MATEMÁTICA.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "MATEMÁTICA."— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA

2 Matemática Ciência e aplicações
Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze De Almeida – 3º ano Ensino Médio

3 4º Bimestre Resumo do bimestre
Neste bimestre foram trabalhados os temas: Polinômios – definição Função polinomial Polinômio nulo, valor numérico e raiz de um polinômio Polinômios idênticos Operações com polinômios Divisão de polinômios – método da chave Divisão por x – a e Teorema do resto Dispositivo prático de Briot- Ruffini Equações algébricas – introdução Definições Teorema fundamental da Álgebra e Teorema da decomposição Função polinomial – interpretação gráfica Multiplicidade de uma raiz Relações de Girard Raízes complexas e pesquisa de raízes racionais Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

4 an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS DEFINIÇÃO Polinômio Um polinômio na variável x é uma expressão dada por: an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 em que: an, an−1, …, a2, a1, a0 são números complexos chamados coeficientes do polinômio; a0 é o coeficiente independente do polinômio. todos os expoentes de x: n, n − 1, …, 2, 1, 0 são números naturais. cada uma das parcelas an ⋅ xn, an − 1 ⋅ xn − 1, …, a1 ⋅ x, a0, corresponde a um termo do polinômio. o grau do polinômio é o número natural igual ao maior expoente de x, cujo termo apresenta coeficiente não nulo. x pode assumir qualquer valor complexo. an é o coeficiente dominante do polinômio. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

5 Função polinomial Polinômio nulo Valor numérico
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS FUNÇÃO POLINOMIAL Função polinomial Vamos considerar uma função f: ℂ → ℂ, que a cada x ∈ ℂ associa o polinômio an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0, isto é, f(x) = an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0. A função f recebe o nome de função polinomial. Polinômio nulo Polinômio nulo (ou polinômio identicamente nulo) é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Assim, o polinômio an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 é nulo, se an = an − 1 = … = a1 = a0 = 0. Pelo fato de possuir todos os coeficientes iguais a zero, não se define o grau de um polinômio nulo. Valor numérico Professor, comente com seus alunos que não é definido grau para um polinômio identicamente nulo. Seja α ∈ ℂ e p o polinômio definido por p(x) = an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0. O valor numérico de p em α é igual ao número complexo obtido quando substituímos x por α e efetuamos as operações indicadas, isto é: p(α) = an ⋅ αn + an − 1 ⋅ αn − 1 + …+ a1 ⋅ α + a0 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

6 Polinômios iguais ou idênticos
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS RAIZ DE UM POLINÔMIO Raízes de um polinômio Seja α ∈ ℂ. Dizemos que α é raiz do polinômio p(x) = an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0, se p(α) = 0, isto é: an ⋅ αn + an − 1 ⋅ αn − 1 + …+ a1 ⋅ α + a0 = 0 Polinômios iguais ou idênticos f e g são dois polinômios respectivamente definidos por: f(x) = an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 e g(x) = bn ⋅ xn + bn − 1 ⋅ xn − 1 + …+ b1 ⋅ x + b0 f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ ℂ Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

7 Adição Subtração Multiplicação
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Sejam: P x =2 x 2 +2x−1 e Q x =x 3 +3x+2 Adição Subtração P x +Q x = 0 x 3 +2 x 2 +2x−1 +(1 x 3 +0 x 2 +3x+2) P x −Q x = 0 x 3 +2 x 2 +2x−1 −(1 x 3 +0 x 2 +3x+2) P x +Q x = 0+1 x x x+(−1+2) P x −Q x = 0−1 x 3 + 2−0 x 2 + 2−3 x+(−1−2) P x +Q x = x 3 +2 x 2 +5x+1 P x −Q x = −x 3 +2 x 2 −x−3 Sejam: P x = x 2 +2x−3 e Q x =x 3 +2 Multiplicação P x . Q x = x 2 +2x−3 . ( x 3 +2) P x . Q x = x 2 . x 3 + x x . x 3 +2x . 2−3. x 3 −3 . 2 P x . Q x = x 5 +2 x 4 −3 x 3 +2 x 2 +4x−6 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

8 Assim, q(x) = 3x − 2 e r(x) = 0, ou seja, r(x) é o polinômio nulo.
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS Método da chave Antes de fazermos a divisão entre dois polinômios, vamos lembrar o procedimento para a divisão de dois números inteiros: Dados dois polinômios f(x) e g(x), com g(x) ≠ 0. Dividir o dividendo f(x) pelo divisor g(x) é determinar dois outros polinômios, o quociente q(x) e o resto r(x), que verifiquem as seguintes condições: f(x) = g(x) ⋅ q(x) + r(x) Grau de r(x) < grau de g(x) ou r(x) = 0 (isto é, r(x) é o polinômio nulo) Vamos efetuar a divisão de f(x) = 3x³ − 14x² + 23x − 10 por g(x) = x² − 4x + 5: Observe que a divisão inteira está encerrada, pois 3 < 8. Note que 195 = 8 ⋅ Esse mesmo processo será utilizado em seguida para a divisão entre dois polinômios. Assim, q(x) = 3x − 2 e r(x) = 0, ou seja, r(x) é o polinômio nulo. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

9 O resto da divisão de um polinômio f(x) por x − a é igual a f(a)
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS DIVISÃO Divisão por x - a Considerando como dividendo um polinômio f de grau n (n ≥ 1), temos: O grau de q(x) é n − 1. Como o grau do resto deve ser menor que o grau do divisor, temos: grau r(x) < grau r(x) = 0 ou r(x) = 0 r(x) = k (k ∈ ℂ, k ≠ 0) r(x) é o polinômio nulo Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio f(x) por x − a é igual a f(a) Um polinômio f é divisível por x − a se, e somente se, a for raiz de f. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

10 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
CAPÍTULO 8 - POLINÔMIOS DIVISÃO Dispositivo prático de Briot-Ruffini Veja o roteiro desse dispositivo para a divisão de p(x) = x³ − 4x² + 5x − 2 por g(x) = x − 3 1. Calculamos a raiz do divisor de g(x) e, ao seu lado, colocamos os coeficientes ordenados do dividendo f(x), segundo potências de expoentes decrescentes de x 3. Adicionamos o produto obtido (3) ao coeficiente seguinte (−4). A soma (3 + (−4) = −1) é colocada abaixo desse coeficiente. 4. Com a soma obtida (−1), repetimos as operações (multiplicamos pela raiz e adicionamos o coeficiente seguinte), e assim por diante. 2. Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo (1) e o multiplicamos pela raiz do divisor. O último dos números obtidos no dispositivo é o resto da divisão. Assim, r(x) = 4. q(x) = 1 ⋅ x2 − 1 ⋅ x + 2 = x2 − x + 2 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

11 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
introdução Equações algébricas A folha retangular seguinte possui 33 cm de comprimento e 20 cm de altura e será recortado um quadrado em cada vértice do retângulo para a construção de uma caixa sem tampa. Para que o volume da caixa seja de 1050 cm³, qual deverá ser a medida do lado de cada quadrado retirado? Observe as figuras: Para resolver esse problema, devemos resolver a equação polinomial (ou equação algébrica) (33 − 2x) ⋅ (20 − 2x) ⋅ x = 1050. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

12 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
DEFINIÇÕES Equações algébricas Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível à forma p(x) = 0, em que: p(x) = an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 , com an ≠ 0 , é um polinômio de grau n, sendo n ≥ 1, com coeficiente em ℂ, e cuja incógnita x pode assumir um valor qualquer em ℂ. Raiz r é raiz de uma equação p(x) = 0, se r for raiz do polinômio p(x). Professor, comente com seus alunos que também é possível fazer a divisão de um polinômio p(x) por outro do tipo ax + b (a ≠ 0) usando o dispositivo de Briot Ruffini. Conjunto solução É o conjunto de todas as raízes da equação algébrica, considerando ℂ o conjunto universo. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

13 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (TFA) Todo polinômio de grau n, n ≥ 1, admite ao menos uma raiz complexa Teorema da decomposição Seja p(x) um polinômio de grau n, n ≥1, dado por: p(x) = an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 , com an ≠ 0. Então, p(x) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau sob a forma: p(x) = an ⋅ (x − r1) ⋅ (x − r2) ⋅ …⋅ (x − rn) Professor, comente com seus alunos que se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica for nula, então o número 1 é raiz dessa equação. Professor, comente com seus alunos que em uma equação decomposta em fatores do 1° grau, de cada um desses fatores, obtemos uma raiz. Onde: r1, r2, …, rn são as raízes de p(x) e an é o coeficiente dominante de p(x). Consequência do Teorema da decomposição Toda equação polinomial de grau n, n ≥ 1, admite exatamente n raízes complexas. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

14 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
FUNÇÃO POLINOMIAL – INTERPRETAÇÃO GRÁFICA Interpretação gráfica A figura apresenta parte do gráfico da função f, crescente em ℝ, definida por: f(x) = x3 + ax2 + bx + c, com a, b e c reais. O gráfico de f intersecta o eixo x uma única vez, no ponto (2, 0). Isso significa que x = 2 é a única raiz real do polinômio (note que, por hipótese, f é crescente para todo x ∈ ℝ). A interseção do gráfico de f com o eixo y em (0, −4) fornece o valor do coeficiente independente c do polinômio, pois se x = 0, f(0) = −4, isto é, 03 + a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = −4 ⟹ c = −4. Além disso, f(1) = −1 e f(2) = 0, o que faz concluir que a = −4 e b = 6. Desse modo, a lei que define f é f(x) = x3 − 4x2 + 6x − 4 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

15 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
RAÍZES Multiplicidade de uma raiz O número complexo r é uma raiz de multiplicidade m (m ∈ ℕ, m ≥ 1) da equação p(x) = 0 se a forma fatorada de p(x) é: P(x) = (x – r) . (x – r) (x-r).q(x) m fatores isto é: p(x) = (x − r)m ⋅ q(x), com q(r) ≠ 0 Observações: 1. p(x) é divisível por (x − r)m. 2. A condição q(r) ≠ 0 significa que r não é raiz de q(x); desse modo, p(x) não é divisível por (x − r)m + 1. 3. Se m = 1, dizemos que r é raiz simples (ou de multiplicidade 1); se m = 2, r é chamada de raiz dupla (ou de multiplicidade 2); se m = 3, r é a raiz tripla (ou de multiplicidade 3), e assim por diante. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

16 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
RELAÇÕES DE GIRARD – RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES Relações de Girard Equação do 2º grau Equação de grau n Sejam r1 e r2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Temos: Seja a equação an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 = 0, com an ≠ 0 e r1, r2, …, rn suas raízes, temos: 𝑟 1 + 𝑟 2 =− 𝑏 𝑎 𝑟 1 . 𝑟 2 = 𝑐 𝑎 𝑟 1 + 𝑟 2 +…+ 𝑟 𝑛 =− 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛 (soma das n raízes) r 1 . r 2 + r 1 . r 3 +…+ r n . r n−1 = a n−1 a n (soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas) Equação do 3º grau Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0. Temos: 𝑟 1 . 𝑟 2 . 𝑟 3 + 𝑟 1 . 𝑟 2 . 𝑟 4 +…+ 𝑟 𝑛−2 . 𝑟 𝑛−1 . 𝑟 𝑛 =− 𝑎 𝑛−3 𝑎 𝑛 (soma dos produtos das raízes tomadas três a três) 𝑟 1 + 𝑟 2 + 𝑟 3 =− 𝑏 𝑎 𝑟 1 . 𝑟 2 + 𝑟 2 . 𝑟 3 + 𝑟 1 . 𝑟 3 = 𝑐 𝑎 𝑟 1 . 𝑟 2 . 𝑟 3 =− 𝑑 𝑎 𝑟 1 . 𝑟 2 . …. 𝑟 𝑛−1 . 𝑟 𝑛 =− −1 𝑛 . 𝑎 0 𝑎 𝑛 (produto das n raízes) Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

17 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
RAÍZES Raízes complexas Se um número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais, então seu conjugado z = a – bi também é raiz dessa equação. Observações: Se um número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, é raiz com multiplicidade m de uma equação polinomial, então seu conjugado z = a – bi, com b ≠ 0, também é raiz com multiplicidade m dessa equação. E uma equação de coeficientes reais, as raízes complexas não reais sempre ocorrem aos pares (z e z ). Uma equação polinomial de coeficientes reais, de grau ímpar, apresenta pelo menos uma raiz real. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre

18 CAPÍTULO 9 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
RAÍZES Teorema das raízes racionais O teorema seguinte nos ajudará a pesquisar possíveis raízes racionais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros. Seja a equação de coeficientes inteiros an ⋅ xn + an − 1 ⋅ xn − 1 + …+ a1 ⋅ x + a0 = 0, com an ≠ 0. Se o número racional p q , p ∈ ℤ e q ∈ ℤ*, com p e q primos entre si, é raiz dessa equação, então p é divisor de a 0 e que é divisor de a n . Observação: Professor, comente com seus alunos que numa equação algébrica, se 𝑎_𝑛 for igual a 1 ou –1 e essa equação admitir raízes racionais, então, essas raízes serão inteiras. O teorema das raízes racionais não garante a existência de raízes racionais em uma equação com coeficientes inteiros. Caso existam raízes racionais, o teorema fornece todas as possibilidades para tais raízes. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 4º Bimestre


Carregar ppt "MATEMÁTICA."
Anúncios Google