Transformadas e Decomposição de Sub-banda

Apresentação em tema: "Transformadas e Decomposição de Sub-banda"— Transcrição da apresentação:

1 Transformadas e Decomposição de Sub-banda
Joaquim Macedo Departamento de Informática da Universidade do Minho & Faculdade de Engenharia da Universidade Católica de Angola As propriedades dos sinais de áudio e vídeo e o processo de digitalização foram discutidos nos capítulos anteriores. Quando um sinal é digitalizado, pode ser necessário o seu posterior processamento para várias aplicações, nomeadamente a compressão e melhoramento. O processamento do sinal multimédia pode ser feito efectivamente se se tiver em consideração as nossas limitações auditivas e visuais. Por exemplo vimos na aula 3 que os nossos ouvidos não são muito sensíveis a sinais áudio com frequências acima de KHz. Similarmente os nossos olhos não respondem bem acima de 20 ciclos/grau. Esta dependência dos nosso sentidos do espectro de frequência conduziu ao desenvolvimento de técnicas de processamento de sinal baseados em transformadas e sub-bandas. Nessas técnicas os sinais são decompostos em várias frequências ou componentes de escala. Os vários componentes podem ser então modificados de acordo com a aplicação. Nesta aula vamos discutir principalmente dois tipos de técnicas de decomposição de sinais: transformadas e sub-banda. Embora haja uma série de transformadas propostas na literatura, as transformadas unitárias são as mais populares para representar sinais.

2 Sumário Tranformada Unitária 1-D Transformada Discreta de Fourier 1-D
Transformada Discreta do Coseno 1-D Filtragem Digital e Análise de sub-banda Filtros Digitais Análise de sub-banda Transformadas e Filtragem Digital Transforma Discreta Wavelet 1-D Tranformada Unitária 2-D Transformada Discreta de Fourier 2-D Transformada Discreta do Coseno 2-D Transforma Discreta Wavelet 2-D Uma transformada unitária é um tipo especial de transformada linear onde certas condições ortogonais são satisfeitas. Há várias transformadas unitárias que são usadas em processamento de sinal. Vamos estudar apenas um conjunto seleccionado delas nomeadamente a de fourier, coseno e ondoleta que são bastante usadas no processamento de sinais multimédia. Para além disso, discutiremos também a decomposição em sub-banda que é bastante popular para aplicações de compressão e filtragem. A aplicação dessas técnicas vai ser coberta em próximas aulas. Uma vez que os sinais de áudio são unidimensionais, esses sinais são representados com funções unidimensionais. Por outro lado, as imagens podem ser representadas por funções a 2 dimensões. Similarmente um vídeo pode ser representado como uma função a três dimensões. Contudo, um sinal de vídeo é geralmente analisado usando uma abordagem híbrida para reduzir a complexidade computacional. Nessa abordagem a informação espacial é representada com coeficientes 2D, que são por sua vez analisados na dimensão tempo. Assim vamos focar em transformações 1D e 2D e decomposição de sub-banda.

3 Transformada Unitária 1-D

4 Transformada Unitária 1-D

5 Transformada Unitária 1-D
As duas condições acima asseguram que os vectores debase correspondentes à transformada unitária são ortogonais entre si e que o conjunto dos vectores base é completo. Ser completo significa que não existe um vector diferente de zero que não pertença ao conjunto e que seja ortogonal a tos os vectores base. As duas condições acima são verdadeiras se ou sé se U^(-1)=U^(*T) Apresenta-se a seguir dois casos especiais de transformadas unitárias a de Fourier e do coseno.

6 Transformada Discreta de Fourier 1-D
sequência discreta periódica com N amostras por período. DFT IDFT k-ésimo coeficiente DFT

7 Transformada Discreta de Fourier 1-D

8 Transformada Discreta de Fourier 1-D Exemplo 5.1
Considere uma sequência de 4 pontos f={2,5,7,6}. Calcule os correspondentes coeficientes DFT. Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes DFT e das funções de base DFT Os coeficientes DFT são A sequência de entrada pode ser calculada do seus coeficientes DFT usando a matriz inversa de transformação DFT

9 Transformada Discreta de Fourier 1-D
A DFT duma sequência de tamanho arbitrário pode ser calculada da mesma maneira. As funções de base para transformadas de 8 pontos (que podem ser obtidas da matriz da transformada inversa) são mostradas na figura 5.1 (no slide). Observe que as funçõe de base são funcões exponenciais complexas discretas no tempo. As partes a) e b) da figura mostram a parte real e complexa dessas funções. Observa-se que a parte real da função é um função de amostragem coseno e a parte imaginária uma função de amostragem seno.O Exemplo 5.1 demonstra que um sinal pode ser representado pelo soma de funções de base complexas, cada uma delas ponderada pelo seu coeficiente DFT. Este é o princípio nuclear do processamento de sinal baseado em transformada. A expectativa sujacente é que a representação com funções complexas bem conhecidas nos ajuda no processo de análise.

10 Transformada Discreta de Fourier 1-D Par alternativo
Definição do DFT alternativa Usada por muitas concretizações (MATLAB) Diferença apenas de escala Ortogonal mas mas não ortonormal ou unitária

11 Propriedades da DFT Convulsão Rapidez da concretização
Conservação da Energia e Compactação A DFT é uma das mais importantes transformadas no processamento de imageme do sinal devido às suas propriedades. Apresenta-se aqui um subconjunto seleccionado Convulsão A DFT da convulsão circular ou periódica de duas sequências é igual ao produto das suas DFTs. A Rapidez da concretização Observe que os coeficientes DFT de N-pontos pode ser calculada multiplicando a matriz 2D NxN pela matriz 1D Nx1. Assim, a o cálculo directo da DFT unidimensional com N pontos precisa de NxN operações. Cada uma dessas operações requer uma multiplicação e uma multiplicação e uma adição de complexos. Contudo, devido a uma propriedade especial da matriz de transformação DFT, pode ser mostrado que a complexidade pode ser bastante reduzida. Esses algoritmos são conhecidos como FFT (Fast Fourier Transform). . Um algoritmo FFT popular conhecido como radix-2, tem uma complexidade computacional de (N/2) log(2) N operations. Cada operação, conhecida como buterfly devido a um arranjo especial dos dados, consiste numa multiplicação e duas somas de complexos. As vantagens da computação FFT sobre o método directo é mostrada numa tabela no próximo slide. Conservação da Energia e compactação A transformada de Fourier preserva a energia do sinal, isto é, a nergia dum sinal no domínio do tempo é igual à energia no domínio da frequência. Embora o total da energia não se altere no domínio de Fourier é redistribuída pelos coeficientes de Fourier. Isso vai ser mostrado no exemplo seguinte.

12 Convolução Convolução Circular

13 Fast Fourier Transform
Os coeficientes da DFT de N pontos podem ser calculados multiplicando a matriz de transformação 2D pela matriz 1D O cálculo directo da DFT 1D para uma sequência de N-pontos requer N*N operações onde 1 operação = 1 multiplicação complexa + 1 adição complexa. Há disponíveis algoritmos especiais com uma complexidade muito menor para calcular a DFT. Esses algoritmos são conhecidos como Fast Fourier Transform (FFT).

14 Diferentes algoritmos FFT
Foram propostos na literatura vários algoritmos FFT. Alguns dos mais populares são os seguintes: Radix-2 Radix-4 Split-Radix Winograd Prime Factor

15 Algoritmo Radix-2 Radix-2 é um algoritmo popular para FFT.
Para transformada de N pontos a complexidade computaciona é borboletas onde 1 borboleta = multiplicação complexa + 2 adições complexas O algoritmo FFT usa um arranjo dos dados que parece uma borboleta.

16 Complexidade FT versus FFT
N N2 (FT Directo) N log2 N (FFT) Ganhos Computacionais N2/N log2 N 32 1024 160 6.4 256 65536 2048 10240 102 8192 106496 630

17 Conservação da Energia
A Transformada de Fourier preserva a energia do sinal. A energia do sinal no domínio do tempo ou pixel é idêntica à energia no domínio da frequência. Embora a energia total não mude no domínio de Fourier, a energia é redistribuída entre os coeficientes de Fourier.

18 Exemplo 5.2 Construa um sinal unidimensional dos valores de pixel da linha #100 da figura da Lena a preto e branco. Para evitar o componente DC torne o sinal com média 0 (substraia o valor da média de cada pixel). Calcula a DFT e a energia total nos 20 primeiros coeficientes de Fourier. Compare com a energia total do sinal. O sinal é apresentado na parte a) da figura do slide seguinte.A flutuação abrupta na amplitude corresponde a bordas na direcção horizontal. O espectro de amplitude do sinal com média zero é mostrada na parte b) da figura . Os coeficientes de baixa frequ~encia do DFT caem nos dois extremos (os da parte esquerda é a parte positiva e da parte direita a negativa), enqunato que os componentes de alta frequência ficam a meio. A energia total do sinal (distribuído pelos 512 coeficientes) é 11.3*10^5. Os primeiros 20 coeficientes de frequência mais baixa têm uma energia de 8.6*10^5 que é aproximadamente 76% da energia total. Os restantes coeficientes contêm apenas 24% da energia. Esta propriedade de preservação e compactação da energia é a principal razão da popularidade das técnicas de compressão baseadas na transformada que veremos mais adiante.

19 Compactação de energia com a DFT
Linha horizontal (line# 100) da imagem da lena Espectro de Amplitude

20 Transformada Discreta do Coseno 1-D
A Transformada Discreta do Coseno (DCT) unidimensional para a sequência de entrada f(n) é definida pelo seguinte par: Observe-se que os coeficientes alfa destinam-se a manter a norma das funções base unitárias. Pode ser mostrado que a DCT é real e unitária ao contrário da DFT que exige operações com complexos

21 Matriz da Transformada
DCT 4 pontos

22 Matriz da Transformada Inversa
V.B.-0 V.B.-1 V.B.-2 V.B.-3 V.B.: Vectores de Base

23 Exemplo 5.3 Considere uma sequência de 4 pontos f={2,5,7,6}. Calcule os correspondentes coeficientes DCT. Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes DCT. Substituindo N=4 na equação da definição obtemos os coeficientes DCT da seguinte forma A sequência de entrada pode ser calculada com a matriz da transformada inversa

24 Exemplo 5.3 Fig 5.3,pag. 92 Usando diferentes valores de N na equação da definição da DCT, podem ser calculados os coeficientes da DCT para sequências de comprimento arbitrário. Os vectores de base para DCT de oito pontos são apresentados na parte a) da figura. As características na frequência da DCT são apresentadas na parte b) da figura. Observe que em muitas aplicações de processamento de sinal tal como compressão de áudio e imagem, uma sequência de amostras é dividida em blocos de amostras não sobrepostas. A DCT ou a DFT é então calculada para blocos de dados. Isto é conhecido como transformada do bloco.

25 Propriedades do DCT Energia da Compactação Exemplo 5.4
A DCT tem um excelente desempenho de compatação de energia. Isto é demonstrado com um exemplo. Exemplo 5.4 Considere a linha de varrimento da imagem do Exemplo 5.2. Calcule o DCT e a energia total nos primeiros 20 coeficientes de Fourier. Compare-a com a Energia total do sinal. Compare o desempenho de compactação da energia da DCT e DFT.

26 Compactação da Energia com a DCT
A DCT tem um excelente desempenho na compactação da energia A figura 5.4 mostra os coeficientes da linha de varrimento da Fig 5.2(a). Pode ser mostrado que os primeiros 20 coeficientes da linha de varrimento da imagem têm uma energia total de 9.4X10^5 o que é cerca de 83% da energia total. Comparando os resultados obtidos na Exemplo 5.2, pode-se dizer que a DCT disponibiliza uma melhor compactação que o DFT. 512 pixels: energia total = Primeiros 20 coeficientes DFT capturam 76% daa energia Primeiros 20 coficientes DCT capturam s 83% da energia

27 Relações com a DFT Embora as funções de base da DCT sejam funções discretas de coseno a DCT não é a parte real da DFT. Contudo está relacionada com a DFT. A DCT da sequência Nx1 está relacionada com a seguinte sequência DFT Existe uma transformada DCT rápida com uma complexidade computacional de ordem Segundo, devido à simetria par da sequência equivalente DFT, o sinal recosntruído dos coeficientes DCT quantificados terão uma melhor representação das variações bruscas. A observação acima disponibiliza duas importantes conclusões Existe uma transformada rápida da DCT com a complexidade computacional de O(NlogN) para uma sequência de entrada de N pontos Devido à simetria par da equação acima , o sinal reconstruído dos coeficientes DCT quantificados preservam melhor as variações bruscas. o edge better(?). A utilidade da segunda propriedade vai ser mostrada na aula 8.

28 Filtragem Digital e Análise de sub-banda
As transformadas unitárias São muitos úteis para análise do contéudo de frequência dum sinal Métodos alternativos para análise de frequência de sinais multimédia Filtragem Digital Análise de sub-banda

29 Filtragem Digital

30 Filtro Um filtro é um componente que atenua ou amplifica frequências particulares Fácil de visualizar no domínio da frequência, onde a filtragem é uma multiplicação: Onde F é o espectro da função, G é o espectro do filtro e H é a função filtrada. A multiplicação é ponto a ponto.

31 Parâmetros de Filtros Banda de passagem Banda de transição
Atenuação na stopband A filtragem é um processo de seleccionar ou suprimir certas componentes na frequência dum sinal. Os filtros digitais podem também atenuar ou amplificar cada componente na frequência do sinal de uma quantidade desejada.Por outras palavras, um filtro digital pode definir a forma do espectro na frequência dum sinal. Os filtros digitais são tipicamente especificados em termos da atenuação desejada e dos permitidos dum valor desejado de resposta na frequência. A definição dos vários termos usados é dada a seguir: Banda de passagem (PassBand): A banda de frequência dos componentes que podem passar Banda de paragem (StopBand): A banda de frequência dos componentes que são suprimidos Banda de transição : A banda de frequência entre as duas anteriores em que o ganho muda de alto para baixo ou vice-versa. Ondulação (Ripple): A máxima quantidade que o ganho nas 2 bandas principais se pode desviar do valor nominal. Atenuação na banda de paragem:a mínima quantidade em que os componentes são atenuados na banda de paragem Banda de paragem Ondulação (Ripple) Frequência

32 Parâmetros do Filtro Banda de Passagem: Os componentes da banda de frequência aos quais é permitido a passagem. Banda de Paragem: Os componentes da banda de frequência que são suprimidos. Banda de Transição: a banda de frequência entre a banda passagem e a de paragem onde o sinal varia de alto para baixo ou vice-versa Ondulação: a máxima variação do ganho nominal permitida na banda de passagem ou de paragem. Atenuação da Banda de Paragem: atenuação mínima dos componentes na banda de paragem.

33 Tipos de Filtros Filtros ideais: 4 tipos básicos Lowpass (Passa-Baixo)
Highpass (Passa-Alto) Bandpass (Passa-Banda) Bandstop (Para-Banda) Os filtros podem ser divididos em quatro classes básicas dependendo das respectivas características de ganho: passa-baixo, passa-alto, passa-banda e pára-banda. Idealmente e como se mostra na figura a banda de transição é nula mas isso não é fisicamente realizável. Filtros ideais: 4 tipos básicos

34 Tipo de Filtros Função: F Filtro: G Resultado: H Passa-Baixo  =
Passa-Alto  = Passa-Banda  =

35 Tipos de Filtros

36 Tipos de Filtros Digitais
A equação expressa a relação entre a entrada e a saida um filtro digital. Os coeficientes b(k) indicam a dependência entre a saída para a entrada actual e as N entradas prévias. Os coeficientes a(k) a dependência entre a saída da amostra actual e as M saídas de amostras anteriores. Os filtros podem ser divididos em duas categorias dependenedo dos valores de a(k) e b(k). Se a saida não depender das saídas de amostras anteriores (a(k)=0) e o N é finito, o filtro é chamado Finite Impulse Response (FIR). Se os valores a(k) não forem todos zero ou se N não for finito o filtro é chamado IIR (Infinite Impulse Response). Num filtro FIR o número de impulsos na resposta ao impulso do filtro é finito enqunato que no filtro IIR o número de impulsos é infinito. Os filtros IIR podem produzir uma inclinação bastante grande com poucos coeficientes. Assim, pode ser obtida uma melhor resposta na frequência com baixo custo de concretização. Toadavia, o probelma principal da filtragem IIR é a estabilidade devido à presença de realimentação. Por outro lado os filtros FIR são mais robustos e podem fornecer resposta linear da fase. Assim, na prática a maioria dos sistemas usam na prática a filtragem FIR. Os coeficientes FIR podem ser calculados simplesmente usando a transformada inversa de Fourier da resposta de frequência desejada. A transformada inversa de Fourier do pulso rectangular na frequência é a função sinc.

37 Tipos de Filtros Digitais
Filtros FIR (Finite Impulse Response) Os filtros FIR são constituídos por funções de resposta com número finito de pulsos que são fáceis de concretizar devido ao seu comprimento finito. Filtros IIR(Infinite Impulse response) Os filtros IIR requerem uma resposta com um número infinito de pulsos que tornam a forma em convulsão difícil. Contudo, estes filtros são realizáveis.

38 Filtros FIR e IIR Filtros Finite Impulse Response (FIR) Filters um númro finito de impulsos na sua resposta de impulso. Relação típica entre entrada e saída: Os filtros Infinite Impulse Response (IIR) têm um número infinito de impulsos na sua resposta de impulso. Relação pica entre entrada e saída: output input Os filtros IIR têm geralmente um elemento de feedback

39 Tipos de Filtros Digitais
A transformada inversa de fourier duma resposta de frequência de pulso rectangular é uma função sinc que produz uma resposta de impulso bastante longa como mostrado na figura. É fisicamente impossível realizar este filtro porque requer um nº infinito de impulsos do filtro. Portanto, os coeficientes do filtro são truncados para se obter um filtro FIR com um número infinito de impulsos como mostrado na figura 5.6 a do livro. Contudo uma truncagem directa conduz a uma resposta de frequência pobre (grande oscilação nas características do filtro) devido ao fenómeno de Gibs. Assim a truncagem é feita geralmente usando uma janela de Hamming. Frequência: pulso Tempo: sinc

40 Tipos de Filtros Digitais
Fig. 5.6, pag. 95 Tipos de Filtros Digitais A figura mostra tanto as janelas retangular como a de Hamming com 41 impulsos. As respostas de impulso dos filtros já com a janela são mostrados na parte (c) da Figura.

41 Resposta de Impulso do Filtro Passa baixo
Truncagem A resposta de impulso do FPB ideal tem um número infinito de impulsos

42 Janelas Rectangular & Hamming
Janela Rectangular Janela Hamming Para outros valores de

43 Ganho de Resposta dos filtros P.B.
As características na frequência dessas janelas são mostradas na parte c da Figura. Observa-se que a oscilação Perto da transição é bastante mais pequena para a janela de Hamming. Contudo, a janela de Hamming aumenta o tamanho da banda de transição.Tipicamente a janela de Hamming e a de Kaiser (que é uma janela optimizada) são usadas na concepção de filtros FIR. A resposta de impluso dos filtros FIR com uma determinada frequência de corte podem ser concretizados facilmente usando a função firl do MatLab. A função firl usa a janela de Hamming por defeito. A função firl aceita uma frequência normalizada (relativamente à frequência de amostragem). Por exemplo se quisermos um filtro passa baixo com uma frequência de corte de 3,2 KHz para um sinal de áudio amostrado a 8000 amostras/seg, a frequência de corte vai ser 3200/8000 ou 0.4. O seguinte código MatLab fornece filtros digitais passa-baixo e passa-alto com 9 impulsos com frequência de corte 0.4 filter_lowpass= firl(8,0.4) ; % de oitava ordem , isto é 9 impulsos filter_highpass=firl(8,0.4,’high’); Para filtros passa-banda e para-banda são necessárias duas frequências de corte (baixa e alta). O código seguinte concretiza respostas de impluso (com 9 impulsos), para filtros passa e para banda. filter_bandpass= firl(8,[0.4,0.8]) filter_bandstop= firl(8,[0.4,0.8],’stop’)

44 Ganho da resposta em dB

45 Concretização de Filtros com o MatLab Passa Alto e Passa Baixo
Concretize um filtro P.F e P.A. com uma frequência de cortye de 3200 Hz para um sinal de áudio amostrado ao ritmo de amostras/seg. Frequência de corte = 3200/8000 or 0.4. filter_lowpass = fir1(8,0.4) ; % 8ª ordem, i.e. 9 implusos filter_highpass = fir1(8,0.4,’high’) ;

46 Concretização de Filtros com o MATLAB Passa Banda e Pára Banda
Concretize um filtro passa banda e outro para banda com frequências de corte normalizadas de 0.4 e 0.8. filter_bandpass = fir1(8,[ ]) filter_bandstop = fir1(8,[ ],’stop’)

47 Exemplo de Filtros Exemplos de filtros digitais FIR com 9 impulsos
A frequência de corte dos filtros passa alto e baixo é 0.4 As frequências de corte dos filtros para e passa banda são [0.4,0.8] Filtro Coeficientes Passa-baixo [ – – –0.0061] Passa-alto [ ] Passa-banda [ ] Para-banda [ ] Os coeficientes dos filtros obtidos com aquele código é mostrado na Tabela acima. As correspondentes carcaterísticas do ganho são mostradas na Figura. Observe que as características do ganho são bastante longe das ideias devido ao seu pequeno tamanho.

48 Características de Ganho na Frequência
Fitros de 9 Impulsos Os filtros não têm ganhos com características escarpadas

49 Características de Ganho na Frequência
Filtros de 101-impulsos Se o tamanho do filtro for aumentado melhora as características de frequência do filtro. Contudo, isto também aumenta a complexidade computacional da operação do filtro. Os filtros têm características de ganho escarpadas

50 Análise de sub-banda

51 Análise e síntese de sub-banda
Sub-bandas Sub-bandas 1 1 Banco de Filtros de Análise Processamento/Codificação/ Extracção de características Banco de Filtros de Síntese 2 2 N N Um esquema típico de dum sistema de sub-banda é mostrado na figura. O sinal de entrada passa através duma secção de análise que contém um banco de filtros passa-baixo, passa-banda e passa-alto. As saídas individuais produzidas pelos filtros contém informação de bandas diferentes do sinal de entrada. Assim, os coeficientes de saída correspondentes a um filtro particular são conehcidos colectivamente como uma sub-banda. Por outras palavras, um banco de filtros com N-bandas tem N sub-bandas, representando cada uma (1/N) do espextro de frequência. As bandas dos filtros são concebidos de tal forma a haver uma sobreposição mínima entre a abnda passante dos filtros individuais. Quando a secção de análise produz sub-bandas diferentes, os coeficientes de sub-banda são analisados adequadamente dependendo da aplicação. Os coeficientes de sub-banda processados podem então passar por bancos de filtros de síntese para reconstuir o sinal de entrada. O banco de filtros de síntese são novamente filtros passa-baixo, passa-banda ou passa-alto. Vai-se a seguir apresentar um exemplo para banco de filtros de duas bandas. Os filtros usados num banco podem ser FIR ou IIR. Devido à sua simplicidade, os filtros FIR são os mais utilizados. Sinal de Entrada Sinal de Saída

52 Banco de Filtros de 2 bandas
FPB Processamento FPB + Um banco de filtros de duas bandas é mostrado na Fig. 5.11(a). Ai o sinal de entrada x(n) é passado através de um filtro passa-baixo e passa-alto com respostas de impulso ~h(b) e ~g(n) respectivamente. Uma resposta de frequência típica dos filtros é mostrada na parte b) da figura A banda de passagem do filtro passa-baixo é aproximadamente [Fs/4,Fs/2] onde Fs é a frequência de amostragem. Devido às características do filtro, as larguras de banda dos sinais intermediários x0(n) e x1(n) é aproximadamente metade da largura de banda de x(n). Assim, x0(n) e x1(n) podem ser dizimado por 2 sem violar o critério de Nyquist para obter v0(n) e v1(n). A taxa de dados global depois da dizimação é a mesma da entrada, mas os componentes de frequência foram divididos em duas bandas. Depois da geração de v0(n) e v1(n) , podem ser decompostos novamente por outro de banco de filtros de 2 bandas para obter um total de 4 bandas. Este processo pode ser repetido para obter um número maior de bandas. Uma vez calculadas as saídas dizimadas dos bancos de filtros, os dados de sub-banda estão prontos para posterior processamento. Por exemplo, podem ser quantificados para se conseguir a compressão. Assuma que o sinal provessado é representado por v0(n) e v1(n) para a bandas alta e baixa, respectivamente. A recosntrução de x(n) é como se segue. Os sinais v0(n) e v1(n) são sobre-amostrados por 2 e são obtidos ~x0(n) e ~x1(n). Observe que uma sobre-amostragem por 2 insere um zero entre cada duas amostras. Os sinais ~x0(n) e ~x1(n) são a seguir passados através dos filtros h(n) e g(n) respectivamente. As saídas são então somadas para obter ~x(n). A figura 5.11(b) mostra a resposta de frequ~encia duma classe especial de filtros onde os filtros passa-baixo e passa-alto têm uma resposta simétrica em relação a Fs/4. Por esse facto esses filtros são chamados quadratic mirror filters (QMF). Os filtros passa-alto e passa-baixo não têm uma banda estrita de Fs/4. Por esse facto há um alguma energia de aliasing em v0(n) e v1(n). Contudo, esses filtros têm uma propriedade particular: se os coeficientes originais de sub-banda (sem quantificação) são passados através do banco de filtros de síntese, o alising do banco de síntese cancela o aliasing de v0(n) e v1(n) reconstruíndo o sinal original sem qualquer distorção. FPA FPA 2

53 Características do Ganho de Frequência do QMF
QMF: Quadrature Mirror Filter

54 Categorias de Bancos de Filtros
Reconstrução do Sinal Reversível (Irreversíveis) a sequência de entrada (não)pode ser perfeitamente reconstruída com os coeficientes não quantificados e o banco de filtros de síntese Para-unitários A matriz de transformação num sentido é a inversa da matriz de transformação no sentido contrário Similar a uma transformada ortonormal

55 Condições de Para-Unitários
Um banco de filtros de 2 bandas é chamado para-unitário se forem satisfeitas as 4 condições seguintes: ……..(5.24) ……..(5.25) ……..(5.26) ……..(5.27) Se se encontrar que satisfaça Eq. (5.24), , , podem ser calculadas com as equações seguintes.

56 Bancos de Filtros Condições para para-unitários
Uma questão importante na análise de bancos de filtros é como conceber um banco de filtros e em especial como garantir que ele é para-unitário.Pode ser mostrado que um banco de filtros é para-unitário se cumprir as equações acima. A primeira condição satisfaz a propriedade para-unitária. As outras três condições disponibilizam uma forma conveniente para calcular os restantes três filtros a partir doum dado filtro. As condições estabelecem que se pode encontrar um filtro h(n) que conjuntamente como os seus derivados (~h,g,~g) satisfazem as 4 equações acima, temos a certeza que o banco de filtros é para unitário. Vamos ver um exemplo concreto.

57 Exemplo 5.5 Os outros filtros obtêm-se da forma seguinte:
Considere o filtro passa-baixo : Os outros filtros obtêm-se da forma seguinte: Filtro passa-alto de análise

58 Exemplo 5.5 (..cont.) Filtro passa baixo de análise
Então Filtro passa alto de síntese Então

59 Exemplo 5.6 Considere o filtro passa baixo:
Os outros filtros podem ser obtidos da seguinte forma: Filtro Passa alto de análise : Filtro Passa baixo de análise Filtro passa alto de síntese

60 Cálculo da saída de banco de filtros Exemplo 5.7
Considere o banco de filtros do Exemplo 5.6. Calcule a saída dos vários estágios do banco de filtros para a entrada: Após o primeiro nível de filtros :

61 Exemplo 5.7 (..cont) Depois da dizimação: Depois da sobre-amostragem

62 Exemplo 5.7 (..cont) Após filtro de síntese Saída reconstruída

63 Transformadas e Filtragem Digital
As transformadas unitárias fornecem coeficientes para diferentes frequências Os coeficientes de sub-banda também disponibilizam coeficientes para as diferentes bandas idealmente não sobrepostas no domínio da frequência Pode ser mostrado que as transformadas de bloco são um caso especial de banco de filtros

64 Transformadas e Filtragem Digital
Uma transformada de N-pontos pode ser calculada usando um banco de filtros de N bandas Cada filtro corresponde ao conjugado complexo de uma função de base A saída de cada filtro é dizimada por N Por cada conjunto de N amostras de entrada há uma saída para cada um dos N filtros Essas saídas são basicamente os coeficientes da transformada.

65 Exemplo 5.8 Relação entre transformada e filtragem digital
Considere a sequência de 12 pontos [{2,5,7,6},{1,3,9,4},{6,8,5,7}] Calcule os coeficientes DCT de segunda ordem para cada bloco de 4 coeficientes Pode-se concretizar o DCT como banco de filtros? Usando a equação da transformada DCT os coeficientes de segunda ordem de cada bloco podem ser calculados como [3.1543, , ,0.1585] Sim, os coeficientes DCT podem também ser concretizados usando um banco de filtros. Os coeficientes podem ser calculados passando a sequência de entrada através dum filtro digital com a resposta de impulso [cos pi/8, cos 3pi/8, cos(5pi/8),cos(7pi/8)] que são a função base de 2ª ordem. Observe que quando o filtro digital está em funcionamento, cada bloco de 4 entradas produz uma amostra do da saída do segundo filtro.

66 Exemplo 5.8 (cont.) Usando Eq. (5.18), os coeficientes de 2da ordem de cada bloco podem ser calculados como de cada bloco podem ser calculados como { , , , }. Sim, os coeficientes DCT podem também ser concretizados usando um banco de filtros Os coeficientes de segunda ordem podem ser calculados passando a sequência de entrada através dum filtros digital com a resposta de impulso h = [cos(pi/8), cos(3*pi/8), cos(5*pi/8), cos(7*pi/8)] que é a função de base de segunda ordem Observe que quando o filtro digital está em operação cada bloco de 4 amostras de entrada produzirá uma amostra à saída do filtros de segunda ordem.

67 Transformadas wavelet

68 Limitações da Transformada de Fourier e derivadas
Têm funções de base com muitos impulsos É ineficiente para muitas aplicações Fraco desempenho para análise de sinais não estacionários Dificuldade de estimação das caraterísticas no tempo ou do espaço a partir da amplitude do espectro Más características de flltragem Boa decomposição de sub-banda Só para dados discretos Características unitárias não disponíveis à partida Embora a transformada de Fourier e suas derivadas (tal como a DCT) tenha sido usada intensivamente no processamento de sinal, essas transformadas têm várias limitações. Primeiro, as funções de base têm bastante largura. Por exemplo, para um DFT de 256 pontos, há 256 funções com 256 impulsos. Para representar um pequeno pulso rectangular , é necessário um grande número de componentes na frequência, o que pode ser ineficiente em muitas aplicações tal como processamento de sinal. Segundo, a FT não disponibiliza um bom desempenho para análise de sinal não estacionário. Terceiro é difícil estimar as características do sinal no domínio de tempo (para áudio) ou o domínio espacial (para imagens) a partir do espectro de amplitude de Fourier ou da DCT. Finalmente não disponibilizam boas características de filtragem. A decomposição de sub-banda fornece uma separação eficiente do espectro de frequência. Todavia é adequada apenas para análise de dados discretos. Para além disso, as características unitárias das transformadas são estão disponíveis à partida.

69 Porquê que funções de base longas podem ser indesejáveis?
As funções de base para FT contínuas são infinitamente longas. As funções de base para a transformada discreta de Fourier não são infinitas mas são longas. -- Por exemplo, para a DFT de 256 pontos há 256 funções de base cada uma como 256 impulsos. Em muitas aplicações tal como compressão do sinal, essas funções base longas não são desejáveis. -- Para representar um pequeno pulso rectangular são necessários uma série de componentes na frequência, o que pode degradar a taxa de compressão

70 FT longas e curtas Funções de base de Fourier (suporte infinito)
Funções de base de Fourier de tempo curto (suporte finito)

71 Resolução Tempo-Frequência
time time (a) (b) Wavelets STFT

72 Funções de base de STFT e Wavelets

73 Transformada Discreta Wavelet 1-D
Transformada Wavelet Ferramenta potente e recente Diversas aplicações em ciências e engenharia Melhores técnicas de transformada e decomposição em sub-banda Pode ser considerada uma transformada ou técnica de decomposição em sub-banda Não tem conjunto único de funções de base Funções de base concebidas de acordo com a aplicação Recentemente, a transformada wavelet (WT) paraeceu como uma ferramenta matemática potente em muitas áreas da ciência e da engenharia. A WT disponibiliza as melhores técnicas de transformada e decomposição de sub-banda. A transformada discreta de wavelet (DWT) vai ser apresentada de forma bastante resumida. As funções de base da TF são funções exponenciais complexas que são únicas. As funções de base da DCT são funções de coseno discreta que também são únicas. Contudo, não há um conjunto único de funções de base para a DWT. São concebidas à medida para uma dada aplicação. Vamos aqui considerar as wavelets diádicas (dyadics).

74 Transformada Discreta Wavelet Directa
Uma dada transformada wavelet dyadic é definida de forma única por um filtro FIR passa-baixo e um FIR passa-alto Considere uma sequência discreta de N pontos Os coeficientes DWT são calculados recursivamente usando as equações seguintes Passa-baixo Há uma série de aspectos que precisam de ser observados A sequência de entrada pode ser considerada como coeficientes DWT na escala 0 Os coeficientes DWT c1,k podem ser obtidos com a convulsão entre c0,m e h[-n] e dizimando a saída da convulsão por um factor de 2 (por causa do factor 2k). Similarmente d1,k pode ser obtido com a convusão entre c0,m e g[-n] e dizimando a saída por 2. Os números de coeficientes c1,k e d1,k são N/2 cada C2,k e d2,k podem ser obtidos de c1,k usando um passo simialr ao anterior. O números dos coeficientes c2,k e d2,k são N/4 cada. Coeficientes de escala maos alta podem ser obtidos de forma similar. Só os coeficientes do filtro passa-baixo são dum dado estágio são usados para decomposição posterior. (Não há dj,m no lado direito das equações). As duas equações fornecem um algoritmo simples para calcular os coeficientes wavelet da escala j+1 a partir dos de escala j. Podemos usar o mesmo conjunto de equações para calcular os coeficientes de escala j+2 do coeficiente de escala j+1. Passa-Alto Escala Localização

75 Decomposição Wavelet Há uma série de observações a fazer:
A sequência de entrada pode ser considerada como os coeficientes DWT de escala 0 pode ser obtido pela convulsão de com e dizimando a saída da convulsão por 2 (devido ao factor 2k) pode ser obtido pela convulsão de com e dizimando a saída da convulsão por 2 A decomposição continua recursivamente. Apenas os coeficientes passa baixo são decompostos.

76 Algoritmo em árvore Cálculo dos coeficientes da DWT
A figura mostra um esquema de cálculo dos coeficientes DWT de menor escala de resolução a partir de coeficientes duma dada escala passando-os por um filtro passa-baixo e um filtro passa alto e dizimando as saídas dos filtros por um factor de 2. Este cálculo recursivo é conhecido como algoritmo em árvore. Decomposição de sinal com filtros de análise

77 Decomposição DWT usando matriz
A decomposição pode ser feita através duma multiplicação de matrizes A DWT duma sequência de 8 pontos pode ser calculada com filtros passa-baixo e passa-alto de 4 implusos com a seguinte multiplicação de matrizes : A decomposição pode também ser feita usando multiplicação de matrizes. Assumindo uma sequência discreta de 8 pontos como entrada cj,k(0=<k=<7) e filtros passa baixo e passa alto de 4 impulsos. A função h[n] e g[n] são então relacionadas usando a equação anterior g[n]=(1)^n h[N-1-n] A matriz H 8x8 do lado direito da equação pode ser considerada a matriz de transformada da transformada wavelet. Esta representação é equivalente às matrizes mostradas para DFT e DCT. Se a matriz for unitária, H^-1=H^T.

78 Transformada Inversa DWT Síntese
Utilizando uma abordagem similar à decomposição em wavelet Os coeficientes duma dada escala podem ser reconstruídos com coeficientes de escala superior

79 Transformada Wavelet Inversa
Os coeficientes wavelet duma duma escala podem ser reconstruídos usando os coeficientes de escalas mais altas. Os coeficientes reconstruídos podem ser expressos como se segue: Os coeficientes wavelet duma da escala são sobreamostrados de 2 (i.e inserir um zero entre coeficientes consecutivos) Os coeficientes sobreamostrados são passados por um conjunto de filtros passa-baixo e passa-alto e a seguir adicionados para obter os coeficientes wavelet da escala de resolução superior seguinte.

80 Algoritmo em árvore Cálculo dos coeficientes da DWT
Para transformada inversa de wavelet os coeficientes para uma dada escala podem ser sobre-amostrados por 2 (inserir um zero entre cada duas amostras consecutivas) e passados através dum conjunto de filtros passa-baixo e alto e a seguir adicionados para obter os coeficientes correspondentes à escala de resolução superior. Reconstrução de sinal com filtros de síntese

81 Matriz de Transformada Inversa
A DWT inversa de uma sequência de 8 pontos pode ser calculada com filtros passa-baixo e passa-alto de 4 impulsos usando a seguinte multiplicação de matrizes:

82 Wavelet 1-D: Decomposição e Síntese
Processamento LPF FPB ) ( ˆ n x ) ( ˆ n x ) ( n x ) ( n x FPB LPF ) ( n x ? ) ( n x ? ) ( ~ n h ) ( ~ n h ) ( n v ) ( n v 2 2 2 2 ) ( n h ) ( n h ? ? ) ( ˆ n x ) ( ˆ n x ) ( n x ) ( n x FPA FPA ) ( ~ n g ) ( ~ n g 2 2 2 2 2 ) ( n g ) ( n g ) ( 1 n x ? ) ( 1 n x ? ) ( 1 n v ) ( 1 n v ) ( 1 n x ) ( 1 n x ) ( ˆ 1 n x ) ( ˆ 1 n x

83 Wavelets Daubechies de fase mínima
# Imps n h[n] N=2 L=1 1 N=4 L=2 2 3 N=8 L=4 4 5 6 7 # Imps n h[n] N=12 L=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

84 DWT: Exemplo 5.9 Considere uma sequência de 4 pontos f=[2,5,7,6]. Decomponha a sequência com auxílio da wavelet de dois impulsos dada na tabela 5.3 (Wavelet Haar). Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes de Haar.

85 Exemplo 5.9 (cont.) O coeficientes de Haar do 1º estágio (i.e., escala 1) podem ser calculdos com: Na segunda iteração da recursividade são usados apenas os coeficientes passa baixo

86 Exemplo (..cont) Após rearranjos os coeficientes de Haar ficam
= [ ] Reconstrução do sinal

87 Funções de base para a Wavelet Haar
Fig. 5.13, pag 108 A figura (a) mostra as funções de base para a wavelets de 8 pontos de Haar. A respsota de frequência é mostrada na parte (b) da figura. Observa-se que as as 4 funções de base correspondentes a N=4,5,6 e 7 têm suporte de apenas duas amostras e podem ser consideradas compactas no domínio do tempo. Essas funções de base são a versão shifted uma das outras e têm igual ganho. Elas correspondem à sub-banda de frequência mais alta com maior resolução no tempo e menor resolução na frequência. Consideremos agora as funções de base para n=2 e 3. Essas funções têm suporte para 4 amostras e têm resolução moderada na frequência e no tempo. Finalmente consideremos as funções correspondentes a n=0 e 1 que tem suporte para 8 pixels. Essas funções têm baixa resolução no tempo mas alta resolução na frequência. A adaptação tempo frequência é útil para análise de sinais não estacionários tal como áudio e imagens.

88 Transformadas 2D

89 Transformada Unitária 2-D
Transformada 1-D Útil para análise de sinal 1-D Transformada 2-D Necessária para análise de sinais 2-D Exemplo: imagens Baseada na extensão dos conceitos 1-D

90 Transformada Unitária 2-D
A transformada directa e inversa 2-D são definida com Exemplo: Fourier Cosine Wavelet Hadamard Haar onde = Imagem NxN = Núcleo da t.directa = Núcleo da t.inversa

91 Transformada Unitária 2-D Propriedades
Conservação da Energia Soma dos erros quadráticos Imagens de Base separáveis Preservação da energia: Pode ser mostrado que a transformação 2-D unitária satisfaz a relação de Parseval, i.e: a energia total no domínio da frequência é igual à energia no domínio espacial.A equação preseva a energia do sinal ou equivalente o comprimento do vector I no espaço N^2. A transformação unitária pode ser considerada simplesmente como a rotação do vector I no espaço N^2 dimensional. Por outras palavras a transformação unitária roda as coordenadas de base e as componentes de Teta (os coeficientes da transformada) são as projecções de I nas novas coordenadas de base. Soma dos erros quadráticos: A equação da transformada inversa no slide anterior mostra como a imagem i(m,n) pode ser reconstruída perfeitamente usando NxN (N^2) coeficientes de transformada. Assuma que durante o processamento alguns coeficientes mudam de Teta(k,l) para ^Teta(k,l) devido a erros de transmissão ou compactação irreversível de dados. Se a imagem for reconstruída a partir de ^Teta a imagem reconstruída vai ser diferente da original. Vamos designar essa imagem por î(m,n). Pode ser mostrado que a relação no slide é sempre verdadeira para a transformada unitária.A parte esquerda da equação é o erro quadrático total entre a imagem original e a recosntruída enquanto o lado direito é o erro quadrático entre os coeficientes originais e os com ruído. A relação acima estabelece basicamente que o erro quadrado da reconstrução no domínio de pixels é igual ao erro quadrado na quantificação. O erro é zero se só os N^2 coeficientes originais forem usados para a reconstrução. Esta propriedade foi usada intensivamente para conceber compressão de dados baseada em transformadas. Imagens de Base separáveis: Em muitos casos de interesse prático, os núcleos 2-D são separáveis e simétricos. Assim o núcleo 2-D pode ser expresso como produto de 2 conjuntos de funções de base ortogonais 1-D. A formulação acima revela que a transformação da imagem pode ser feita em dois estágios: tomandao a transformação unitária teta para cada fila da matriz da imagem e a seguir aplicando a transformação *teta para cada coluna do resultado intermédio.

92 Propriedades da Transforma 2-D Conservação da energia
Pode ser mostrado que os coeficientes da transformada 2D unitária satisfazem a relação de Parseval’s, i.e. A energia total no domínio da frequência é igual à energia total no domínio do tempo A transformada unitária preserva a energia do sinal ou de forma equivalente o comprimento no espaço vectorial N-dimensional. Pode ser considerada simplesmente como uma rotação do vector no espaço vectorial N-dimensional. Por outras palavras, a transformada unitária roda as coordenadas de base e os componentes (coeficientes da transformada) são as projeções no novo sistemas de coordenadas.

93 Soma dos quadrados de erros
Assuma que valor de algun(s) dos coeficientes da tarsnformada muda durante o processamento. Esta mudança pode ocorrer na transmissão ou compressão de dados. Se recosntruímos a imagem claculando a transformada inversa usando os coeficientes mudados, a imagem reconstruída é diferente da original. Pode-se mostrar a seguinte igualdade é sempre verdadeira para transformadas unitárias Pixéis Píxeis Coeficientes Coeficientes originais Reconstruídoss originais mudados

94 Imagens de base separáveis
Alguns núcleos 2-D podem ser expressos como o produto de 2 funções ortogonais de base 1-D. Se o operador de transformada 1-D for designado por as transformadas directas e inversas podem ser expressas como Uma transformada separável pode ser concretizada em 2 passos: -- Calcular a transformada unitária de cada fila da matriz da imagem . -- Calcular a transformada unitária de cada coluna dos coeficientes transformados intermédios .

95 Definição da DFT 2D onde

96 Exemplo DFT 2D Calcular a DFT e desenhar o espectro de amplitude da
seguinte image 32x32. A imagem é mostrada na parte (a) da figura e é basicamente uma paralelepípedo rectangular. A DFT é calculado usando o MATLAB e o espectro de amplitude mostrado na parte (b) da figura. Para se perceber melhor, o espectro foi centralizado (a frequência DC no centro). Notou-se que a amplitude do expectro é o 2d_sinc, como seria de esperar. Observe que o rectângulo tem uma largura maior na direcção horizontal quando comparada com a vertical. Isto reflecte-se no espectro. O espectro tem melhor resolução na frequência na direcção horizontal. A assimetria do tamanho do rectângulo tem um efeito oposto no domínio da frequência: o padrão sinc é mais estreito no eixo de frequência horizontal e mais largo no eixo da frequência vertical. Isto acontece geralmente para todas as transformadas devido ao princípio da incerteza: uma melhoria na resolução temporal degrada a resolução na frequência e vice-versa. Observe que a imagem é basicamente um paralelepípedo rectangular. A transformada de Fourier duma função rectangular 1-D é a função sinc. Portanto, a transformada de Fourier duma função rectangular 2-D é a função sinc 2-D.

97 Exemplo DFT 2D (cont.) Por clareza, o espectro (sinc 2D) foi centralizado (a frequência DC no meio). Observe que o rectângulo tem uma largura maior na horizontal quena vertical. Isto reflecte-se no espectro. O espectro tem melhor resolução de frequência na horizontal. .

98 Propriedades da DFT 2D A maior parte das propriedades da DFT 1D podem ser extendidas para a DFT 2D Convolução Correlação Conservação da Energia Soma mínima do erro quadrático

99 Propriedades da DFT 2D Separabilidade
Pode ser mostrado que a DFT 2D é separável O cálculo da DFT para uma imagem pode ser feito em dois passos simples Calcular a DFT 1D de cada fila da imagem A fila é substituída pelos respectivos coeficientes DFT Calcular a DFT 1D de cada coluna da imagem A coluna é substituída pelos respectivos coeficientes DFT

100 Propriedades da DFT 2D Separabilidade
N-1 N-1 N-1 (0,0) (0,0) (0,0) n l l u(m,n) v´(m,l) v(k,l) N-1 N-1 N-1 m m k Transformada das filas Transformada das colunas A matriz de saída 2D representa os coeficientes da DFT 2D da imagem de entrada. O esquema em blocos do cálculo separável da DFT é mostrado na figura. Devido à propriedade da separabilidade, a complexidade NxN da transformada é equivalente à complexidade 2N para a transformada 1-D de N pontos.

101 Exemplo Usando a abordagem de separação, calcular a DFT 2D para a imagem seguinte: Transformada da Fila Imagem original Transformada de fila dos Coeficientes

102 Transformada de coluna
Fila dos coeficientes Coeficientes DFT 2D depois da transformada de coluna

103 Conjugado simétrico dos dados Reais
Se a imagem é real, os coeficientes DFT satisfazem as propriedades de simetria seguintes

104 Compactação da Energia
A DFT disponibiliza uma compactação de energia significativa para a maioria das imagens. Observa-se que a maior parte da energia está concentrada nos quatro cantos da imagem que representam as baixas frequências. Espectro DFT Coeficientes de Baixa Frequência A DFT disponibliza uma compactação significativa da energia para a maioria das imagens. A figura mostra a imagem da Lena e a seu espectro de amplitude DFT. Observa-se que a maioria da energia do espectro se concentra nos quatro cantos que representam as baixas frequências.

105 Definição da DCT 2D

106 Imagens de base para DCT 2D
Figura 5.17, pag. 116 As imagens de base (totalizando 64) correspondentes a uma DCT 8x8 são mostradas na Fig Observa-se que as imagens de base DC representam a intensidade média da imagem. Quando nos movemos horizontalmente numa fila para a direita as imagens de base contêm mais barras verticais .Assim as imagens de base mais à direita representam na maioria os cotornos verticais. Por outro lado

107 Propriedades da DCT 2D As propriedades da DCT 1D podem ser prontamente expandidas para a 2D Compactação da energia na região de baixas frequências A DCT 2D é separável Os coeficientes podem ser calculados usando as transformadas de fila e de coluna

108 DCT 2D: Exemplo 5.12 Usando a abordagem da separabilidade calcular a DCT 2D da imagem

109 Separabilidade Row Transform Column Transform 2-D DCT Coefficients

110 Propriedades da DCT 2D Compactação da energia
Figura 5.18 Como no caso 1D, a DCT 2D pode compactar eficientemente a energia das imagens típicas. A maior parte da energia está concentrada na região de baixa frequência (canto superior esquerdo) Foi mostrado que a DCT disponibiliza uma compactação de energia perto da óptima para a maioria das imagens naturais. Por esse facto foi adoptada como o núcleo de transformada para a maioria das normas de codificação de imagens e vídeos.

111 DCT e DFT duma Imagem DFT DCT

112 Definição da DWT 2D Tal como na 1D não há um único núcleo de transformação Há DWT 2D unitárias e outras que não Wavelets bi-ortogonais (não unitárias) populares na compressão de imagens Há DWT 2D separáveis e outras que não A maioria das DWT 2D são dyadic e separáveis Na DWT 1D, cada nível de decomposição corresponde a 2 bandas de dados(alta e baixa resolução) Na DWT 2D cada nível produz 4 bandas Baixa, bandas altas verticais, horizontais e diagonais

113 Wavelets 2D Separáveis

114 Wavelets 2-D

115 Decomposição Wavelet da Imagem da Lena

116 Informacão Espacial e de Frequência
Todas as sub-bandas disponibilizam informação espacial e de frequência A estrutura espacial da imagem é visível em todas as sub-bandas. Pode ser observada uma imagem na banda de mais baixa resolução. As bandas de alta frequência disponibilizam as informação detalhada (arestas) nas várias escalas.

117 Representação Multi-Resolução
A decomposição wavelet disponibiliza uma representação multi-resolução da imagem. Uma imagem grosseira é disponibilizada na banda de baixa frequência. Pode-se obter uma imagem de resolução mais alta calculando a transformada inversa das 4 sub-bandas de menor resolução. A imagem com resolução total obtém-se calculando a transformada inversa das 7 sub-bandas

118 Compactação de energia
As Wavelets têm um excelente desempenho na compactação da energia. Os coeficientes de sub-bandas altas têm pequena magnitude. Assim pode ser conseguida uma maior compactação das imagens quantificando os coeficientes wavelet.

119 DWT 2D: Exemplo 5.13 Considere a imagem da Lena do Ex. 5.2. Calcule
A transformada wavelet de dois estágios usando a wavelet de Daub com 4 impulsos Coeficientes da transformada Para os pixels das diferentes bandas calcule a raiz da energia quadrática média Como na situação 1D, ver figura 5.2, a decomposição multi-estágio da DWT 2D pode ser executada pela decomposição recursiva da banda LL.