Noções de Estatística.

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1 Noções de Estatística

2 Conceito Estatística é um ramo da Matemática Aplicada. A palavra Estatística provém da palavra Status e é usada em dois sentidos: Estatísticas (no plural) referem-se a dados numéricos e são informações sobre determinado assunto, coisa, grupo de pessoas etc. obtidas por um pesquisador. Estatística (no singular) significa o conjunto de métodos usados na condensação, análises e interpretações de dados numéricos. De um modo geral, conceitua-se Estatística da seguinte forma: É ciência, quando estuda populações; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência.

3 São características numéricas da população.
POPULAÇÃO E AMOSTRA População É todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável. Ex: Todos os alunos do Ensino Médio do Brasil. Amostra É uma parte da população que será avaliada por um critério comum. Ex: 500 alunos do Ensino Médio do Brasil. Parâmetros São características numéricas da população. Ex: QI médio dos estudantes do Ensino Médio do Brasil. Estimativas Em geral, por problemas de tempo e dinheiro, trabalha-se com amostras e não com a população.

4 1. As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estão descritas a seguir:
16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15, 14, 16, 15, 14, 16, 14. Dados Brutos É o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram organizados. 16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15, 14, 16, 15, 14, 16, 14. Rol É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente). RESOLUÇÃO: a) rol 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18

5 Amplitude (H): É a diferença entre o maior e o menor dos valores observados. RESOLUÇÃO: b) H = 18 – 12 = 6 DISTRIBUIÇÃO DAS FREQUÊNCIAS: É o arranjo dos valores das variáveis e suas respectivas frequências. Frequência absoluta (fi) : É o número de vezes que o elemento aparece na amostra. RESOLUÇÃO:

6 Frequência relativa percentual (f%):
Frequência relativa (fr): (n é o número de elementos da amostra.) Frequência relativa percentual (f%):

7 Frequência absoluta acumulada (fa): É a soma da frequência do valor da variável com todas as frequências anteriores. Frequência relativa acumulada (fra): É a soma da frequência relativa do valor da variável com todas as frequências relativas anteriores.

8 Frequência percentual acumulada (f%a):
Moda (Mo): É o valor da frequência máxima. Valor mais frequente. RESOLUÇÃO:

9 Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)
Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado foi o seguinte: Atividade Esportiva Nº de alunos Freqüência Absoluta Freqüencia relativa Voleibol 80 20% Basquetebol 120 30% Futebol 160 40% Natação 40 10% Total 400 100%

10 Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)

11 Média Aritmética Simples
Médias Média Aritmética Simples Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pela quantidade total deles: Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana: 𝒙 = = 98 = 14

12 𝒙 𝒑 = Média Aritmética Ponderada: considera “pesos” para cada item.
Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final: 𝒙 𝒑 = (UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi: 56 + 2x 𝟏𝟎 = 7,3  x = 73  2x = 17 x = 8,5

13 Mediana (Md): Colocando-se os valores da variável em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa a posição central, caso a quantidade de elementos for ímpar. RESOLUÇÃO: Para saber a posição de uma quantidade ímpar de valores: 𝒏+𝟏 𝟐 = 𝟐𝟓+𝟏 𝟐 = 𝟐𝟔 𝟐 =𝟏𝟑ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 Md = Caso seja quantidade par de valores, a mediana é calculada a partir da média aritmética dos dois elementos centrais. 2, 3, 5, 7, 9, 10 𝟓+𝟕 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 =𝟔 Para saber a posição de uma quantidade par de valores: 𝒏 𝟐 𝒆 𝒏 𝟐 +𝟏 𝟔 𝟐 =𝟑ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝒆 𝟔 𝟐 +𝟏=𝟒ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐

14 Desafio!!! (Fuvest – SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8. Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras. b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação? Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 72,2 + 5 = 77,2. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento, aprovar. Assim: x = 3

15 MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de posição servem para localizar os dados sobre o eixo da variável em questão. As mais importantes são: a média, a mediana e a moda. A média e a mediana tendem a se localizar em valores centrais de um conjunto de dados. Por essa razão, costuma-se dizer que são medidas de tendência central. A moda, por sua vez, indica a posição de maior concentração de dados. MEDIDAS DE DISPERSÃO Servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores e, por isso, são também chamadas MEDIDAS DE VARIABILIDADE.

16 MEDIDAS DE DISPERSÃO 11, 14, 18, 10, 9 Amplitude = 18 – 9 = 9
É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados. Ex.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo. 11, 14, 18, 10, 9 Amplitude = 18 – 9 = 9 Desvio Uma maneira de medir o grau de dispersão ou concentração de cada valor da variável em relação às medidas de tendência central é fazer a diferença entre o valor da variável e a média. Ex.: Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres: Média aritmética = Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1 nota 4: 9 – 7 = 2

17 Variância É a média aritmética dos quadrados dos desvios. Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância. Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea (regular) é a amostra. Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares. Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1 nota 4: 9 – 7 = 2

18 Uma determinada máquina apresentou o histórico abaixo referente ao número de
Peças defeituosas produzidas durante o período de uma semana. SEG TER QUA QUI SEX SÁB DOM 3 10 8 2 6 D 3 4 2 4 4 3 𝑫² 9 16 4 9 16 16 Determine para essa distribuição: Amplitude b) Variância c) Desvio médio d) Desvio padrão Resolução: a) A = 10 – 2 = 8 Média aritmética: 𝟑+𝟏𝟎+𝟖+𝟐+𝟏𝟎+𝟑+𝟔 𝟕 = 𝟒𝟐 𝟕 =𝟔 b) Dm: média dos desvios 𝟑+𝟒+𝟐+𝟒+𝟒+𝟑+𝟎 𝟕 = 𝟐𝟎 𝟕 ≅𝟐,𝟖𝟓𝟕 Dm =

19 c) Variância: média dos desvios ao quadrado
𝟗+𝟏𝟔+𝟒+𝟏𝟔+𝟏𝟔+𝟗+𝟎 𝟕 = 𝟕𝟎 𝟕 =𝟏𝟎 Var = d) Desvio padrão: raiz quadrada da variância. Dp = 𝑽𝒂𝒓 Dp = 𝟏𝟎 ≅𝟑,𝟏𝟔

20 Um time de futebol, com o objetivo de determinar a regularidade de seu ataque,
Confeccionou a tabela abaixo contendo o número de gols marcados nos últimos 16 jogos. Nº de gols Freq. 3 1 2 6 4 D D² 2 4 1 1 1 1 4 16 Determine para essa distribuição: Amplitude b) Desvio médio c) Variância d) Desvio padrão Resolução: a) A = 6 – 0 = 6 Média aritmética: 𝟑.𝟎+𝟐.𝟏+𝟔.𝟐+𝟒.𝟑+𝟏.𝟔 𝟑+𝟐+𝟔+𝟒+𝟏 = 𝟑𝟐 𝟏𝟔 =𝟐

21 b) Dm: média dos desvios
𝟑.𝟐+𝟐.𝟏+𝟔.𝟎+𝟒.𝟏+𝟏.𝟒 𝟑+𝟐+𝟔+𝟒+𝟏 = 𝟏𝟔 𝟔 =𝟏 Dm = c) Variância: média dos desvios ao quadrado 𝟑.𝟒+𝟐.𝟏+𝟔.𝟎+𝟒.𝟏+𝟏.𝟏𝟔 𝟑+𝟐+𝟔+𝟒+𝟏 = 𝟑𝟒 𝟏𝟔 =𝟐,𝟏𝟐𝟓 Var = d) Desvio padrão: raiz quadrada da variância. Dp = 𝑽𝒂𝒓 Dp = 𝟐,𝟏𝟐𝟓

22 Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.
Paulo 5 2 8 João 4 3 Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular? Média aritmética = João Média aritmética = Paulo Desvios: nota 1: 0 Paulo nota 2: 3 nota 3: 0 nota 4: 3 Desvios: nota 1: 1 João nota 2: 3 nota 3: 2 nota 4: 0 Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

23 (ENEM – 2000) O Brasil, em 1997, com cerca de 160 X 106 habitantes, apresentou um consumo de energia da ordem de TEP (tonelada equivalente de petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é: TOTAL DE HABITANTES: HABITANTES ENERGIA GASTA: RENDA SUPERIOR 5% DA POPULAÇÃO: RENDA INFERIOR 50% DA POPULAÇÃO: Logo: 10% DA ENERGIA: 30% DA ENERGIA: CONSUMO POR PESSOA: CONSUMO POR PESSOA: