporte utilizado Do horário Das condições climáticas Das condições do trânsito ... Não é uma quantidade perfeitamente previsível. É um exemplo de variável aleatória. Nós estamos habituados a conviver com as incertezas trazidas pelas variáveis aleatórias.

4 Histograma da variável aleatória X
Frequência de cada classe Contagem Classes 3 6 11 14 8 10 4 5 10 15 X 3,0 5,0 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0 17,0 Intervalo de classe

5 Histograma resultante do censo da população brasileira realizado em 2010
Fonte - IBGE

6 Parâmetros numéricos reduzidos
Média: 𝑥 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 Sendo: n = número de dados disponíveis xi = i-ésimo dado Estima o valor central da variável

7 Parâmetros numéricos reduzidos
Variância: 𝑠 2 𝑠 2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 Sendo: n = número de dados disponíveis xi = i-ésimo dado 𝑥 = média dos n dados Estima a dispersão da variável e a exprime como o quadrado da unidade da variável

8 Graus de liberdade É o número de escolhas independentes associadas a um fenômeno ou equação. Exemplo: escolha três números cuja média seja 4,0. Veja que só há duas escolhas livres. O terceiro número já estará fixado para que a média seja 4. Há portanto dois graus de liberdade: ν = 2 O cálculo da variância tem ν = n - 1 graus de liberdade porque usa o valor da média.

9 Parâmetros numéricos reduzidos
Desvio-padrão: 𝑠 𝑠= 𝑠 2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 Sendo: n = número de dados disponíveis xi = i-ésimo dado 𝑥 = média dos n dados Mede a dispersão da variável e a exprime na unidade da variável.

10 Probabilidade Probabilidade de um evento: Pode ser determinada:
É a medida da expectativa de que o evento ocorra; É expressa por um número entre 0 e 1, ou entre 0% e 100%; A certeza existe somente quando a probabilidade é de 100%. Pode ser determinada: Por cálculos analíticos (em boa parte dos casos); Pelo histograma do histórico de observações do evento.

11 Variável aleatória Definição: São exemplos
É uma variável que associa um número ao resultado de um experimento aleatório. Seu valor não é estável, mas muda de forma imprevisível cada vez que o fenômeno é repetido. São exemplos O valor resultante do lançamento de um dado; A precipitação de chuva por mês em uma dada região; O valor da cotação do dólar; O número de pães que são vendidos por dia em uma padaria.

12 Variáveis aleatórias Tipos Convenção de símbolos:
Variáveis aleatórias discretas: assumem apenas valores escalonados; Variáveis aleatórias contínuas: assumem qualquer valor dentro de uma gama contínua de possibilidades. Convenção de símbolos: Letras maiúsculas para o nome: X Letras minúsculas para valores: x1, x2, x3, ..., xn

13 Variáveis aleatórias discretas
Assumem apenas valores escalonados. São exemplos: O número de torcedores pagantes em uma partida de futebol. O número de pontos acumulados por um bom corredor de fórmula 1 em um campeonato. Não é possível prever exatamente qual será o próximo valor de uma variável aleatória discreta. É necessário considerar a probabilidade da variável apresentar certos valores.

14 Variáveis aleatórias discretas
Função de distribuição de probabilidades: f(x) Atribui a probabilidade a cada valor possível de X. f(xi) = P(X = xi) Sendo P(X = xi ) a probabilidade da variável aleatória X apresentar o valor xi.

15 Variáveis aleatórias discretas
Função de distribuição cumulativa de probabilidades: F(x) Atribui a probabilidade da variável aleatória ser menor ou igual a cada valor possível de X. F(xi) = P(X ≤ xi) Sendo P(X ≤ xi ) a probabilidade da variável aleatória X apresentar valores menores ou iguais a xi.

16 Variáveis aleatórias contínuas
Assumem qualquer valor dentro de uma gama contínua de possibilidades. São representadas por números reais. São exemplos: A força de ruptura de pedaços de barbantes extraídos de um mesmo rolo; Os volumes de água efetivamente contidos em garrafões de supostos vinte litros envasados por uma máquina automática. A probabilidade de uma variável aleatória contínua apresentar exatamente um valor real, expresso com infinitas casas decimais, é zero. Só faz sentido considerar a probabilidade da variável aleatória contínua apresentar valores dentro de certa faixa.

17 Variáveis aleatórias contínuas
A probabilidade da variável aleatória X apresentar valores entre a e b corresponde à área verde da figura. É calculada por: 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Sendo a função f(x) denominada função densidade de probabilidade. X f(x) a b

18 Variáveis aleatórias contínuas
A função distribuição cumulativa F(x) de uma variável aleatória X associa a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual àquele valor. É calculada por: 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 = −∞ 𝑥 𝑓 𝛼 𝑑𝛼 x F(x) 1,00

19 Uso da função distribuição cumulativa
A F(x) é muito útil para calcular probabilidades sem necessidade de realizar integrações. a b x f(x) 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − −∞ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 a b x F(x) 1,00 F(b) =𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) F(a)

20 uniforme ou retangular
Distribuições de probabilidade mais comuns de variáveis aleatórias contínuas A = 1 X f(x) a b X f(x) -a a 1 2𝑎 X f(x) a b uniforme ou retangular triangular em “U” X f(x) b a t µ-σ X f(x) µ+σ trapezoidal normal ou gaussiana

21 Distribuição uniforme ou retangular
X f(x) a b 𝜇= 𝑎+𝑏 2 𝜎= 𝑏−𝑎 2 3 Equação para Simulação: 𝑌=𝑎+ 𝑏 −𝑎 𝑅 sendo R uma distribuição uniforme ou retangular variando entre 0 e 1

22 Exemplo: erro devido ao arredondamento de mostrador digital
1,0 quantidade de pó (g) indicação (g) 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 0,0 4 3 2 1 incremento digital g

23 Exemplo: erro devido ao arredondamento de mostrador digital
f(x) indicação ID mensurando erro ID/2 - ID/2 f(x)

24 Distribuição triangular
X f(x) -a a 1 2𝑎 𝜇= 𝑎+𝑏 2 𝜎= 𝑏−1 2 6 Equação para Simulação: 𝑌=𝑎+ (𝑏−𝑎) 2 𝑅 1 + 𝑅 2 sendo R1 e R2 duas distribuições retangulares independentes, ambas variando entre 0 e 1

25 Distribuição trapezoidal
X f(x) b a t 𝜇= 𝑎+𝑏 2 𝜎= (𝑏−𝑎) 2 + 𝑡 Equação para Simulação: 𝑌=𝑎+ (𝑏−𝑎+𝑡) 2 𝑅 1 + (𝑏−𝑎−𝑡) 2 𝑅 2 sendo R1 e R2 duas distribuições retangulares independentes, ambas variando entre 0 e 1

26 Distribuição em “U” X f(x) a b 𝜇= 𝑎+𝑏 2 𝜎= 𝑏−𝑎 2 2
𝜎= 𝑏−𝑎 2 2 Equação para Simulação: 𝑌= 𝑎+𝑏 2 + 𝑏−𝑎 2 cos⁡(2𝜋𝑅) sendo R uma distribuição uniforme ou retangular variando entre 0 e 1

27 Distribuição normal ou gaussiana
µ-σ X f(x) µ+σ 𝜇=𝜇 𝜎=𝜎 Equação para Simulação: 𝑌=𝜇+𝜎 −ln⁡( 𝑅 1 ) cos⁡(2𝜋 𝑅 2 ) sendo R1 e R2 duas distribuições retangulares independentes, ambas variando entre 0 e 1

28 Áreas sobre a curva da distribuição normal ou gaussiana
k Área 1,000 68,262% 1,6449 90,000% 1,9600 95,000% 2,000 95,450% 2,5758 99,000% 3,000 99,730% Área µ - k σ µ + k σ

29 Teorema central do limite
Quanto mais aumenta o tamanho da amostra, mais a distribuição de probabilidades da média da amostra se aproxima de uma distribuição normal.

30 Distribuições das médias de “n” dados
Média de 2 dados Média de 3 dados Média de 4 dados Média de 5 dados Média de 6 dados

31 Distribuições das médias de “n” dados
Média de 8 dados Média de 10 dados Média de 15 dados Média de 20 dados Média de 25 dados Média de 30 dados

32 População e amostra População: Amostra:
Conjunto de todos os eventos associados a um fenômeno. Seu tamanho pode ser finito ou infinito. Amostra: É uma parte da população normalmente usada para inferir dados sobre toda a população. É importante que seja escolhida de forma aleatória. População Amostra

33 Estimativa da média da população a partir da média de uma amostra
Intervalo de confiança para a média da população (µ) quando o desvio-padrão é previamente conhecido: 𝑥 −𝑘 𝜎 𝑛 <𝜇< 𝑥 +𝑘 𝜎 𝑛 Sendo: 𝑥 a média da amostra de tamanho n k é o coeficiente de abrangência σ é o desvio-padrão n é o tamanho da amostra A probabilidade da inequação ser satisfeita é denominada de nível de confiança.

34 Estimativa da média da população a partir da média de uma amostra
Intervalo de confiança para a média da população (µ) quando o desvio-padrão é estimado com os dados da amostra: 𝑥 −𝑡 𝑠 𝑛 <𝜇< 𝑥 +𝑡 𝑠 𝑛 Sendo: 𝑥 a média da amostra de tamanho n t é o coeficiente t de Student s é o valor estimado para o desvio-padrão n é o tamanho da amostra A probabilidade da inequação ser satisfeita é denominada de nível de confiança.

35 Dependência estatística e correlação
Duas variáveis aleatórias não correlacionadas ou estatisticamente independentes variam de forma completamente dessincronizada. Duas variáveis aleatórias correlacionadas ou estatisticamente dependentes variam de forma sincronizada. A correlação é dita direta quando uma aumenta aleatoriamente e a outra também aumenta. A correlação é dita inversa quando uma aumenta aleatoriamente a outra diminui.

36 Coeficiente de correlação (ρ)
Mede o tipo e a intensidade da correlação (ou dependência estatística) entre duas variáveis aleatórias. ρ(X, Y) = 0 se X e Y são não correlacionadas ou estatisticamente independentes. ρ(X, Y) = 1 se X e Y possuem correlação direta ou estatisticamente dependentes de forma direta. ρ(X, Y) = -1 se X e Y possuem correlação inversa ou estatisticamente dependentes de forma inversa. ρ pode assumir qualquer valor entre -1 e +1, sendo possível a correlação parcial.

37 Coeficiente de correlação
ρ é estimado a partir de amostras através de: Sendo r(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para as variáveis X e Y xi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y 𝑥 e 𝑦 valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de pontos das variáveis X e Y

38 Gráficos de correlação
X Y r = 0,00095 X Y r = -0,7532

39 Combinando o incerto Somando e subtraindo variáveis aleatórias:
C = A + B D = A – B Média resultante: µC = µA + µB µD = µA - µB Desvio-padrão resultante: ρ(A, B) = 0 ρ(A, B) = +1 ρ(A, B) = -1 Correlação parcial σC = 𝜎 𝐴 2 + 𝜎 𝐵 2 𝜎 𝐴 + 𝜎 𝐵 𝜎 𝐴 − 𝜎 𝐵 𝜎 𝐴 2 + 𝜎 𝐵 2 +2 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵 𝜌(𝐴,𝐵) σD = 𝜎 𝐴 2 + 𝜎 𝐵 2 −2 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵 𝜌(𝐴,𝐵)

40 Propriedade reprodutiva da distribuição normal
Sejam X1, X2, ... , Xp variáveis aleatórias independentes e todas com distribuição normal, tendo cada uma delas respectivamente médias µ1, µ2, ... , µp e desvios-padrões σ1, σ2, ... , σp. Seja uma nova variável aleatória Y definida por: 𝑌= 𝑐 1 𝑋 1 + 𝑐 2 𝑋 2 + ⋯+ 𝑐 𝑝 𝑋 𝑝 sendo c1, c2, ..., cp constantes numéricas. Y terá distribuição normal e: 𝜇 𝑌 = 𝑐 1 𝜇 1 + 𝑐 2 𝜇 2 +…+ 𝑐 𝑝 𝜇 𝑝 𝜎 𝑌 2 = 𝑐 1 2 𝜎 𝑐 2 2 𝜎 ⋯ + 𝑐 𝑝 2 𝜎 𝑝 2

41 Casos particulares Todas as p variáveis aleatórias são independentes e têm o mesmo desvio-padrão: σ1 = σ2 = ... = σp = σ Seja Y = X1 + X Xp 𝜎 𝑌 = 𝜎 2 + 𝜎 2 +…+ 𝜎 2 = 𝑝 𝜎 Seja W =(X1 + X Xp)/p 𝜎 𝑊 = 𝑝 2 𝜎 𝑝 2 𝜎 2 +…+ 1 𝑝 2 𝜎 2 = 𝜎 𝑝

42 Combinando o incerto Multiplicando e dividindo variáveis aleatórias:
E = A · B F = A / B Média resultante: µE = µA · µB µF = µA / µB Desvio-padrão resultante sendo ρ(A, B) = 0: 𝜎 𝐸 𝜇 𝐸 2 = 𝜎 𝐴 𝜇 𝐴 𝜎 𝐵 𝜇 𝐵 2 𝜎 𝐹 𝜇 𝐹 2 = 𝜎 𝐴 𝜇 𝐴 𝜎 𝐵 𝜇 𝐵 2

43 Combinando o incerto Outras operações matemáticas:
Seja a grandeza G calculada a partir de p variáveis aleatórias independentes: 𝐺=𝑔 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑝 Sua média será: 𝜇 𝐺 =𝑔 𝜇 1 , 𝜇 2 ,…, 𝜇 𝑝 Seu desvio padrão será: 𝜎 𝐺 2 = 𝜕𝐺 𝜕 𝑋 1 𝜎 𝜕𝐺 𝜕 𝑋 2 𝜎 …+ 𝜕𝐺 𝜕 𝑋 𝑝 𝜎 𝑝 2

44 Combinando o incerto através de simulações numéricas
Exemplo simples: Diferença de duas variáveis aleatórias independentes com distribuições uniformes entre 0 e 1: 𝑌= 𝑋 1 − 𝑋 2 Valores esperados (teóricos) 𝜇 𝑌 = 𝜇 1 − 𝜇 2 =0,5−0,5=0,0 𝜎 𝑌 = 𝜎 𝜎 2 2 = 1 6

45 Qual o número de repetições nas simulações numéricas?
Número de simulações: Calculado a partir da probabilidade de abrangência desejada (PA) por: 𝑛= 1 1−𝑃𝐴 10 4 Probabilidade de abrangência é o mesmo que nível de significância.

46 Efeitos do número de simulações
Diferença de duas variáveis aleatórias independentes com distribuições retangulares idênticas

47 Valores estimados por simulação numérica em função de n
Caso Teórico n = 102 n = 103 n = 104 n = 105 n = 106 n = 107 𝒚 0,00000 0,01427 -0,00957 -0,00258 0,00077 0,00020 -0,00027 sy 0,40825 0,35242 0,4119 0,40979 0,40756 0,40834 0,40827 Erro sy -13,7% 0,89% 0,38% -0,169% 0,0225% 0,0053%

48 Estimando o incerto através do método de Monte Carlo
Roteiro básico em 6 passos Passo 1 – Reunindo informações Passo 2 – Atribuindo variáveis aleatórias Passo 3 – Definindo o número de simulações Passo 4 – Simulando Passo 5 – Analisando os resultados Passo 6 – Exprimindo o resultado da medição

49 Passo 1 – Reunindo informações
Amplo conhecimento do processo de medição: Conceitos físicos envolvidos; Sistema(s) de medição envolvidos; Grandeza(s) de influência. Formar duas listas completas: Grandezas de entrada que fazem parte do processo de medição; Potenciais fontes de perturbação que afetam o processo de medição. Compondo o modelo matemático: Conjunto de equações que relacionam a(s) grandeza(s) de entrada com o valor do mensurando; Conjunto de equações que exprimem quantitativamente os efeitos de cada fonte de perturbação no valor a ser atribuído ao mensurando.

50 Passo 2 – Atribuindo variáveis aleatórias
Atribuir uma variável aleatória apropriada para: Cada grandeza de entrada Cada fonte de perturbação Escolha da variável Distribuição de probabilidade compatível com o fenômeno; Parâmetros (média, desvio padrão, largura) obtidos a partir de conhecimentos prévios ou de experimentos exploratórios; Alternativamente podem ser usadas séries de dados colhidas de experimentos reais.

51 Passo 3 - Número de Simulações
É calculado a partir da probabilidade de abrangência desejada (PA) por: 𝑛= 1 1−𝑃𝐴 10 4 Exemplo, para PA = 95,45% = 0,9545 𝑛= 1 1−0, ≈2,2∙ 10 5

52 Passo 4 – Simulando Escolha de um ambiente computacional apropriado:
Geração de números aleatórios; Funções de análise estatística Mecânica da simulação: Um valor é gerado para cada variável aleatória dentro da distribuição de probabilidades definida; O valor do mensurando é calculado pelo modelo matemático definido e armazenado em uma série; O processo é repetido; Ao final, uma grande série de n valores é obtida. n

53 Passo 5 – Analisando os resultados
Análise da série de n valores Histograma: Verificação da forma e da simetria da distribuição Valor médio: Para estimar a componente sistemática Desvio padrão: Para estimar a componente aleatória Incerteza de medição: Para exprimir o resultado da medição;

54 Determinação da incerteza de medição
Seja yi a série dos n valores obtidos; Ordene yi do menor para o maior valor obtido. Denomine a série ordenada de yoi Calcule o nível de significância (α ) a partir da probabilidade de abrangência (PA ) desejada por: 𝛼=1−𝑃𝐴

55 Determinação da incerteza de medição
Calcule o limite inferior do intervalo que define a incerteza da medição (LI ) por: 𝐿𝐼= 𝑦𝑜 𝑖𝑖 sendo: 𝑖𝑖=𝑖𝑛𝑡 𝛼 2 𝑛 Calcule o limite superior do intervalo que define a incerteza da medição (LS ) por: 𝐿𝑆= 𝑦𝑜 𝑖𝑠 sendo: 𝑖𝑠=𝑖𝑛𝑡 1− 𝛼 2 𝑛 int [x] retorna o inteiro mais próximo de x

56 Determinação da incerteza de medição
índice i 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% is yo ii RM LI = yoii LI = yois

57 Passo 6 – Exprimindo o resultado da medição
Equação geral: 𝑅𝑀= 𝐿𝐼+𝐿𝑆 2 ± 𝐿𝑆−𝐿𝐼 2 Note que: Para distribuições simétricas Resultado base coincide com a média da distribuição obtida Para distribuições não simétricas: O resultado base não coincide com a média da distribuição obtida; O resultado base coincide com o ponto médio entre LI e LS É conveniente informar que há assimetria no histograma. Melhor ainda é tornar o histograma parte do resultado da medição.