Prof. Me. Valderlândio Pontes MATEMÁTICA PARA TODOS Aula 06: Geometria Plana e Espacial (Parte 2)

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1 Prof. Me. Valderlândio Pontes MATEMÁTICA PARA TODOS Aula 06: Geometria Plana e Espacial. 2021 (Parte 2)

2 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Sequências para todos 1 - Poliedros 2 - Corpos redondos 3 - Relação de Euler 4 - Planificação de poliedros CONTEÚDO DA AULA Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos 5 - Pirâmides 6 - Resolução de exercícios

3 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Poliedros As inúmeras obras de engenharia, arquitetura, artes plásticas etc. mostram a imensa quantidade de formas que podem ser relacionadas com figuras estudadas na Geometria. Museu de Arte de São Paulo - 1968 Museu do Louvre de Paris -1988

4 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Muitas formas reais encontradas em objetos do cotidiano, embalagens de produtos, construções, entre outros, lembram sólidos geométricos, os quais são figuras tridimensionais idealizadas pela Geometria.

5 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos No nosso dia a dia, encontramos também uma grande variedade de formas reais tridimensionais que são mais complexas e que, de modo geral, não estão associadas aos sólidos geométricos mais “comuns”. Observe as imagens. Hotel Burj All Arab de Dubai - 2015 Suporte para fita adesiva Vaso decorativo

6 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Os sólidos geométricos mais simples podem ser de dois tipos: Poliedros: são sólidos geométricos cujas superfícies são formadas apenas por polígonos planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos etc.). A palavra poliedro vem do grego antigo, em que poli significa “vários”, e edro, “face”. Veja alguns exemplos de poliedros:

7 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Elementos de um poliedro faces: são os polígonos que formam a superfície do poliedro. arestas: são os lados dos polígonos que constituem as faces do poliedro. Cada aresta é um segmento de reta determinado pela interseção de duas faces. vértices: são as extremidades das arestas. Cada vértice é a interseção de duas ou mais arestas. Fique atento! Cada aresta do poliedro é segmento de reta determinado pela intersecção de duas faces. Cada vértice do poliedro é um ponto comum a três ou mais arestas.

8 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer dessa região está inteiramente contido nela. São regiões convexas São regiões não convexas (côncavas) Polígono convexo Polígono côncavo Região convexa e região não convexa do plano Região convexa Região côncava

9 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma das faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos. Poliedros convexos e poliedros não convexos Poliedros convexos Poliedros não convexos

10 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Corpos redondos: são sólidos geométricos cujas superfícies têm ao menos uma parte que é arredondada (não plana).

11 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Relação de Euler O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo. Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades a menos do que a soma do número de faces com o número de vértices. Exemplos: Relação de Euler

12 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares. Número total de arestas: Exemplo 01: Resolução: 6 faces quadrangulares: 4 faces triangulares: Obs: Cada aresta do cálculo acima foi contada duas vezes Temos então: Faces = 10 Arestas = 18 Vértices = ? Relação de Euler: Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices. 6. 4 = 24 arestas 4.3 = 12 arestas

13 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro? Exemplo 02: Resolução: 12 faces pentagonais: 20 faces hexagonais: Obs: Cada aresta do cálculo acima foi contada duas vezes 12. 5 = 60 arestas 20.6 = 120 arestas Número total de arestas: Temos então: Faces = 32 Arestas = 90 Vértices = ? Relação de Euler: Logo, o poliedro tem 90 arestas e 60 vértices.

14 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Poliedros regulares Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares e congruentes e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas. Fique atento! Um polígono regular é um polígono que tem todos os lados e ângulos internos congruentes

15 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Existem apenas cinco poliedros regulares convexos Nas imagens abaixo, cada poliedro está acompanhado de sua identificação. As planificações são representações das superfícies que formam a fronteira do sólido.

16 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Existem apenas cinco classes de poliedros de Platão: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros. Dessa forma, todos os poliedros regulares convexos são poliedros de Platão. Em um poliedro de Platão as faces não precisam ser polígonos regulares. Poliedros de Platão Todas as faces têm o mesmo número de arestas. Em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas. Vale a relação de Euler: V - A + F = 2. Um poliedro é denominado poliedro de Platão se, e somente se, forem verificadas as seguintes condições:

17 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos

18 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Elementos do cilindro Cilindro

19 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Área da superfície Cilindro Volume

20 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Planificação do cilindro

21 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Exemplo 03: Calcular o volume do cilindro inscrito na semiesfera abaixo. r² = R² + h² Resolução: R² = r² - h² R

22 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Elementos do cone Cone

23 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Classificação dos cones

24 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Planificações da superfície do cone reto

25 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Área da superfície do cone reto Relação métrica

26 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Exemplo 04: Resolução: Geratriz do cone: Área lateral do cone:

27 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Esfera Superfície esférica Volume Área

28 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Exemplo 05: Resolução: cm² cm³ cm²

29 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Pirâmide regular Elementos da pirâmide

30 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Pirâmide regular hexagonal g → apótema da pirâmide. m → apótema da base. h → altura da pirâmide. g 2 = m 2 + h 2

31 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Área da superfície e volume da pirâmide ▪ A b = área da base (área do polígono da base) ▪ A l = área lateral (áreas dos triângulos que constituem as faces laterais da pirâmide) Ab Ab Al Al A t = A B + A l ▪ A t = área total (área lateral mais a área da base)

32 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Determine a área total e o volume de uma pirâmide regular cuja altura é 15 cm e cuja base é um quadrado de 16 cm de lado. Exemplo 06: Resolução: = 256.5 = 1280 cm³

33 Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes Geometria para todos Exemplo 07: