Análise econômica & Método Dual Prof. Diego Fernandes Emiliano Silva

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1 Análise econômica & Método Dual Prof. Diego Fernandes Emiliano Silva
Programação linear Análise econômica & Método Dual Prof. Diego Fernandes Emiliano Silva

2 Análise Econômica Simplex

3 Método Simplex – análise econômica
A análise econômica se baseia nos coeficientes das variáveis e na função objetivo final. Tomando como exemplo: No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção. Os preços de vendas foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.

4 Método Simplex – Resolução
Variáveis de decisão: x1 → quantidade produzida de P1 x2 → quantidade produzida de P2 x3 → quantidade produzida de P3 Função Objetivo: Maximizar lucro: z = x x x3 Restrições: 6 x1 + 4 x2 + 6 x3 ≤ 4800 (horas de trabalho) 12 x1 + 6 x2 + 2 x3 ≤ 7200 (horas máquina) x1 ≤ 800 (demanda P1) x2 ≤ 600 (demanda P2) x3 ≤ 600 (demanda P3) x1, x2 e x3 ≥ 0 (restrições de não negatividade)

5 Método Simplex – quadro final
VB: X1 = 280 X2 = 600 X3 = 120 Xf3 = 520 Xf5 = 480 VNB: Xf1 = 0 Xf2 = 0 Xf4 = 0 Resultado: Z =

6 Simplex – Análise econômica
(1) A empresa deve produzir: 280 unidades de P1; 600 unidades de P2 e 120 unidades de P3. (2) Observe que xf3 refere-se a RT de demanda de P1 e xf5 refere-se a RT de demanda de P3. Após o programa de produção, sobram ainda disponível 520 unidades do mercado de P1 e 480 unidades de mercado de P3. (3) O custo de oportunidade do recurso horas de trabalho (xf1) é igual a 50. Isso indica: (a) Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos custos correntes, poderemos aumentar nosso lucro em 50. Dessa forma, o lucro da empresa aumentaria para R$ ,00; (b) Para justificar horas extras, o valor máximo a ser pago é de R$ 50,00. Exemplo: Supondo que a hora extra é igual à R$ 20,00, soma-se R$ 30,00 no lucro. Dessa forma, o lucro da empresa seria R$ (c) Para cada hora a menos trabalhada, devemos subtrair R$ 50,00 do lucro.

7 Simplex – Análise econômica
(4) O custo de oportunidade do recurso horas máquina (xf2) é igual a 150. Isso indica: (a) Contratar mais uma hora de máquina aos custos correntes implica em aumento no lucro de R$ 150,00. No caso contrario, caso a máquina fique parada uma hora, o lucro se reduz em R$ 150,00; (b) Supondo que exista a probabilidade da máquina quebrar de 80%, e o seu reparo necessite de 1 hora de conserto. A expectativa de prejuízo é igual: 150*0,8 = 120 (sem contar os custos de manutenção). (5) O mercado para P1 (xf3) e P3 (xf5) indica que ele não é escasso. Isso pode levar a rever o plano de negócios destes dois produtos. (a) Diminuindo os investimentos para P1 e P3, não afetará nossas vendas que trabalha com folga. Isso trará lucro maior. (b) Outra medida seria aumentar o preço de P1 e de P3, desde que o mercado não se retraia além da produção. (6) O custo de oportunidade da demanda de mercado para P2 (xF4) é igual a 100. Isso indica: (a) Se aumentarmos em 1 unidade P2, o lucro aumenta em R$ 100,00. Da mesma forma, se uma unidade de P2 não for produzida, o nosso lucro diminui em R$ 100,00; (b) O departamento de marketing pode ser útil nesta situação. Exemplo: Se ele gastar R$ 80,00 para aumentar em 1 unidade a produção e venda de P2, o investimento traria um retorno líquido de R$ 20,00 ( ).

8 Fazer análise econômica do exercício
Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de três recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120 por unidade e P2, $ 150 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Fazer uma análise econômica do problema.

9 Método DUAL

10 Dual Cada modelo de PL Primal possui um modelo Dual
Problema original é chamado de Primal Basicamente ele facilita a resolução de problemas onde o número de restrições é grande Através do modelo Dual podemos desenvolver facilmente análise de sensibilidade e análise econômica do problema estudado O Dual de um problema Dual é o próprio problema primal

11 Do PRIMAL para o DUAL Problema Primal Problema Dual
Maximizar: 𝑀𝑎𝑥 𝑍=2 𝑥 1 + 1𝑥 2 SA 1 𝑥 1 +5 𝑥 2 ≤10 1 𝑥 1 +3 𝑥 2 ≤6 2 𝑥 1 +2 𝑥 2 ≤8 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 Minimizar: 𝑀𝑖𝑛 𝐷=10 𝑦 1 +6 𝑦 2 +8 𝑦 3 SA. 1𝑦 1 + 1𝑦 2 +2 𝑦 3 ≥2 5 𝑦 1 +3 𝑦 2 +2 𝑦 3 ≥1 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ≥0 PRIMAL DUAL Primal maximizar dual minimizar Restrições <= restrições >= Variáveis não negativas variáveis não negativas

12 Exemplo: PRIMAL para o DUAL
Problema Primal Problema Dual Maximizar: 𝑀𝑎𝑥 𝑍= 𝑥 1 + 2𝑥 2 +3 𝑥 3 SA 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ≤10 2 𝑥 1 + 𝑥 2 +4 𝑥 3 ≤12 𝑥 1 +3 𝑥 2 − 𝑥 3 ≤9 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ≥0 Minimizar: 𝑀𝑖𝑛 𝐷=10 𝑦 𝑦 2 +9 𝑦 3 SA. 𝑦 1 + 2𝑦 2 + 𝑦 3 ≥1 𝑦 1 + 𝑦 2 +3 𝑦 3 ≥2 𝑦 1 +4 𝑦 2 − 𝑦 3 ≥3 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ≥0 PRIMAL DUAL Primal maximizar dual minimizar Restrições <= restrições >= Variáveis não negativas variáveis não negativas

13 Exemplo: PRIMAL para o DUAL
Problema Primal Problema Dual Minimizar: 𝑀𝑖𝑛. 𝑍=3 𝑥 1 + 2𝑥 2 SA 2𝑥 1 + 𝑥 2 ≥10 𝑥 1 +5 𝑥 2 ≥15 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 Maximizar: 𝑀𝑎𝑥. 𝐷=10 𝑦 𝑦 2 SA. 2 𝑦 1 + 𝑦 2 ≤3 𝑦 1 +5 𝑦 2 ≤2 𝑦 1 , 𝑦 2 ≥0 PRIMAL DUAL Primal minimizar dual maximizar Restrições >= restrições <= Variáveis não negativas variáveis não negativas

14 Exemplo: PRIMAL para o DUAL
Problema Primal Problema Dual Maximizar: 𝑀𝑎𝑥. 𝑍= 𝑥 1 + 𝑥 2 +2 𝑥 3 SA 𝑥 1 +2 𝑥 2 ≤10 3 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑥 3 ≤20 𝑥 1 , 𝑥 3 ≥0 ; 𝑥 2 é 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 Minimizar: 𝑀𝑖𝑛. 𝐷=10 𝑦 𝑦 2 SA. 𝑦 1 +3 𝑦 2 ≥1 2 𝑦 1 +4 𝑦 2 =1 𝑦 2 ≥2 𝑦 1 , 𝑦 2 ≥0 Observação: no caso da variável livre, o dual terá restrição de =

15 Quadro Primal para Quadro Dual
VB Xf1 = 10 Xf2 = 12 Xf3 = 9 VNB X1 = 0 X2 = 0 X3 = 0 Z = 0 Dual: VB Yf1 = -1 Yf2 = -2 Yf3 = -3 VNB Y1 = 0 Y2 = 0 Y3 = 0 D = 0 Perceber: X se transforma em yF Xf se transforma em y

16 DUAL Metodologia para resolução é a mesma Quando usar DUAL
Método Gráfico pode ser aplicado para problemas com até duas variáveis de decisão Método SIMPLEX Quando usar DUAL Dado um problema de PL, tanto o Primal quanto o Dual podem ser escolhidos para a resolução de um problema A escolha leva em consideração o esforço computacional (escolher modelo com quantidade de cálculos reduzida) O esforço computacional depende do número de restrições, variáveis artificiais, etc.

17 Exercícios Resolver os exercícios pelo método gráfico e formular o respectivo modelo dual. Exercício 1 𝑀𝑎𝑥. 𝑍=3 𝑥 1 +2 𝑥 2 SA. 𝑥 1 +2 𝑥 2 ≤430 3 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥460 𝑥 1 +4 𝑥 2 ≥420 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 Exercício 2 𝑀𝑖𝑛. 𝑍= 𝑥 1 +2 𝑥 2 SA. 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥2 𝑥 2 ≤3 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤6 𝑥 1 −2 𝑥 2 ≤0 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 Exercício 3 𝑀𝑖𝑛. 𝑍=40 𝑥 𝑥 2 SA. 𝑥 1 ≤8 𝑥 2 ≤10 5 𝑥 1 +3 𝑥 2 ≥45 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0

18 Exercícios – resolvidos
Resolver os exercícios pelo método gráfico e formular o respectivo modelo dual. Exercício 1 𝑀𝑎𝑥. 𝑍=3 𝑥 1 +2 𝑥 2 SA. 𝑥 1 +2 𝑥 2 ≤430 3 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥460 𝑥 1 +4 𝑥 2 ≥420 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 𝑀𝑎𝑥. 𝑍=3 𝑥 1 +2 𝑥 2 Transformando tudo em <= 𝑥 1 +2 𝑥 2 ≤430 −3 𝑥 1 − 𝑥 2 ≤−460 − 𝑥 1 −4 𝑥 2 ≤−420 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 DUAL 𝑀𝑖𝑛. 𝐷=430 𝑦 1 −460 𝑦 2 −420 𝑦 3 𝑦 1 −3 𝑦 2 − 𝑦 3 ≥3 2 𝑦 1 − 𝑦 2 −4 𝑦 3 ≥2 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ≥0

19 Exercícios – resolvidos
Resolver os exercícios pelo método gráfico e formular o respectivo modelo dual. 𝑀𝑖𝑛. 𝑍= 𝑥 1 +2 𝑥 2 Transformando tudo em >= 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥2 − 𝑥 2 ≥−3 −𝑥 1 − 𝑥 2 ≥−6 −𝑥 1 +2 𝑥 2 ≥−0 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 Dual 𝑀𝑎𝑥. 𝐷=2 𝑦 1 −3 𝑦 2 −6 𝑦 3 −0 𝑦 4 𝑦 1 − 𝑦 3 − 𝑦 4 ≤1 𝑦 1 − 𝑦 2 − 𝑦 3 +2 𝑦 4 ≤2 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 , 𝑦 4 ≥0 Exercício 2 𝑀𝑖𝑛. 𝑍= 𝑥 1 +2 𝑥 2 SA. 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥2 𝑥 2 ≤3 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤6 𝑥 1 −2 𝑥 2 ≤0 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0

20 Exercícios – resolvidos
Resolver os exercícios pelo método gráfico e formular o respectivo modelo dual. Exercício 3 𝑀𝑖𝑛. 𝑍=40 𝑥 𝑥 2 SA. 𝑥 1 ≤8 𝑥 2 ≤10 5 𝑥 1 +3 𝑥 2 ≥45 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 𝑀𝑖𝑛. 𝑍=40 𝑥 𝑥 2 Transformando tudo em >= − 𝑥 1 ≥−8 − 𝑥 2 ≥−10 5 𝑥 1 +3 𝑥 2 ≥45 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0 Dual 𝑀𝑎𝑥. 𝐷=−8 𝑦 1 −10 𝑦 𝑦 3 − 𝑦 1 +5 𝑦 3 ≤40 − 𝑦 2 +3 𝑦 3 ≤36 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ≥0