MATEMÁTICA.

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1 MATEMÁTICA

2 Matemática Ciência e aplicações
Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze De Almeida – 3º ano Ensino Médio

3 2º Bimestre Resumo do bimestre
Neste bimestre foram trabalhados os temas: As cônicas – introdução Elipse Hipérbole Parábola Estatística básica – introdução Medidas de centralidade – Média aritmética, média aritmética ponderada, moda e mediana Medidas de dispersão – Amplitude, variância, desvio padrão e desvio médio Medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

4 Secções cônicas Circunferência Elipse Parábola Hipérbole
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS INTRODUÇÃO Secções cônicas São curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano α. Circunferência Elipse Parábola Hipérbole Professor, comente com seus alunos que se o plano for paralelo ao plano da base, teremos uma circunferência que também é uma cônica. Quando o plano α for perpendicular ao eixo e do cone. Se o plano passa pelo ponto V do cone, a seção obtida é um ponto. Quando o plano α for paralelo a uma geratriz do cone. Quando o plano α for paralelo a uma geratriz do cone. Quando o plano α for paralelo ao eixo do cone. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

5 elipse = {p ∈ α | PF1 + PF2 = 2a}
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS ELIPSE Elipse Dados dois pontos distintos F 1 e F 2 , pertencentes a um plano 𝛼 ,seja 2c a distância entre eles e O o ponto médio de F 1 F 2 . Elipse é o conjunto dos pontos de 𝛼 cuja soma das distâncias F 1 e F 2 é igual à constante 2a (2a < 2c). F 1 e F 2 →focos O → Centro A 1 A 2 →eixo maior 2a → medida do eixo maior B 1 B 2 →eixo menor 2b → medida do eixo menor A 1 A 2 e B 1 B 2 são perpendiculares entre si 2c → distância focal 𝑐 𝑎 → excentricidade elipse = {p ∈ α | PF1 + PF2 = 2a} a2 = b2 + c2 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

6 Equações reduzidas das elipses com centro na origem
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS ELIPSES Equações reduzidas das elipses com centro na origem O eixo maior está contido em Ox e o eixo menor em Oy. O eixo maior está contido em Oy e o eixo menor em Ox. 𝑦 2 𝑎 𝑥 2 𝑏 2 =1 𝑥 2 𝑎 𝑦 2 𝑏 2 =1 Equações reduzidas das elipses com centro fora da origem Centro em O’( 𝑥 𝑂 , 𝑦 𝑂 ) e eixo maior paralelo a Ox. Centro em O’( 𝑥 𝑂 , 𝑦 𝑂 ) e eixo maior paralelo a Oy. (𝑥− 𝑥 𝑂 ) 2 𝑎 (𝑦− 𝑦 𝑂 ) 2 𝑏 2 =1 (𝑦− 𝑦 𝑂 ) 2 𝑎 (𝑥− 𝑥 𝑂 ) 2 𝑏 2 =1 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

7 𝐴 1 𝐴 2 eixo real ou transverso
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS HIPÉRBOLE Hipérbole Dados dois pontos distintos F 1 e F 2 , pertencentes a um plano 𝛼 ,seja 2c a distância entre eles e O o ponto médio de F 1 F 2 . Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias entre F1 e F2 é igual a constante 2a (0 < 2a < 2c). F 1 e F focos da hipérbole O centro da hipérbole 𝐴 1 𝐴 eixo real ou transverso 2c distância focal, em que c = O F 1 =O F 2 2a medida do eixo real, em que a = O A 1 =O A 2 e = 𝑐 𝑎 excentricidade B 1 (0,b) e B 2 (0, -b) não pertencem à hipérbole mas determinam o segmento de medida 2b , que é chamado eixo imaginário da hipérbole. a2 = b2 + c2 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

8 Equações reduzidas das hipérboles
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS EQUAÇÃO REDUZIDA Equações reduzidas das hipérboles Os focos F1 e F2 estão contidos no eixo Ox Os focos F1 e F2 estão contidos no eixo Oy 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 𝑦 2 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑏 2 =1 Equações das hipérboles com centro fora da origem Centro em O’( 𝑥 𝑂 , 𝑦 𝑂 ) e eixo real paralelo a Ox. Centro em O’( 𝑥 𝑂 , 𝑦 𝑂 ) e eixo real paralelo a Ox. (𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 − (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 =1 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑎 2 − (𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑏 2 =1 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

9 CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS HIPÉRBOLE Funções recíprocas A função y= k x , sendo k uma constante real, é denominada de função recíproca e seu gráfico é uma hipérbole representada ao lado. Professor, peça para seus alunos darem a equação da hipérbole equilátera com centro na origem do plano cartesiano. Hipérbole equilátera Dizemos que uma hipérbole é equilátera, se sua equação apresenta a = b. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

10 parábola = {p ∈α | PF = PP'}
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS PARÁBOLA Parábola Dados um ponto F pertencente a um plano α e uma reta d contida em α, com F ∉ d, seja p a distância entre o ponto F e a reta d. Parábola é o conjunto dos pontos de α que estão à mesma distância de F e de d. parábola = {p ∈α | PF = PP'} F →foco d → diretriz p → paramerto V → vértice VF → eixo de simetria (reta que passa por F e é perpendicular à diretriz VF= p 2 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

11 Equações reduzidas das parábolas com vértice na origem
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS PARÁBOLAS Equações reduzidas das parábolas com vértice na origem O vértice na origem e foco no eixo das abscissas. O vértice na origem e foco no eixo das ordenadas. 𝑦 2 =2𝑝𝑥 𝑥 2 =2𝑝y Equações das parábolas com centro fora da origem Vértice em V( 𝑥 𝑂 , 𝑦 𝑂 ) e VF paralelo a Ox. Centro em O’( 𝑥 𝑂 , 𝑦 𝑂 ) e eixo maior paralelo a Oy. (𝑦− 𝑦 0 ) 2 =2𝑝(𝑥− 𝑥 0 ) (𝑥− 𝑥 0 ) 2 =2𝑝(𝑦− 𝑦 0 ) Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

12 Equação da parábola e a função quadrática
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS PARÁBOLAS E FUNÇÕES QUADRÁTICAS Equação da parábola e a função quadrática Uma parábola de equação (x − x0)2 = 2p(y − y0) possui vértice V(x0, y0) e eixo de simetria vertical pode ser escrita na forma: x2 − 2x0x + x02=2py − 2py0 ou ainda: a = 1 2𝑝 𝑦= 1 2𝑝 𝑥 2 − x0 𝑝 𝑥+ x0 2 +2𝑝y0 2𝑝 que corresponde à lei de uma função quadrática b = − x0 𝑝 𝑦= 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥 𝑐 c = x0 2 +2𝑝y0 2𝑝 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

13 Reconhecimento de uma cônica pela equação
CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS PARÁBOLAS E FUNÇÕES QUADRÁTICAS Reconhecimento de uma cônica pela equação (𝑥− 𝑥 𝑂 ) 2 𝑎 (𝑦− 𝑦 𝑂 ) 2 𝑏 2 =1 (𝑦− 𝑦 𝑂 ) 2 𝑎 (𝑥− 𝑥 𝑂 ) 2 𝑏 2 =1 Elipses Elipse com eixo maior horizontal Elipse com eixo maior vertical (𝑥− 𝑥 𝑂 ) 2 𝑎 2 − (𝑦− 𝑦 𝑂 ) 2 𝑏 2 =1 (𝑦− 𝑦 𝑂 ) 2 𝑎 2 − (𝑥− 𝑥 𝑂 ) 2 𝑏 2 =1 Hipérboles Hipérbole com eixo real horizontal Hipérbole com eixo real horizontal 𝑥= 1 2𝑝 𝑦 2 − y0 𝑝 𝑥+ y0 2 +2𝑝x0 2𝑝 𝑦= 1 2𝑝 𝑥 2 − x0 𝑝 𝑥+ x0 2 +2𝑝y0 2𝑝 Parábolas Parábola com eixo de simetria horizontal Parábola com eixo de simetria vertical Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

14 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
INTRODUÇÃO No volume 1 desta coleção foi dada a introdução dos estudos de estatística básica. É conveniente a revisão dos seguintes tópicos: População Amostra Variável Tabelas de frequências Classes ou intervalos de valores Representações gráficas Gráfico de barras Gráfico de linhas Gráfico de setores Pictogramas Histograma Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

15 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
MEDIDAS DE CENTRALIDADE Média aritmética Sejam 𝑥 1 , 𝑥 2 , ... , 𝑥 𝑛 a relação dos valores assumidos por uma determinada variável quantitativa x. A média aritmética 𝑥 ou é a razão entre a soma de todos esses valores e o número total de valores. 𝑥 = 1 𝑛 . 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 (lê-se: “somatório de 𝑥 𝑖 , para i variando de 1 até n”. Significa que devemos atribuir para i, sucessivamente, os valores 1, 2,..., n). 𝑥 = 𝑥 1 , 𝑥 2 , ... , 𝑥 𝑛 𝑛 ou Exemplo: Os valores seguintes referem-se às notas obtidas por um aluno em oito disciplinas do Ensino Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5; 6,0, 4,2; 3,9.; 4,8; 6,2; 8,0; 5,4. M = 7,5+6,0+4,2+3,9+4,8+6,2+8,0+5,4 𝑚 = =5,75 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

16 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
MEDIDAS DE CENTRALIDADE Média aritmética ponderada Consideremos uma relação de valores formadas pelos elementos x1, x2, …, xk, com frequências absolutas respectivamente iguais a n1, n2, …, nk. A média aritmética ponderada desses valores é: 𝑥 = 𝑖=1 𝑘 ( 𝑥 𝑖 . 𝑛 𝑖 ) 𝑛 1 + 𝑛 2 +…+ 𝑛 𝑘 𝑥 = 𝑥 1 . 𝑛 1 + 𝑥 2 . 𝑛 2 +…+ 𝑥 𝑘 . 𝑛 𝑘 𝑛 1 + 𝑛 2 +…+ 𝑛 𝑘 ou Exemplo: Em um espetáculo musical. Foram vendidos 1200 ingressos cujos valores dependiam do setor escolhido no teatro, como mostra o quadro abaixo: Qual foi o valor médio pago pelo espetáculo? 𝑝 = = =100 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

17 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
MEDIANA Mediana Sejam x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn os n valores ordenados assumidos por uma variável quantitativa X, em um conjunto de observações. Define-se a mediana (Me) por meio da relação: Me= x n −1 2 , se n for ímpar x n x n , se n for par A definição garante que a mediana seja um valor central que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos. Exemplo: O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguinte número de peças defeituosas (por lote de 100 unidades): 6 – 4 – 9 – 6 – 3 – 8 – 1 – 4 – 5 - 6 Para determinar a mediana, devemos ordenar os valores: 1 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 - 9 Como o número de elementos é par (10), a mediana (elemento central) está entre o 5º e o 6º elemento., isto é: 𝑀 𝑒 = 𝑥 5 + 𝑥 6 2 = =5,5 Média aritmética entre os dois elementos centrais, no caso de números pares de elementos

18 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
MEDIDAS DE CENTRALIDADE Moda A moda (Mo) de uma relação de valores é o valor que ocorre mais vezes na relação, isto é, que possui maior frequência absoluta. Exemplos: Vamos encontrar a moda dos seguintes conjuntos de valores: 5 — 8 — 11 — 8 — 3 — 4 — 8 → A moda é 5 8, pois há três valores iguais a 8. b) 2 — 3 — 9 — 3 — 4 — 2 — 6 → Há duas modas: 2 e 3. Dizemos, então, que se trata de uma distribuição de frequências bimodal. c) 1 — 3 — 4 — 6 — 9 — 11 — 2 → Nesse caso, todos os valores aparecem com a mesma frequência unitária. Assim, não há moda nessa distribuição. OBSERVAÇÃO: média, mediana e moda são as três medidas de tendência central mais usuais que podem ser associadas a um conjunto de dados. Cada uma delas possui, interpretação e significado próprios. Dependendo da natureza dos dados, uma ou outra dessas medidas pode ser mais adequada para representá-los quantitativamente. Entretanto, a análise dos dados se torna mais completa quando conhecemos os valores das três medidas. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

19 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE) Medidas de dispersão Variância Desvio padrão Sejam x1, x2, …, xn a relação de valores assumidos por uma variável quantitativa X e x a média aritmética desses valores. Indica-se por 𝛿 2 . É a raiz quadrada da variância e é indicado por: δ= ( x 1 − x ) 2 + (( x 2 − x ) 2 +…+ ( x n − x ) 2 n δ 2 = ( x 1 − x ) 2 + (( x 2 − x ) 2 +…+ ( x n − x ) 2 n Desvio médio Sejam x1, x2, …, xn os valores assumidos por uma variável quantitativa X e x a média aritmética desses valores. Indica-se por 𝐷𝑀. 𝐷𝑀= 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑥 +…+ 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

20 CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA
Elementos para medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados Amplitude É o número real dado pela diferença entre o maior e o menor valores registrados (nessa ordem). Determinação da classe modal Definimos classe modal como a classe que apresenta maior frequência absoluta. Exemplo: Na tabela ao lado, a classe modal é 2500 |⎯ 4000, pois há 12 valores pertencentes a esse intervalo (as outras frequências são menores). Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre