Análise de equilíbrio em economia

Apresentação em tema: "Análise de equilíbrio em economia"— Transcrição da apresentação:

1 Análise de equilíbrio em economia
Prof. Elisson de Andrade

2 Introdução

3 Modelos e seus “Ingredientes”
Modelo Matemático: conjunto de equações que buscam descrever a realidade Variável: algo cuja magnitude pode mudar (preço, lucro, custo, renda nacional etc) Um modelo pode ser RESOLVIDO gerando soluções para um certo conjunto de variáveis. Ex: qual preço iguala oferta e demanda? Variáveis cujo valor buscamos solucionar no modelo são denominadas VARIÁVEIS ENDÓGENAS

4 Modelos e seus “Ingredientes”
Existem outras variáveis que, por hipótese, são determinadas “fora do modelo” (valores dados) Essas são chamadas de VARIÁVEIS EXÓGENAS Para melhor compreensão: Se quero determinar, num modelo, o preço do trigo, a variável P certamente será endógena (um valor a ser calculado) Se estivermos pensando em Teoria do Consumidor (como escolhem seus produtos), a variável P será dada (exógena)

5 Modelos e seus “Ingredientes”
As variáveis, em geral, aparecem com números fixos (ou constantes) associadas a elas: 7𝑃 ou 0,5𝑅 Constante é uma magnitude que não varia (antítese da variável) Muitos autores, denominam essas constantes de COEFICIENTES O coeficiente, no entanto, pode ser simbólico: 𝑎𝑃 ou 𝛽𝑅 Mas olha que interessante...

6 Modelos e seus “Ingredientes”
Em: 𝑎𝑃 𝑎 é uma constante sem valor específico, ou seja, tem características de variável Nesses casos, damos a 𝑎 o nome de constante paramétrica (ou simplesmente parâmetro) Vejam que um parâmetro se assemelha a uma variável exógena, dada no modelo Por isso, muitos autores não distinguem parâmetros de variável exógena

7 Modelos e seus “Ingredientes”
Notação do Chiang As constantes paramétricas são associadas a letras como 𝑎, 𝑏, 𝑐 ou suas correspondentes 𝛼, 𝛽, 𝛾 Se preço for variável endógena, será simplesmente: 𝑃 Caso seja tratado como variável exógena, será colocado um subscrito: 𝑃 0

8 Equações e Identidade Diferenciemos 3 tipos de equações:
Equação de definição: estabelece uma IDENTIDADE entre duas expressões com mesmo significado. 𝜋≡𝑅−𝐶 (definição) Equação de comportamento: como uma variável se comporta em relação a outra. 𝐶=75+10𝑄 (quero saber como C se comporta em relação a Q) Condição de equilíbrio: relevante somente para modelos de equilíbrio. 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 (condição de equilíbrio entre oferta e demanda)

9 Noções sobre EQUILÍBRIO

10 Equilíbrio Termo bastante utilizado em economia
Acontece quando: variáveis que se relacionam de tal forma que não existe nenhuma tendência a MUDANÇA O equilíbrio depende das variáveis SELECIONADAS: o equilíbrio muda de um modelo mais simples para um mais complexo Todas as variáveis devem estar, simultaneamente, em repouso: por isso também podemos falar em análise ESTÁTICA Não necessariamente o EQUILÍBRIO é uma situação desejável: significa simplesmente que é uma situação que tende a perpetuar-se se não houver uma mudança externa ao modelo

11 Vamos para um primeiro exemplo
Equilíbrio PARCIAL de Mercado

12 Exemplo 1 Suponhamos um mercado com apenas UMA mercadoria
Sendo as variáveis: Qd: quantidade demandada por semana Qs: quantidade ofertada por semana P: preço da mercadoria, em R$ Condição de equilíbrio: excesso de demanda é ZERO Em outras palavras: Qd – Qs= 0

13 Exemplo 1 Mas como Qd e Qs são determinados? Suposição: que as quantidades sejam funções lineares de P Qd = a – bP (a,b >0) Qs = -c + dP (d,c >0) Isso implica na seguinte figura – interpretação geométrica do ponto de equilíbrio

14 Q Qs = -c + dP P1 P -c Hipótese: a oferta será nula se o preço não for positivo e suficientemente alto

15 Q a Qs = -c + dP 𝑄 = 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 Qd = a – bP 𝑃 P -c
𝑄 = 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 equilíbrio Qd = a – bP P1 𝑃 P -c As soluções de equilíbrio de variáveis endógenas serão expressas com uma barra acima das letras que as indicam

16 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 𝑄 𝑑 =𝑎−𝑏𝑃 𝑄 𝑠 =−𝑐+𝑑𝑃
Portanto, achar o equilíbrio, significa achar soluções para as variáveis endógenas 𝑃, 𝑄 𝑑 𝑒 𝑄 𝑠 , indicadas por 𝑃 , 𝑄 𝑑 , 𝑄 𝑠 , que satisfaçam simultaneamente 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 𝑄 𝑑 =𝑎−𝑏𝑃 𝑄 𝑠 =−𝑐+𝑑𝑃

17 Dado o modelo de mercado abaixo, calcule o equilíbrio 𝑃 𝑒 𝑄
𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 𝑄 𝑑 =18−2𝑃 𝑄 𝑠 =−6+6𝑃 Resposta: 𝑃 =3 𝑒 𝑄 =12

18 Agora calculemos o equilíbrio 𝑃 𝑒 𝑄 para um sistema NÃO LINEAR
𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 𝑄 𝑑 =4− 𝑃 2 𝑄 𝑠 =−1+4𝑃

19 Apenas o Primeiro resultado de 𝑃 é Economicamente Admissível. Logo:
Resolução 𝑃 2 +4=4𝑃−1 𝑃 2 +4𝑃−5=0 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 (1,3) 𝑃 = −4± −4 −5 2 𝑃 =1 𝑒 −5 Apenas o Primeiro resultado de 𝑃 é Economicamente Admissível. Logo: 𝑄 =3

20 Equilíbrio GERAL de Mercado

21 Equilíbrio Geral de Mercado
Até aqui 𝑄 𝑑 𝑒 𝑄 𝑠 eram funções exclusivas de seus próprios preços No mundo real: possuímos bens complementares e substitutos, que influenciam o preço do bem analisado Por exemplo, podemos pensar na função demanda como sendo dependente de outras mercadorias relacionadas O mesmo vale para a função oferta Assim, nosso modelo será ampliado e levará em consideração mais de um bem

22 Equilíbrio Geral de Mercado
No modelo anterior, vimos que a condição de equilíbrio dependia apenas de: 𝑄 𝑑 − 𝑄 𝑠 =0 Para avançar, denominemos 𝐸 o excesso de demanda 𝐸≡𝑄 𝑑 − 𝑄 𝑠 =0 Se tivermos n mercadorias, necessariamente teremos n equações: 𝐸 𝑖 ≡ 𝑄 𝑑𝑖 − 𝑄 𝑠𝑖 = 𝑖=1,2,…,𝑛 Se houver solução, existirá um conjunto de preços 𝑃 𝑖 e quantidades correspondentes a 𝑄 𝑖 , tais que todas as n equações da condição de equilíbrio serão satisfeitas simultaneamente

23 Para compreender essa questão, com exemplos mais práticos, suponha um modelo de mercado com DUAS MERCADORIAS

24 (1) 𝑄 𝑑1 − Q s1 =0 COMENTÁRIOS (2) 𝑄 𝑑1 = a 0 + a 1 P 1 + a 2 P 2 a e b pertencem às funções oferta e demanda da primeira mercadoria, enquanto α w β à segunda (3) 𝑄 𝑠1 = b 0 + b 1 P 1 + b 2 P 2 (4) 𝑄 𝑑2 − Q s2 =0 (5) 𝑄 𝑑2 = α 0 + α 1 P 1 + α 2 P 2 Não nos preocupamos com os sinais dos coeficientes, mas no decorrer da análise faremos algumas restrições para que se tenha sentido econômico (6) 𝑄 𝑠2 = β 0 + β 1 P 1 + β 2 P 2 Exercício: Copie as equações acima. Depois substitua a segunda e terceira e equação na primeira. E também a quinta e sexta equação na quarta. IGUALE A ZERO.

25 Modelo 12 Parâmetros 𝑎 0 − 𝑏 0 + 𝑎 1 − 𝑏 1 𝑃 1 + 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑃 2 =0
𝑎 0 − 𝑏 𝑎 1 − 𝑏 1 𝑃 1 + 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑃 2 =0 𝐸 𝑖 ≡ 𝑄 𝑑𝑖 − 𝑄 𝑠𝑖 = 𝑖=1,2 𝛼 0 − 𝛽 𝛼 1 − 𝛽 1 𝑃 1 + 𝛼 2 − 𝛽 2 𝑃 2 =0 12 Parâmetros

26 𝑎 0 − 𝑏 𝑎 1 − 𝑏 1 𝑃 1 + 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑃 2 =0 𝛼 0 − 𝛽 𝛼 1 − 𝛽 1 𝑃 1 + 𝛼 2 − 𝛽 2 𝑃 2 =0 Para facilitar a manipulação algébrica, assumiremos algumas notações abreviadas: 𝑐 𝑖 ≡ 𝑎 𝑖 − 𝑏 𝑖 𝑖=0,1,2 𝛾 𝑖 ≡ 𝛼 𝑖 − 𝛽 𝑖 Portanto, as suas equações iniciais se resumirão a: 𝑐 1 𝑃 1 + 𝑐 2 𝑃 2 =− 𝑐 0 Resolva esse sistema e encontre as expressões para 𝑃 1 e 𝑃 2 𝛾 1 𝑃 1 + 𝛾 2 𝑃 2 =− 𝛾 0

27 Logo, teremos: 𝑃 1 = 𝑐 2 𝛾 0 − 𝑐 0 𝛾 2 𝑐 1 𝛾 2 − 𝑐 2 𝛾 1 𝑃 2 = 𝑐 0 𝛾 1 − 𝑐 1 𝛾 0 𝑐 1 𝛾 2 − 𝑐 2 𝛾 1 𝑃 expresso, exclusivamente, em termos dos parâmetros do modelo Seguem algumas restrições para dar sentido ECONÔMICO: Para que o denominador não seja igual a Zero, requer-se: 𝑐 1 𝛾 2 ≠ 𝑐 2 𝛾 1 Para que os preços sejam positivos, precisamos que numerador e denominador tenham o mesmo sinal Ao calcular os valores de 𝑃 , imediatamente podemos calcular valores de 𝑄

28 Exercício de aplicação do modelo para DUAS MERCADORIAS

29 Calcule as variáveis 𝑃 e 𝑄 , usando as fórmulas:
Calcular a Solução de Equilíbrio 𝑄 𝑑1 =10−2 𝑃 1 + 𝑃 2 Comentários: Nesse modelo simplificado a demanda depende o preço do próprio bem e também da outra mercadoria São, claramente, bens substitutos (olhar o sinal dos coeficientes) 𝑄 𝑠1 =−2+3 𝑃 1 𝑄 𝑑2 =15+ 𝑃 − 𝑃 2 𝑄 𝑠2 =− 𝑃 2 Calcule as variáveis 𝑃 e 𝑄 , usando as fórmulas: Obviamente poderíamos calcular a soluções sem utilizar as fórmulas. Mas o objetivo aqui é exatamente focar em MODELOS MATEMÁTICOS 𝑃 1 = 𝑐 2 𝛾 0 − 𝑐 0 𝛾 2 𝑐 1 𝛾 2 − 𝑐 2 𝛾 1 𝑃 2 = 𝑐 0 𝛾 1 − 𝑐 1 𝛾 0 𝑐 1 𝛾 2 − 𝑐 2 𝛾 1

30 Calcular a Solução de Equilíbrio
Relembrando: 𝑄 𝑑1 = a 0 + a 1 P 1 + a 2 P 2 𝑄 𝑑1 =10−2 𝑃 1 + 𝑃 2 𝑄 𝑠1 = b 0 + b 1 P 1 + b 2 P 2 𝑄 𝑠1 =−2+3 𝑃 1 𝑄 𝑑2 = α 0 + α 1 P 1 + α 2 P 2 𝑄 𝑑2 =15+ 𝑃 − 𝑃 2 𝑄 𝑠2 = β 0 + β 1 P 1 + β 2 P 2 𝑄 𝑠2 =− 𝑃 2 𝑐 𝑖 ≡ 𝑎 𝑖 − 𝑏 𝑖 𝛾 𝑖 ≡ 𝛼 𝑖 − 𝛽 𝑖 𝑃 1 = 𝑐 2 𝛾 0 − 𝑐 0 𝛾 2 𝑐 1 𝛾 2 − 𝑐 2 𝛾 1 = 1.16−12.(−3) −5.(−3)−1.1 = ≅3,71 𝑃 2 = 𝑐 0 𝛾 1 − 𝑐 1 𝛾 0 𝑐 1 𝛾 2 − 𝑐 2 𝛾 1 = 12.1−16.(−5) −5.(−3)−1.1 = ≅6,57

31 Substituindo os resultados abaixo em 𝑄 𝑠1 e 𝑄 𝑠2 , respectivamente:
Continuando Substituindo os resultados abaixo em 𝑄 𝑠1 e 𝑄 𝑠2 , respectivamente: 𝑄 𝑑1 =10−2 𝑃 1 + 𝑃 2 𝑄 𝑠1 =−2+3 𝑃 1 𝑃 1 ≅3,71 𝑄 𝑑2 =15+ 𝑃 − 𝑃 2 𝑃 2 ≅6,57 𝑄 𝑠2 =− 𝑃 2 Temos: 𝑄 𝑠1 =− ,71≅9,13 EQUILÍBRIO 𝑄 𝑠2 =− ,57≅12,14

32 Agora é com você...

33 Calcule o equilíbrio geral do mercado (2 mercadorias)
𝑄 𝑑1 =18−3 𝑃 1 + 𝑃 2 Respostas: 𝑄 𝑠1 =−2+4 𝑃 1 𝑃 1 ≅3,35 𝑄 𝑑2 =12+ 𝑃 −2 𝑃 2 𝑃 2 ≅3,47 𝑄 𝑠2 =− 𝑃 2 𝑄 𝑠1 ≅11,41 𝑄 𝑠2 ≅8,41

34 Poderíamos ter utilizado a notação MATRICIAL para resolver esse exercício

35 Igualando as equações das mercadorias 1 e 2
Calcule o equilíbrio geral do mercado (2 mercadorias) 𝑄 𝑑1 =18−3 𝑃 1 + 𝑃 2 𝑄 𝑑2 =12+ 𝑃 −2 𝑃 2 𝑄 𝑠1 =−2+4 𝑃 1 𝑄 𝑠2 =− 𝑃 2 Igualando as equações das mercadorias 1 e 2 Mercadoria 1 Mercadoria 2 −2+4 𝑃 1 =18−3 𝑃 1 + 𝑃 2 −2+3 𝑃 2 =12+ 𝑃 −2 𝑃 2 −𝑃 1 +5 𝑃 2 =14 7 𝑃 1 − 𝑃 2 =20

36 Logo, chegamos no sistema
7 𝑃 1 − 𝑃 2 =20 −𝑃 1 +5 𝑃 2 =14 Colocando em notação Matricial 𝐴= 7 −1 −1 5 𝑥= 𝑃 1 𝑃 2 𝑑= Pela regra de Cramer 𝐴 =34 𝐴 1 =114 𝐴 2 =118 𝑃 1 = ≅3,35 𝑃 2 = ≅3,47

37 Utilize Matriz para resolver o seguinte problema

38 Calcule os valores de quantidades e preços de equilíbrio.
Suponha que o mercado para CHÁ seja representado pelas seguintes equações 𝑄 𝑐ℎ 𝐷 =100−5𝑃 ­ 𝑐ℎ +3𝑃 ­ 𝑐𝑓 𝑄 𝑐ℎ 𝑆 =−10+2𝑃 ­ 𝑐ℎ Já o mercado de CAFÉ pode ser representado por: 𝑄 𝑐𝑓 𝐷 =120+2𝑃 ­ 𝑐ℎ −8𝑃 ­ 𝑐𝑓 𝑄 𝑐𝑓 𝑆 =−20+5𝑃 ­ 𝑐𝑓 Calcule os valores de quantidades e preços de equilíbrio.

39 RESPOSTAS: 𝑃 𝑐ℎ ≅21,76 𝑄 𝑐ℎ ≅33,52 𝑃 𝑐𝑓 ≅14,12 𝑄 𝑐𝑓 ≅50,60

40 Utilize Matriz para resolver o seguinte problema, com 3 MERCADORIAS

41 Calcule os preços e quantidades de equilíbrio, considerando os produtos: CHÁ, CAFÉ E AÇÚCAR
𝑄 𝑐ℎ 𝐷 =100−5𝑃 ­ 𝑐ℎ +3𝑃 ­ 𝑐𝑓 − 𝑃 𝑎ç 𝑄 𝑐ℎ 𝑆 =−10+2𝑃 ­ 𝑐ℎ 𝑄 𝑐𝑓 𝐷 =120+2𝑃 ­ 𝑐ℎ −8𝑃 ­ 𝑐𝑓 −2 𝑃 𝑎ç 𝑄 𝑐𝑓 𝑆 =−20+5𝑃 ­ 𝑐𝑓 𝑄 𝑎ç 𝐷 =300−10𝑃 ­ 𝑐ℎ −5𝑃 ­ 𝑐𝑓 − 𝑃 𝑎ç 𝑄 𝑎ç 𝑆 =15𝑃 ­ 𝑎ç

42 Resposta: