A DIVISÃO DE UM SEGMENTO A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E

Apresentação em tema: "A DIVISÃO DE UM SEGMENTO A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E"— Transcrição da apresentação:

1 A DIVISÃO DE UM SEGMENTO A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E
DISCIPLINA INTEGRADORA II TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E A ÁRVORE BINÁRIA

2 Você pode dividir o lado do quadrado de papel em 2 partes iguais?
Sim, é fácil!

3 E em 4? Também é fácil!

4 Agora divida em 3 ... É difícil? É possível dividir em 3, ou mesmo em um número inteiro qualquer, somente dobrando. Vamos ver agora...

5 Divisão em 3 partes (trisecção) 
1º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se T é a intersecção do lado CD com o lado AD, após a dobra que faz coincidir o vértice C com o ponto P, então |DT| = 1/3. B P A B A P E T C D C D

6 Divisão em 3 partes (trisecção) 
2º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se S é o ponto onde se encontra o vértice B, após a dobra CP, e T é o ponto onde inicia a dobra que faz coincidir D com S, mantendo o vértice C fixo, então |DT| = 1/3. P P A B A A P S S T T C D C C D D

7 Divisão em 3 partes (trisecção) 
3º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, consideremos a dobra que leva o ponto P sobre o lado BC, ao mesmo tempo que o vértice C é levado sobre o lado AD. Se T é o ponto do lado AD onde o vértice C se encontra após a dobra, então |DT| = 1/3. P A B A P T C D E D

8 Divisão em n partes  A seguir...

9 Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua P D C B A AD = 1 AP = 1/m Paralela: é a que faz juntar o vértice A com o ponto P, mantendo o lado AB paralelo ao lado CD do quadrado. Obtemos assim o ponto M, intersecção da dobra com o lado AD. P D C B A M P D C B A M AM = 1/(2m)

10 Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua P D C B A AD = 1 AP = 1/m Oblíqua: é a que faz juntar o vértice C com o ponto P, tornando o lado BC oblíquo em relação aos outros. Obtemos assim o ponto N, intersecção do lado BC com o lado AB, após a dobra. P D C B A N P D C B A N BN = 1/(2m-1)

11 PROPOSIÇÃO: A partir de um segmento inicial de medida 1/m, depois de uma dobradura paralela, ele se reduzirá à metade de seu comprimento, passando o segmento derivado a medir 1/(2m); depois de uma dobradura oblíqua, o segmento derivado passará a medir 1/(2m-1). |AM| = 1/(2m) P |AP| = 1/m O |BN| = 1/(2m-1)

12 Demonstração de: |AP| = 1/m  |BN| = 1/(2m-1) x P D C B A N y E

13 Ex.: Dividir o lado do quadrado em 14 partes iguais.
1/14 14 = 2 x 7 P 7 = 2 x 4 – 1 O 4 = 2 x 2 P 2 = 2 x 1 P 1/7 1/4 1/2 1

14 TEOREMA: Em um número com representação binária, associando a cada dígito 1 uma dobradura paralela e a cada dígito 0 uma dobradura oblíqua, a seqüência de dobraduras que leva do lado do quadrado a 1/n dele é dada pela seqüência dos dígitos da representação binária do número n-1.

15 A Árvore das Dobraduras
p O P 1/7 1/6 1/3 1/5 1/4 1/2 1 1/11 1/10 1/9 1/8 1/14 1/13 1/12 1/16 1/15 1/2k+2 O P 1/k+1 1/2k+1 1/2m O P 1/m 1/2m-1

16 A Árvore Binária 1 1 1 1 6 5 2 4 3 9 8 7 2n 2n-1 2k+1 k 2k 2n+1-1 2n-1
6 5 2 4 3 10 9 8 7 13 12 11 15 14 2n 2n-1 1 2k+1 1 k 2k 2n+1-1 2n-1 1

17 Representação binária de n-1
A Árvore Binária 1 6 5 2 4 10 9 8 7 13 12 11 15 14 3 Representação binária de n-1 Ex.: (13)10 = (1101)2 A Árvore das Dobraduras 1/2 P O 1/7 1/6 1/3 1/5 1/4 1 1/11 1/10 1/9 1/8 1/14 1/13 1/12 1/16 1/15 Seqüência de dobraduras para obter 1/n Ex.: 1/14 => P P O P

18 Referências: Revista do Professor de Matemática: nº 16 e nº 50