Cálculo Autoconsistente

Apresentação em tema: "Cálculo Autoconsistente"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo Autoconsistente
Ao consideramos o movimento de elétrons nos materiais estamos tratando de um problema de um grande número de elétrons, da ordem de 1023 partículas por cm3, e o entendimento completo e preciso do sistema requer a solução da equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger em si é fácil de ser construída para um sistema de muitos corpos, uma vez que, as propriedades observadas nos materiais podem ser descritas matematicamente com relativa facilidade através de um Hamiltoniano apropriado que leve em conta todas as interações relevantes envolvidas no sistema. Entretanto, com exceção dos sistemas mais simples, a equação de Schrödinger não pode ser resolvida, devido à sua complexidade.

2 A solução encontrada para estudarmos o comportamento dos elétrons nos materiais é desenvolver um modelo teórico aproximado que seja capaz de descrever razoavelmente bem o sistema a ser estudado, e utilizar resultados experimentais disponíveis para ajustar o modelo. A equação de Schrödinger independente do tempo para uma distribuição de elétrons e núcleos pode ser escrita de uma forma geral como E é a energia total T representa a energia cinética dos elétrons e núcleos V e-e é a energia potencial devido à interação elétron-elétron V e-n é a energia potencial devido à interação elétron-núcleo V n-n é a energia potencial devido à interação núcleo- núcleo

3 O comportamento eletrônico dos materiais é ditado pela função de onda (r,R), que depende das posições e coordenadas de spin de todos os N núcleos e dos n elétrons no sistema. Desprezando-se os efeitos spin-órbita e spin-spin Os potenciais elétron-elétron e núcleo-núcleo são somados sobre todas as combinações de pares distintos. Para evitar que cada par seja contado duas vezes, multiplica-se o potencial por 1/2

4 Na forma com que é apresentada
a equação de Schrödinger é intratável. A primeira simplificação a ser feita é a aproximação de Bohr-Oppenheimer, que é usada em quase todos os métodos para se resolver a equação de Schrödinger. A idéia fundamental por de trás desta aproximação é considerar os núcleos tão pesados em comparação aos elétrons que o movimento deles possa ser desprezado frente ao dos elétrons, e a energia potencial de repulsão núcleo-núcleo possa ser considerada constante.

5 Na aproximação de Born-Oppenheimer a energia cinética nuclear (~1/M) é tão pequena no Hamiltoniano que ela pode ser tratada como uma pequena perturbação. Utilizando-se essa aproximação, os movimentos eletrônicos e nucleares podem ser desacoplados, permitindo que a função de onda (r,R) possa ser escrita como o produto levando à simplificações na equação de Schrödinger. Com a separação do movimento dos núcleos e dos elétrons podemos escrever a equação de Schrödinger para o movimento eletrônico de forma bastante simplificada.

6 Outra aproximação usada é devido a Hartree, que considera a função de onda do sistema como o produto de funções de onda de um corpo. Nesta aproximação, as funções de onda satisfazem a equação de Schrödinger de um corpo na presença de um potencial efetivo, interpretado como um potencial médio efetivo Vef(r), devido a todas as outras partículas, que é obtido resolvendo-se a equação de Poisson. A aproximação de Hartree substitui a energia potencial devido a todos os elétrons por um único potencial médio VH (r) = Vef

7 Esta aproximação nos permite introduzir na equação de Schrödinger um potencial efetivo de modo a considerar os efeitos dos outros elétrons. O potencial efetivo é interpretado como uma média do potencial de todos os elétrons, sendo a densidade de carga encontrada somando-se o módulo da função de onda ao quadrado de todos os estados multiplicada pela ocupação destes estados. Por esse motivo essa aproximação é conhecida como método autoconsistente, já que o potencial, dependente da densidade de carga, depende das funções de onda dos estados de um elétron.

8 Além disso, é necessário também uma outra aproximação quando se trata de portadores num semicondutor, a aproximação da massa efetiva. Nesta aproximação os elétrons se movem num potencial periódico como se estivessem livres, ou seja, livres de espalhamento, mas com uma massa m* característica da estrutura de bandas, diferente da massa do elétron livre m0. Com a aproximação da massa efetiva podemos remover a interação núcleo-elétron do Hamiltoniano, pois esta já está sendo considerada no valor da massa efetiva. Sendo assim, finalizamos esta seção com a equação de Schrödinger de um elétron na aproximação da massa efetiva que será utilizada na realização dos cálculos subsequentes.