Análise Fatorial Factor analysis.

Apresentação em tema: "Análise Fatorial Factor analysis."— Transcrição da apresentação:

1 Análise Fatorial Factor analysis

2 Análise Fatorial Objetivo: Estudar a estrutura de dependência existente em um conjunto de variáveis através da criação de fatores que, eventualmente, expressam constructos subjacentes aos dados. Spearman (1904) - medida de inteligência

3 Análise Fatorial Situação comum: observar grande número de variáveis
Como caracterizar a amostra Como descrever a inter-relação entre as variáveis

4 Constructos Definir o que e como medir nível de ansiedade satisfação
bem-estar percepção

5 Exemplo: Escala IDATE-T

6 Matriz de Correlação

7 Modelo de Análise Fatorial
Variáveis originais X1 X2  Xp Fatores comuns 1 2  m AF m < p

8 Modelo de Análise Fatorial
1, …, m: fatores comuns 1, …, p: fatores únicos ou específicos

9 Modelo de Análise Fatorial
Modelo na forma matricial: X -  =  +  X = (X1, X2, …, Xp)T,  = (1, 2, …, m)T,  = ( 1,  2, …,  p)T

10 Modelo esquematizado e1 X1 1 e2 X2 2 m ep Xp

11 Características impostas ao modelo
Os fatores únicos são não correlacionados. Os fatores comuns e únicos são não correlacionados entre si. Os fatores comuns são não correlacionados (esta suposição pode ser abandonada em alguns tipos de AF). As variâncias dos fatores comuns são iguais a 1.

12 Análise do modelo Ci2 = comunalidade ou variância comum
i = especificidade

13 Análise do modelo Ci2 = comunalidade ou variância comum: expressa o quanto da variabiliade de Xi é explicada pelo modelo (se Var (Xi)=1 pode ser encarada como uma proporção) i = especificidade: expressa o quanto da variabilidade de Xi não é explicada pelo modelo. Um bom modelo deve apresentar uma comunalidade alta para todas as variáveis

14 Alguns métodos de estimação
Máxima verossimilhança: supõe que os dados seguem uma distribuição normal multivariada. Método da componente principal: baseia-se na análise de componentes principais.

15 Método da componente principal
Modelo: X = + e Decomposição espectral de : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

16 Método da componente principal

17 Método da máxima verossimilhança
Suposição: distribuição normal Estimação dos parâmetros  = T +  Restrição: T -1  : diagonal

18 Resultado importante  = T +   =  T  T +  = ( T)( T)T + 

19 Rotação VARIMAX Há infinitas matrizes que resultam na mesma matriz T. Essas matrizes podem ser obtidas através da rotação de uma solução inicial (por exemplo, oriunda do método das componentes principais). Problema: Como escolher uma boa solução?

20 Rotação - Interpretação geométrica
2 2* Exemplo: Solução com dois fatores 1 e 2 definem um plano 1* e 2* , obtidos através de uma rotação ortogonal dos eixos, definem o mesmo plano. Logo representam uma solução equivalente. 1* 1

21 Quantos fatores usar? Critério de Kaiser
Porcentagem da variância total explicada Atingir comunalidade fixada Critério scree-test Métodos inferenciais

22 Autovalores Componentes

23 Exemplo

24 Autovalores

25 Comunalidades 2 fatores

26 Cargas Fatoriais

27 Gráfico das Cargas Fatoriais
2 1

28 Rotação 2 1

29 Cargas Fatoriais Rotacionadas

30 Cargas Fatoriais Rotacionadas

31 Interpretação Fator 1: Satisfação pessoal
Fator 2: Dificuldade em lidar com problemas

32 Escores Fatoriais xi -  = i + i
Métodos dos mínimos quadrados ponderados xi -  = i + i Minimizar: (xi -  - i)T -1 (xi -  - i) EMQ(fi) = (T -1 )-1 T -1 (xi - )

33  e  : distribuição normal
Escores Fatoriais Métodos da regressão  e  : distribuição normal ER(i) = T (T + )-1 (xi - )

34 Viabilidade da AF matriz anti-imagem
Coeficiente de correlação parcial entre os pares, excluindo-se o efeito das demais variáveis. Esperam-se valores baixos.

35 Viabilidade da AF Coeficiente KMO: Kaiser-Meyer-Olkin
a2ij é a correlação parcial entre Xi e Xj, eliminado o efeito das demais variáveis

36 Interpretação da KMO Escala IDATE: 0,841

37 Viabilidade da AF MSA: Measure of sampling adequacy
a2ij é a correlação parcial entre Xi e Xj, eliminado o efeito das demais variáveis

38 Interpretação da MSA Para o exemplo IDATE

39 Avaliação do ajuste do modelo
resumo: raiz do quadrado médio residual

40 Exemplo IDATE RQMR = 0.106

41 1 1 X1 X1 10 10 X10 X10 1 1 13 13 X13 X13 16 16 X16 X16 9 9 X9 X9 11 11 X11 X11 2 2 17 17 X17 X17 18 18 X18 X18

42 Comentários Sucesso Número pequeno de fatores fatores interpretáveis
Insucesso Tamanho insuficiente da amostra variáveis com fraca dependência estrutura não homogênea (grupos)