Unidade 2 – Onda Plana Uniforme

Apresentação em tema: "Unidade 2 – Onda Plana Uniforme"— Transcrição da apresentação:

1 Unidade 2 – Onda Plana Uniforme
Objetivos: Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell. Diferenciar emissor e receptor de ondas eletromagnéticas. Determinar a equação de onda plana nos diferentes meios de propagação. Definir o vetor de Poynting. Relacioná-lo com transmissão de energia. Definir Polarização da onda eletromagnética. introdução Propagação de ondas no espaço Lívre Propagação de Ondas em Dielétricos Vetor de Poynting e Considerações de Potência Propagação em Bons Condutores: Efeito Pelicular Polarização de Ondas.

2 introdução Inicialmente nesta unidade vamos partir das equações de Maxwell será definida a equação de onda e velocidade de propagação. Este processo será realizado de duas formas diferentes, sendo o segundo método utilizando a interpretação fasorial. Posteriormente serão demonstradas as soluções das equações de onda tanto no espaço livre como no dielétrico. A diferença entre as soluções é apenas a condição de contorno (cc). No meio dielétrico, isotrópico, a onda eletromagnética sofre uma atenuação que será descrito. Sabe-se que a onda transporta energia sem transporte de matéria. Neste ínterim será apresentado o teorema de Poyntig que define a energia de onda eletromagnética bem como a potência transportada. Finalizando, será definido e descrito o processo de polarização da onda eletromagnética.

3 Propagação de ondas no espaço Livre
Equações de Maxwell Equações de Maxwell no vácuo 1 Lembrando 2 3 4 Constante de permissividade magnética Constante de permissividade elétrica

4 Determinando as equações de onda.
Propagação de ondas no espaço Livre Se E(t) em um ponto⇨H possui um rotacional em trono do ponto no espaço. Se E(t) ⇨ H(t) não necessariamente do mesmo modo. Da mesma forma, a 2ª equação indica que E forma pequenos anéis fechados em torno das linhas de H. Determinando as equações de onda. Aplicando-se o rotacional na equação (2) temos. Observando-se a equação (1) =0 devido à equação (3)

5 5 Se observarmos, a equação (5) é análoga a equação de onda
Propagação de ondas no espaço Livre 5 Se observarmos, a equação (5) é análoga a equação de onda Corresponde à equação de onda de uma corda. Portanto: Corresponde à velocidade da luz no vácuo. Exercício: Verificar esta afirmação.

6 Interpretação fasorial.
Propagação de ondas no espaço Livre Desta forma temos as equações de onda para o vácuo: 6 7 Exercício: Partir das equações de Maxwell e chegar nesta equação. O cálculo da velocidade da luz foi obtida por Maxwell em A 1ª experiência de produção de ondas eletromagnéticas diferentes da luz foi em 1887 realizada por Heinrich Hertz com circuito RLC produzindo 108 Hz e l=1 m. Interpretação fasorial. Vamos tratar a solução como um caso especial senoidal com o tempo (efetuando a notação complexa e fasores. Dado o campo vetorial Sendo: 8 Função real no espaço

7 Ex pode ser descrito como um fasor.
Propagação de ondas no espaço Livre Lembrando a identidade de Euler: Onde j é 0 número imaginário: Re indica a parte real da função. Suprimindo a função dependente do tempo Ex pode ser descrito como um fasor. Identificador do fasor. Indica o domínio da frequência, indicado como uma função de frequência complexa.

8 Exemplo1: Expresse a função como um V/m fasor.
Propagação de ondas no espaço Livre Exemplo1: Expresse a função como um V/m fasor. Exemplo2: Dado o vetor de intensidade do como, Es=100<300ax+20<-500ay+40<2100az V/m identificado como um fasor por seu subscrito s, desejamos o vetor como uma função real do tempo. Solução: considerando a frequencia de1 MHz. Inserindo a dependência temporal:

9 Tomando apenas a parte real, obtendo o vetor real.
Propagação de ondas no espaço Livre Tomando apenas a parte real, obtendo o vetor real. Apesar das amplitudes não estarem sendo expressas em função das coordenadas, é possível que isto ocorra. A partir de (8), aplicando-se a equação (1). Lembrando a identidade de Euler: É o fasor da derivada temporal.

10 Substituindo os resultados nas equações de Maxweel (1) a (4) temos:
Propagação de ondas no espaço Livre Substituindo os resultados nas equações de Maxweel (1) a (4) temos: São as equações de Maxwell na forma fasorial para o espaço lívre. Nota-se que (11) e (12) não são mais independentes e podem ser obtidas tomando-se a divergência de (9) e (10). (Isto pode ser comprovado como exercício desenvolvido pelo aluno). Outro exercícios é aplicar a derivada temporal da equação (2) e obter a equação (10). 9 10 11 12

11 13 Determinando novamente a equação de onda.
Propagação de ondas no espaço Livre Determinando novamente a equação de onda. Aplicando-se o rotacional em (10). 0 – equação (11) equação (9) Fazendo-se: 13 Número de onda do espaço livre.

12 14 15 16 Desta forma, a equação de onda: Equação Vetorial de Helmholtz
Propagação de ondas no espaço Livre Desta forma, a equação de onda: 14 Equação Vetorial de Helmholtz Usando apenas a componente x de (14): 15 Considerando que Exs constante em x e y temos: 16

13 17 18 A solução da equação (16) pode ser:
Propagação de ondas no espaço Livre A solução da equação (16) pode ser: Reinserindo o fator temporal e tomando-se a parte real temos: 17 Pode ser medido na prática. Valor de Ex(0,0). Medido em radianos onde: [w]=rad/s; [k0]=rad/m sendo k0 definido como: frequência espacial, número de ondas do espaço livre. É uma constante de fase de uma onda plana uniforme no espaço livr. Onde c é a velocidade da luz. Portanto A equação (17) pode ser escrita como: 18

14 A crista da onda move-se na direção positiva de z.
Propagação de ondas no espaço Livre Para t=0. Sabendo-se que a função de onda se repete a cada comprimento de onda l, portanto: (espaço livre) Considerando a crista (um ponto). A próxima ocorrência do ponto dever ser após uma volta: 2p. Para m-ésima crista da onda temos. A crista da onda move-se na direção positiva de z.

15 0 pois Exs varia apenas na direção z.
Propagação de ondas no espaço Livre Retomando às equações de Maxwell (9) a (12) determinaremos H. Dado Es, Hs é obtido de (10) Deforma simplificada 0 pois Exs varia apenas na direção z.

16 19 20 Colocando a dependência temporal Real
Propagação de ondas no espaço Livre Colocando a dependência temporal 19 Real Comparando-se as equações (17) e (19) observa-se que E oscila em x e H em y com a razão de intensidades dada pela relação: 20 que é constante.

17 Propagação de ondas no espaço Livre
Usando a linguagem de teoria de circuitos, pode-se dizer que Ex e Hy estão em fase, sendo que a relação refere-se tanto ao espaço quanto ao tempo.

18 Propagação de ondas no espaço Livre
De acordo com as equações (17) e (19) apresentadas abaixo, observa-se que os máximos de Ex e Hy ocorrem quando w(t-z/c) for múltiplo inteiro de 2p rad. Impedância intrínseca [h] = ohms = W Para o espaço livre: Neste caso a onda é chamada de onda plana uniforme. A energia flui na direção positiva de z. E e H são perpendiculares à direção de propagação. Dúvidas???? Exercícios.

19 Propagação de Ondas em Dielétricos
Vamos estudar a propagação da onda eletromagnética no meio dielético considerando-o: Isotrópico e homogênio; Permissividade e; Permeabilidade m. Partindo da equação de Helmholtz: 21 O número de onda pode se formalizado: 22 Para Exs temos: 23

20 Propagação de Ondas em Dielétricos
Neste caso k pode ser complexo e portanto pode ser escrito da forma: 24 Consequentemente a solução da equação de onda pode ser: 25 Inserindo a parte temporal ejwt e multiplicando à (25) temos: 26 É a equação da onda plana uniforme que se propaga na direção z com fase constante b. >0: diminui a amplitude com o aumento de z com fator e-az . É um coeficiente de atejnuação <0: Amplificador Laser. É coeficiente de ganho Analisando a.

21 27 Examinando a unidade de a.
Propagação de Ondas em Dielétricos Examinando a unidade de a. [a]=nepers/metro=Np/m -Dado em homenagem a John Napier (Matemático Escocês que que propôs o uso do logarítmo) Se a= 0,01 Np/m a amplitude da onda em z=50m. Vezes o valor inicial em z=0 Propagando-se à uma distância 1/a na direção +z a ampitude é reduzida num fator e-1 ou 0,368. O campo elétrico da onda, alterado no meio material, é descrito por uma constante de permissividade complexa. 27 É originado por dois mecanismos que resultam na perda da onda: Oscilações iônicas Relaxamento do dipolo – Estudar o Apêndice D do Hayt Mecanismo adicional: Condução de elétrons livres ou lacunas

22 28 Com relação ao campo magnético.
Propagação de Ondas em Dielétricos Com relação ao campo magnético. As perdas podem ocorrer e serem modeladas pela permeabilidade complexa. Exemplos: materiais ferromagnéticos ou ferrites. A resposta magnética é muito fraca quando comparada à resposta do dielétrico, na maioria dos materiais de interesse de propagação de onda. Portanto nesses materiais m=m0. Desta forma serão discutidos os mecanismos descritos através da permissividade complexa. Substituindo (27) em (22) 28 é real é complexo – ocorrem perdas quantificadas por a.